大概念引領(lǐng)下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容的重組
——以“圓柱的體積”教學(xué)為例

江蘇南通高等師范學(xué)校附屬小學(xué)（226000） 季夏玲

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。教學(xué)應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，明確義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，確定以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程目標(biāo)，建構(gòu)指向核心素養(yǎng)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)等。素養(yǎng)導(dǎo)向的提出旨在讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用“專家思維”解決問題，讓知識(shí)活起來?！皩＜宜季S”的典型特征就是大概念，大概念引領(lǐng)下的知識(shí)具有結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化特點(diǎn)。

大概念教學(xué)就是以大概念為核心目標(biāo)的教學(xué)，它指向培養(yǎng)學(xué)生解決真實(shí)問題的能力?；跀?shù)學(xué)大概念，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組，是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的一種嘗試。重組教學(xué)內(nèi)容是教師在充分了解學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和能力水平的基礎(chǔ)上，從整體入手組織教學(xué)，完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)融會(huì)貫通。教師有結(jié)構(gòu)地教，就能促進(jìn)學(xué)生有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)地學(xué)。下面，筆者結(jié)合蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)“圓柱的體積”教學(xué)，談?wù)勱P(guān)于大概念教學(xué)的實(shí)踐與思考。

一、“挑揀”學(xué)材求本質(zhì)

“圓柱的體積”怎么教？以往的教學(xué)都是從長(zhǎng)方體和正方體知識(shí)引入，猜想三種立方體體積之間的關(guān)系，然后借鑒探索圓的面積的過程，利用化曲為直的方法將圓柱轉(zhuǎn)化為近似的長(zhǎng)方體，從而得出圓柱的體積公式。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)有探索、有發(fā)現(xiàn)，確實(shí)能幫助一部分學(xué)生理解并掌握知識(shí)，但總體還是以教師為主導(dǎo)，以講授知識(shí)為目的，極少著眼于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的整體認(rèn)識(shí)和把控，沒能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建立知識(shí)結(jié)構(gòu)。針對(duì)這一情況，筆者打算以大概念引領(lǐng)，重組內(nèi)容，使學(xué)生學(xué)有所悟。

［第一課時(shí)：怎么求圓柱的體積？］

學(xué)具準(zhǔn)備：長(zhǎng)方形紙片、圓形紙片、胡蘿卜、圓柱形磁鐵、量杯、水、黏土、剪刀、小刀等。

問題：怎么求圓柱的體積？

1.討論：選擇哪些學(xué)具？怎么求圓柱的體積？

2.活動(dòng)：操作驗(yàn)證。

3.反思：測(cè)量方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

［教學(xué)意圖：開放的問題引領(lǐng)、多角度的研究切入、豐富的活動(dòng)體驗(yàn)，目的是讓學(xué)生在圍、切、捏等多種操作活動(dòng)中不斷累積經(jīng)驗(yàn)，由量變引發(fā)質(zhì)變，進(jìn)而能主動(dòng)剝離非本質(zhì)因素，把握體積的本質(zhì)。］

小組1：我們選擇長(zhǎng)方形紙片和圓形紙片來圍，長(zhǎng)方形紙片是圓柱的側(cè)面，圓形紙片是圓柱的底面。兩張紙片的面積就是圓柱的表面積。我們的這個(gè)選擇與圓柱表面積有關(guān)系，沒算體積。

小組2：我們選擇了圓柱形磁鐵、量杯，還有水。我們先往小量杯中倒?jié)M水，再將小量杯放入大量杯中，然后將圓柱形磁鐵放入小量杯，這個(gè)時(shí)候水會(huì)溢出一些，我們?cè)贉y(cè)量一下溢出的水的體積，這部分水的體積就是圓柱形磁鐵的體積。

師：這個(gè)操作很妙??！不過，有沒有什么局限性呢？

組長(zhǎng)：較大的圓柱形物體、不能沉下水的圓柱體等不好測(cè)量。每次都要準(zhǔn)備水、量杯等物品，也比較麻煩。

小組3：我們選擇了黏土。我們先將圓柱形黏土捏成長(zhǎng)方體，然后測(cè)量長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，并算出體積。這個(gè)體積也就是圓柱形黏土的體積。

師：又是一個(gè)精彩的轉(zhuǎn)化。你們的研究之路可以走得再遠(yuǎn)一點(diǎn)。比如，以長(zhǎng)方體體積的計(jì)算為起點(diǎn)，能否找到圓柱體積的計(jì)算方法？大家再思考一下。

生1：我發(fā)現(xiàn)，用圓柱的底面積乘高得到的數(shù)據(jù)跟長(zhǎng)方體的體積數(shù)據(jù)很接近。

師：有什么大膽的猜想？

生2：計(jì)算長(zhǎng)方體的體積可以用底面積乘高，計(jì)算圓柱的體積也可以用底面積乘高。

師：可是剛才得出的數(shù)據(jù)有一些差別。

生3：實(shí)際操作和測(cè)量會(huì)有一些誤差。

師：帶著這個(gè)發(fā)現(xiàn)，讓我們繼續(xù)前行。有誰能證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)？或者還有別的計(jì)算方法嗎？

小組4：我們有個(gè)大膽的想法。之前，我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，是將圓轉(zhuǎn)化成了近似的長(zhǎng)方形。那么，是不是可以將圓柱轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方體呢？

師：聽懂他們的想法了嗎？誰能再說得詳細(xì)些？

生4：他們的意思是沿著圓柱底面的直徑和圓柱的高把圓柱切成若干等份，然后拼成長(zhǎng)方體。

［教學(xué)意圖：強(qiáng)化學(xué)科實(shí)踐，增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力，注重動(dòng)手操作、作品展示、口頭報(bào)告等多種方式的綜合運(yùn)用，關(guān)注典型表現(xiàn)，推進(jìn)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)。教師限時(shí)講授，做學(xué)生的引領(lǐng)者；學(xué)生合作互學(xué)，做學(xué)習(xí)的主人翁。學(xué)生通過討論、實(shí)踐、觀察、想象等活動(dòng)，思維有了碰撞，學(xué)習(xí)有了深度、高度、廣度。］

二、“破壞”圓柱求提升

大概念的真正理解，不能通過死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練來完成，而是主要體現(xiàn)在完成“表現(xiàn)性任務(wù)”上，也就是能解決真實(shí)情境中的問題。

重組內(nèi)容可以改變以往零碎化知識(shí)教學(xué)的形式，使知識(shí)體系整體大于部分之和。數(shù)學(xué)教學(xué)要用數(shù)學(xué)的大概念、大情境、大主題、大任務(wù)、大問題，將數(shù)學(xué)知識(shí)中相同、相似乃至相對(duì)的意義進(jìn)行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學(xué)知識(shí)成為更具生長(zhǎng)力的結(jié)構(gòu)體。

［第二課時(shí)：學(xué)了圓柱的體積，你還學(xué)會(huì)了什么？］

學(xué)具準(zhǔn)備：圓柱形黏土、小刀。

問題：在有限的資源里，嘗試“破壞”圓柱，看看能創(chuàng)造什么樣的精彩。

1.操作：可以怎么“破壞”圓柱？

2.討論：被“破壞”之后的圓柱是什么樣子？與圓柱有什么關(guān)聯(lián)？

3.思考：生活中有類似的幾何體嗎？

4.設(shè)計(jì)：請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一道以圓柱的體積為基礎(chǔ)的創(chuàng)新題。

［教學(xué)意圖：大概念打通的不僅是學(xué)科內(nèi)的知識(shí)，還有學(xué)校教育和現(xiàn)實(shí)世界。實(shí)踐是學(xué)習(xí)的有效路徑。而大概念教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)在真實(shí)情境中解決問題，也就是遷移應(yīng)用，因此，以大概念為核心的教學(xué)能使學(xué)生在操作、想象、創(chuàng)造中真正獲得知識(shí)。］

小組1：我們用刀橫著切一刀圓柱形黏土，發(fā)現(xiàn)得到的兩個(gè)小圓柱比原來圓柱多了兩個(gè)底面。如果從正中間將圓柱形黏土一切為二，其中一個(gè)小圓柱的體積就是原來圓柱的。

小組2：我們也是把圓柱切成完成相同的兩部分，但我們是豎著切的，此時(shí)多了兩個(gè)長(zhǎng)方形的面。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的高，寬就是圓柱底面圓的直徑。

小組3：我們也是切的。不過切了以后就變成“斜圓柱”了。如果剛才我們切得規(guī)整一些，得到的“斜圓柱”的體積就是原來圓柱體積的了?？晌覀兪请S意切的，不知道體積是多少。

師：讓我們一起來幫幫他們。

生1：我們可以參考梯形的面積計(jì)算。借助一個(gè)與它完全一樣的“斜圓柱”……

師：大家順著這個(gè)思路去思考。

生2：將兩個(gè)完全一樣的“斜圓柱”拼成圓柱，算出圓柱的體積，再平均分成2份。

生3：也可以先添補(bǔ)再減。

生4：把黏土捏成長(zhǎng)方體，體積也沒變。捏成圓錐也可以。

生5：其實(shí)我們也可以把黏土捏成正方體。

［教學(xué)意圖：大概念教學(xué)能夠教會(huì)學(xué)生的不止于“這件事”，還有這一類普適性的做事準(zhǔn)則或規(guī)律。學(xué)生掌握了這些準(zhǔn)則或規(guī)律，就會(huì)在遇到新的問題時(shí)實(shí)現(xiàn)最大程度的遷移。正如布魯納所說：“非特殊遷移，或者，說得更確切些，原理和態(tài)度的遷移……這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本和一般的觀念來加深理解?！睂W(xué)生由體積的基本概念出發(fā)，在操作和討論中尋覓不同的方法，就能形成好學(xué)、樂學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。］

三、整合形體求結(jié)構(gòu)

深刻理解與把握一個(gè)大概念，需要較長(zhǎng)的時(shí)間，因此，大概念教學(xué)需要從單元層面展開，引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)性接觸大概念，直至完全理解與把握。如果“一課一個(gè)大概念”，教師依然會(huì)以灌輸?shù)姆绞浇虒W(xué)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解仍浮于表面。在教學(xué)實(shí)施中，應(yīng)準(zhǔn)確理解指向核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，關(guān)注結(jié)構(gòu)化重組的思路和部分調(diào)整的內(nèi)容，做好各層次的教學(xué)組織。

［第三課時(shí)：玩轉(zhuǎn)立方體］

師：上一堂課，同學(xué)們對(duì)圓柱進(jìn)行了橫切、豎切、斜切，收獲了很多新的知識(shí)。今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)圓柱的體積?？磥砟銈円呀?jīng)不滿足于在圓柱上切來切去了，開始主動(dòng)探究幾何體之間的關(guān)系。我們就一起來玩轉(zhuǎn)立方體吧！

1.想象：圓柱和其他立方體之間可以怎么轉(zhuǎn)化？

2.討論：轉(zhuǎn)化之后的立方體和圓柱有什么關(guān)聯(lián)？

3.設(shè)計(jì)：你可以設(shè)計(jì)出幾何體之間轉(zhuǎn)化的創(chuàng)意題嗎？

［教學(xué)意圖：教學(xué)內(nèi)容重組是將某一個(gè)知識(shí)作為一個(gè)教學(xué)資源，讓學(xué)生通過理解知識(shí)，從而形成一個(gè)大概念，即“我能用什么辦法來解決與這些知識(shí)有關(guān)的題”。學(xué)生將立方體聯(lián)系起來，不斷通過新獲得的知識(shí)去同化那些已學(xué)的，甚至對(duì)未學(xué)的知識(shí)也有初步認(rèn)識(shí)。］

小組1：從正方體中切下最大的圓柱。圓柱的底面直徑就是正方體的棱長(zhǎng)，圓柱的高是正方體的棱長(zhǎng)。

小組2：我們剛好相反，從圓柱中切下最大的長(zhǎng)方體。這個(gè)長(zhǎng)方體上下兩個(gè)面為正方形，正方形的對(duì)角線是圓柱的底面直徑，高就是圓柱的高。

小組3：從圓柱中切下最大的圓錐，不過，我們還沒學(xué)圓錐的體積。

師：怎樣切才是最大的圓錐？

生1：保持底面不變，高度也不能變。

師：等底等高。等底等高的圓錐和圓柱的體積有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？你們想怎么探究？

生2：用黏土。因?yàn)槲覀兛梢杂霉街苯佑?jì)算圓柱的體積，所以可以把圓錐形黏土捏成圓柱或長(zhǎng)方體后再計(jì)算。

生3：我需要水，還有兩個(gè)等底等高的圓柱和圓錐學(xué)具?？梢酝ㄟ^測(cè)量水的體積來探究圓柱和圓錐的體積關(guān)系。

師：我們又學(xué)到了一個(gè)知識(shí)——圓錐的體積?，F(xiàn)在可以進(jìn)行更多立方體體積的轉(zhuǎn)化啦。課后請(qǐng)大家設(shè)計(jì)相關(guān)的習(xí)題集。

［教學(xué)意圖：大概念教學(xué)要放在一個(gè)整體的“意義場(chǎng)”來加以精準(zhǔn)理解。基于此設(shè)計(jì)教學(xué)，能讓學(xué)生主動(dòng)追尋知識(shí)的本質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)。如果知識(shí)是學(xué)生自己尋得、悟得的，再通過自己的改造讓他人獲得啟發(fā)，惠人惠己，這也是學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)。］

傳統(tǒng)教學(xué)中，教師習(xí)慣依托教材按部就班地展開教學(xué)，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)地教，相關(guān)知識(shí)被碎片化處理，這樣的教學(xué)模式忽視了對(duì)知識(shí)整體的把握和建構(gòu)。大概念引領(lǐng)下的教學(xué)內(nèi)容重組，知識(shí)體系深邃而有內(nèi)涵，教師需要且行且思，首先學(xué)會(huì)像專家那樣學(xué)習(xí)、思考，優(yōu)化教學(xué)策略，明確教學(xué)重難點(diǎn)，才能幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。