求數(shù)列通項(xiàng)公式的新視角
——構(gòu)造常數(shù)列

趙世瑜

(甘肅省渭源縣第一中學(xué),甘肅 定西 748200)

在等差數(shù)列、等比數(shù)列以外的一些特殊數(shù)列中,我們常用累加法、累積法和構(gòu)造法求其通項(xiàng)公式,這些方法都對(duì)應(yīng)某種特定的類型,運(yùn)用起來程序性強(qiáng),學(xué)生很容易掌握.筆者經(jīng)過研究,發(fā)現(xiàn)此類問題可以通過構(gòu)造常數(shù)列加以解決,現(xiàn)將自己的一些心得整理出來,希望能起到拋磚引玉的作用.

1 常數(shù)列的定義

如果數(shù)列{an}滿足an+1=an,則稱{an}為常數(shù)列,此時(shí)有an=a1.

2 構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)公式

2.1 an+1=an+f(n)型

例2 在數(shù)列{an}中,a1=1,an-an-1=2n-3,n≥2,n∈N*,求{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n-an-1=2n-3,所以an-(n-1)2=an-1-(n-2)2,n≥2,n∈N*,所以數(shù)列{an-(n-1)2}是一個(gè)常數(shù)列.

又因?yàn)槭醉?xiàng)為a1-(1-1)2=1,所以an=(n-1)2+1=n2-2n+2,n∈N*.

例3已知數(shù)列{an}滿足an+1-an=4n+1,且a1=1 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+1-an=4n+1,所以an-an-1=4n-3,n≥2,n∈N*.

所以an-(2n2-n-1)=an-1-[2(n-1)2-(n-1)-1],n≥2,n∈N*,所以數(shù)列{an-(2n2-n-1)}是一個(gè)常數(shù)列.

又因?yàn)槭醉?xiàng)為a1-(2×12-1-1)=1,所以an=2n2-n,n∈N*.

評(píng)注我們可以感受到此方法在語言表達(dá)上比用累加法顯得更加簡(jiǎn)潔,同時(shí)肯定有人看完例2,3會(huì)感慨:此法只應(yīng)天上有!其實(shí)不然,下面給出一般性的結(jié)論.

也許有讀者會(huì)問:g(n)是怎樣構(gòu)造出來的呢?方法如下:

假設(shè)an-g(n)=an-1-g(n-1),則g(n)-g(n-1)=f(n),所以g(2)-g(1)=f(2),g(3)-g(2)=f(3),…,g(n)-g(n-1)=f(n),n≥2,n∈N*.

2.2 an+1=anf(n)型

例4 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2nan(n∈N*),求通項(xiàng)an.

類似地,我們可以得到以下結(jié)論.

g(n)的構(gòu)造方法如下:

2.3 an+2=(1-λ)an+1+λan型

例5 已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解因?yàn)閍n+2=3an+1-2an(n∈N*),所以an+2-2an+1=an+1-2an(n∈N*),所以數(shù)列{an+1-2an}是以a2-2a1=-1為首項(xiàng)的常數(shù)列,即an+1-2an=-1,從而an+1-1=2(an-1).

又因?yàn)閍1-1=1,所以{an-1}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an-1=2n-1,即an=2n-1+1(n∈N*).

我們可以把以上問題推廣到一般情景.

定理3數(shù)列{an}滿足:a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan(n∈N*,p2+4q≥0),

即x2=px+q,解得x=α或x=β,其中α+β=p,αβ=-q.

由①得an+1-αan=(b-αa)βn-1,

③

由②得an+1-βan=(b-βa)αn-1,

④

3 在高考中的應(yīng)用

例6(2012年大綱全國(guó)卷)[1]函數(shù)f(x)=x2-2x-3.定義數(shù)列{xn}如下:x1=2,xn+1是過兩點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)證明:2≤xn

(2)求數(shù)列{xn}的通向公式.

解(1)略.

例7(2008年四川卷理科)設(shè)數(shù)列數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn.

(1)證明:當(dāng)b=2時(shí),{an-n·2n-1};

(2)數(shù)列{an}的通向公式.

解(1)略.(2)當(dāng)b=2時(shí),由(1)知,an=(n+1)2n+1.當(dāng)b=0時(shí),則an=2n-1;

該法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中2012年大綱全國(guó)卷[1]等有運(yùn)用,我們的老師不僅要把解題技巧傳授給學(xué)生,更重要的是要教會(huì)學(xué)生思考問題、教會(huì)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法,從而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).因?yàn)樗季S是數(shù)學(xué)的靈魂,技巧是靈活的,但思想方法卻可以舉一反三. 我們可用常數(shù)控制變數(shù),通過構(gòu)造常數(shù)列來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式[2].