做數(shù)學(xué)：學(xué)科實(shí)踐的基本樣態(tài)

江蘇南京建鄴實(shí)驗(yàn)小學(xué)分校（210017） 駱 煒

一、“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵和價(jià)值

1.內(nèi)涵

不同學(xué)者對(duì)“做數(shù)學(xué)”的理解各不相同。董林偉先生認(rèn)為：“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生運(yùn)用材料和工具，在手腦協(xié)同的過(guò)程中，通過(guò)操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種范式。李其進(jìn)老師認(rèn)為：“做數(shù)學(xué)”是一種在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，經(jīng)歷由現(xiàn)實(shí)世界抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)猜測(cè)假設(shè)、操作實(shí)驗(yàn)、合作探究、互動(dòng)交流等活動(dòng)，探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、自主建構(gòu)知識(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。學(xué)者的觀(guān)點(diǎn)雖有不同，但也有共識(shí)：“做數(shù)學(xué)”是一種學(xué)習(xí)方式，它以“做”為支架，充分凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位。筆者認(rèn)為，“做數(shù)學(xué)”是在真實(shí)情境中，學(xué)生借助材料和工具，在“做”中經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程與應(yīng)用過(guò)程的一種學(xué)習(xí)方式。

2.價(jià)值

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，在教學(xué)過(guò)程中若能有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，一定會(huì)取得事半功倍的效果。然而數(shù)學(xué)知識(shí)的高度抽象性和小學(xué)生思維的形象性是難以調(diào)和的矛盾，這讓很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而卻步?！白鰯?shù)學(xué)”恰好能在兩者之間找到一個(gè)中間地帶，引領(lǐng)學(xué)生以具身實(shí)踐的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)好玩的一面顯現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣自然高漲。

（2）促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

“做數(shù)學(xué)”能憑借材料和工具的支撐，最大限度地將學(xué)習(xí)內(nèi)容“可視化”。于是，抽象的數(shù)學(xué)概念、嚴(yán)密的運(yùn)算推理、精準(zhǔn)的圖形測(cè)量、隨機(jī)的概率統(tǒng)計(jì)等都以直觀(guān)的方式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，學(xué)生在“做”的過(guò)程中獲得對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的深度理解，并在此基礎(chǔ)上逐步抽象，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，進(jìn)而不斷更新自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（3）豐盈活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的接受，還是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累?！白鰯?shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲得的主要途徑，而數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)源于日常生活經(jīng)驗(yàn)，它是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)具體的材料和工具進(jìn)行操作、探究所獲得的經(jīng)驗(yàn)。日常教學(xué)中，“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)越豐富，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則越豐盈，這就為學(xué)生更加從容地利用經(jīng)驗(yàn)解決真實(shí)情境中的實(shí)際問(wèn)題提供條件。

（4）發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)

“做數(shù)學(xué)”能直接刺激學(xué)生大腦，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，它不僅能幫助學(xué)生理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題，還能讓學(xué)生通過(guò)親身實(shí)踐真切感受到發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，勇于探索一些開(kāi)放性的、非常規(guī)的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題，并在這樣的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)創(chuàng)新。

二、“做數(shù)學(xué)”的現(xiàn)狀剖析

1.需求缺失：被動(dòng)做

動(dòng)手實(shí)踐、自主探索是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。因此，日常教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘“做”的資源，引領(lǐng)學(xué)生在“做”中學(xué)。然而，在一些課堂上學(xué)生根本沒(méi)有“做”的需求，只是根據(jù)教師的指令被動(dòng)完成一步步的操作。比如，在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時(shí)，某教師讓學(xué)生用12 張同樣大小的正方形紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。五年級(jí)學(xué)生對(duì)這一活動(dòng)本身是排斥的，因?yàn)樗麄兺耆梢栽谀X海中想象出結(jié)果，但又不得不按照教師的要求去拼，對(duì)于“為什么要拼”等本源性問(wèn)題，學(xué)生根本無(wú)從思考。

2.工具泛濫：暗示做

“做數(shù)學(xué)”離不開(kāi)材料和工具的支撐，這里的材料和工具應(yīng)是學(xué)生基于問(wèn)題解決的需要而準(zhǔn)備或開(kāi)發(fā)的。在一些課堂上，學(xué)生過(guò)著“飯來(lái)張口、衣來(lái)伸手”的學(xué)習(xí)生活，教師針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容要求學(xué)生準(zhǔn)備了不同的材料和工具，這些材料和工具一覽無(wú)遺地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，暗示著學(xué)生后續(xù)“做”的活動(dòng)。比如，學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時(shí)，教師讓學(xué)生準(zhǔn)備三個(gè)平行四邊形紙片和一把剪刀，學(xué)生不難揣摩出今天的學(xué)習(xí)需要剪平行四邊形；學(xué)習(xí)三角形、梯形的面積時(shí)，教師讓學(xué)生準(zhǔn)備兩個(gè)完全一樣的三角形和兩個(gè)完全一樣的梯形，學(xué)生明白今天的學(xué)習(xí)不用剪三角形和梯形，兩個(gè)完全一樣的圖形很容易就想到拼組……如此教學(xué)，無(wú)形中削弱了“做數(shù)學(xué)”應(yīng)有的思維含量。

3.時(shí)間緊迫：草率做

在實(shí)際授課過(guò)程中，“做數(shù)學(xué)”和“講數(shù)學(xué)”相比，“做數(shù)學(xué)”必然會(huì)耗費(fèi)更多的時(shí)間，在有限的課時(shí)內(nèi)，“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)任務(wù)落實(shí)必然更具挑戰(zhàn)性。雖然大部分教師深知“做數(shù)學(xué)”對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，但囿于課堂上有限的時(shí)間，只得壓縮“做”的過(guò)程。于是，課堂上教師明確活動(dòng)要求后，便一直催著學(xué)生動(dòng)作快一些。在這樣的氛圍中，學(xué)生高度緊張，他們沒(méi)有思考的時(shí)間和空間，只為完成指定的任務(wù)而匆匆忙忙地經(jīng)歷一遍“做”的過(guò)程。于是，教師把學(xué)生囫圇吞棗的“做數(shù)學(xué)”過(guò)程等同于學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。實(shí)則不然，這樣的課堂中，“做”只是課堂教學(xué)的點(diǎn)綴和擺設(shè)，未能真正凸顯其應(yīng)有的育人價(jià)值。

三、“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐探索

1.創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境，激發(fā)“做”的需求

日常教學(xué)中，教師應(yīng)注重發(fā)揮情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的促進(jìn)作用，使學(xué)生在特定的問(wèn)題情境中產(chǎn)生“做”的需求。真實(shí)的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)圍繞教學(xué)任務(wù)，教師可從社會(huì)生活、自然科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面入手，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的素材。比如，為讓學(xué)生感受簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象及其結(jié)果發(fā)生的可能性大小，并對(duì)一些簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小做定性描述，教師可以組織六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行一次“擲骰子實(shí)驗(yàn)”。課始，教師開(kāi)門(mén)見(jiàn)山：“兩名同學(xué)玩擲骰子游戲，他們同時(shí)擲骰子，并將朝上的點(diǎn)數(shù)相加，結(jié)果有哪些可能？”明確問(wèn)題后，學(xué)生很快列舉出兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和有2～12 這11種可能。教師繼續(xù)追問(wèn)：“這11 種點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等嗎？”當(dāng)這一問(wèn)題拋出后，教室里炸開(kāi)了鍋，學(xué)生各抒己見(jiàn)，但誰(shuí)也不能說(shuō)出確鑿的令人信服的理由，在大家僵持不下的時(shí)候，有學(xué)生建議可以像數(shù)學(xué)家蒲豐那樣做實(shí)驗(yàn)，這一建議得到大家的普遍認(rèn)可。至此，“擲骰子實(shí)驗(yàn)”成為學(xué)生的迫切需求。這時(shí)，教師從講臺(tái)里拿出預(yù)先準(zhǔn)備好的骰子，讓學(xué)生同桌兩人為一個(gè)小組，邊實(shí)驗(yàn)邊記錄。教師將學(xué)生實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總，學(xué)生發(fā)現(xiàn)記錄的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出的規(guī)律為“這11 種點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的可能性不相等；把11 個(gè)點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的次數(shù)順次排列，中間的數(shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)更高”。教師再次追問(wèn)：“這是巧合還是另有原因呢？”這一問(wèn)題又引領(lǐng)著學(xué)生從直觀(guān)的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)走向客觀(guān)的分析，學(xué)生在獨(dú)立思考和小組合作的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)每種結(jié)果點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的情況不同。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的道理。

回顧這一活動(dòng)過(guò)程，教師創(chuàng)設(shè)一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題情境后，學(xué)生自主探索、合作交流，自然生成“做”的需求，而教師讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，為他們進(jìn)一步探究積累了豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，有效推進(jìn)學(xué)生思維的跨越。

2.開(kāi)發(fā)適切的材料工具，提供“做”的支撐

當(dāng)前，讓學(xué)生形成自主、合作、探究式學(xué)習(xí)已成為一線(xiàn)教師的普遍共識(shí)。在各級(jí)各類(lèi)課堂教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)，都能看到教師為學(xué)生學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的材料和工具，毋庸置疑，必要的材料和工具是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)的重要載體。但材料和工具的使用貴在適切，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確材料和工具的來(lái)龍去脈，切忌直接地將材料和工具強(qiáng)加給學(xué)生。

筆者曾在一次教學(xué)比賽的現(xiàn)場(chǎng)聽(tīng)兩位教師執(zhí)教同一道例題：

例：為了布置黑板報(bào)，美術(shù)小組的同學(xué)剪了一根粉色彩帶、黃色彩帶和藍(lán)色彩帶。如果以粉色彩帶作為標(biāo)準(zhǔn)，黃色彩帶和藍(lán)色彩帶各有多長(zhǎng)？

分析例題不難發(fā)現(xiàn)，例題的意圖是引領(lǐng)學(xué)生從測(cè)量的視角再認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義，感悟分?jǐn)?shù)單位的意義，進(jìn)一步明確通過(guò)分?jǐn)?shù)單位的累加可以得到大小不同的分?jǐn)?shù)。對(duì)比，兩位教師都設(shè)計(jì)了“以粉色彩帶為標(biāo)準(zhǔn)，測(cè)量黃色彩帶的長(zhǎng)度”的活動(dòng)，但過(guò)程截然不同。

A 教師直接出示問(wèn)題，學(xué)生明確問(wèn)題后，教師直接說(shuō)明：“用粉色彩帶作為標(biāo)準(zhǔn)，我們可以將粉色彩帶平均分成2 份、3 份、4 份……選擇更小的單位來(lái)測(cè)量?！彪S即出示活動(dòng)要求：（1）選一選：從老師提供的較小的分?jǐn)?shù)單位中選擇合適的分?jǐn)?shù)單位；（2）量一量：用選好的分?jǐn)?shù)單位量一量黃色彩帶，記錄結(jié)果；（3）說(shuō)一說(shuō)：黃色彩帶有（ ）個(gè)根粉色彩帶長(zhǎng)，是根粉色彩帶長(zhǎng)。接下來(lái)，學(xué)生完成活動(dòng)要求后全班集體交流。

B 教師在測(cè)量黃色彩帶長(zhǎng)度前增加了一條綠色彩帶，長(zhǎng)度正好是粉色彩帶的2 倍。學(xué)生通過(guò)觀(guān)察估計(jì)結(jié)果后，教師指名學(xué)生操作驗(yàn)證。隨后，教師出示黃色彩帶，很明顯，這時(shí)黃色彩帶比1 根粉色彩帶短。這時(shí)學(xué)生紛紛提出平均分粉色彩帶，選擇用平均分后的1 份去量黃色彩帶的方案，那究竟平均分成多少份呢？B 教師并沒(méi)有繼續(xù)提問(wèn)，而是為每桌同學(xué)準(zhǔn)備了5 根粉色彩帶和1 根黃色彩帶，讓學(xué)生自己嘗試。課堂上，有的小組學(xué)生將粉色彩帶平均分成2份、3份……逐一嘗試；也有的小組學(xué)生在觀(guān)察兩種彩帶長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上做出大膽的猜測(cè)，然后有選擇性地平均分粉色彩帶，創(chuàng)造合適的單位去量。

兩種課堂呈現(xiàn)不同的課堂樣態(tài)：A 教師的教學(xué)雖然順暢，但學(xué)生好似操作工，只是按部就班地完成指定的操作活動(dòng)；B 教師沒(méi)有為學(xué)生準(zhǔn)備現(xiàn)成的分?jǐn)?shù)單位，學(xué)生在特定的問(wèn)題情境中主動(dòng)創(chuàng)造探究的材料和工具。這樣，學(xué)生不僅從測(cè)量的視角對(duì)分?jǐn)?shù)的意義有了更為深刻的認(rèn)識(shí)，更為重要的是，他們從中習(xí)得了一致性的思想方法：在測(cè)量時(shí)若單位偏大，可以通過(guò)平均分不斷創(chuàng)造新的單位展開(kāi)測(cè)量?？梢?jiàn)，材料和工具的使用同樣需要教師精心地設(shè)計(jì)，適切的材料和工具是“做數(shù)學(xué)”的有力支撐，可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)不斷增值。

3.打開(kāi)探索的時(shí)空，豐富“做”的成果

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。因此，有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生“學(xué)”和教師“教”的統(tǒng)一。其中，教師“教”的重點(diǎn)在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，給予學(xué)生充裕的探索時(shí)間，幫助學(xué)生打開(kāi)廣闊的探索空間，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難，并在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題。學(xué)生“學(xué)”的關(guān)鍵在于全身心投入學(xué)習(xí)過(guò)程，主動(dòng)理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成積極的情感、態(tài)度和價(jià)值觀(guān)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

例如，在教學(xué)“面積單位的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，面對(duì)教學(xué)內(nèi)容多、學(xué)生量感弱等客觀(guān)現(xiàn)實(shí)，教師可以改變教材編排的平方厘米、平方分米、平方米的教學(xué)順序，大膽重組課程內(nèi)容。從學(xué)生熟悉的長(zhǎng)度測(cè)量開(kāi)始，由長(zhǎng)度測(cè)量需要長(zhǎng)度單位順勢(shì)引入面積測(cè)量需要面積單位。大多數(shù)學(xué)生在不同場(chǎng)合聽(tīng)過(guò)或見(jiàn)過(guò)平方厘米、平方分米和平方米這三個(gè)面積單位，對(duì)此，教師可以由“扶”到“放”，圍繞“是什么”“有多大”“有什么用”等三個(gè)核心問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生在豐富的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中建構(gòu)面積單位。認(rèn)識(shí)1 平方厘米時(shí)，教師出示1 平方厘米的正方形，讓學(xué)生猜想其邊長(zhǎng)，并進(jìn)行驗(yàn)證，明確定義。隨后，組織學(xué)生在摸一摸、想一想、比一比、找一找等活動(dòng)中全方位感知1 平方厘米的大小。有了認(rèn)識(shí)1 平方厘米的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，繼而順利開(kāi)展1 平方分米和1平方米的探究活動(dòng)。

不難預(yù)見(jiàn)，學(xué)生在探究1 平方分米和1 平方米的過(guò)程中與這兩個(gè)面積單位有了親密的接觸，后續(xù)的全班交流、分享將不斷豐富、完善學(xué)生對(duì)面積單位的認(rèn)識(shí)。經(jīng)歷了這樣“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生對(duì)面積單位的認(rèn)識(shí)不再是抽象晦澀的概念，而是集圖形、實(shí)物、文字、符號(hào)等多種表征于一體的具體的形象。這樣，學(xué)生建構(gòu)的知識(shí)更加堅(jiān)固。

綜上，“做數(shù)學(xué)”作為學(xué)科實(shí)踐的基本樣態(tài)，它能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解，經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)的自主探究，體驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。