數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中的妙用

張西欣

(日照市新營中學(xué),山東 日照 276800)

數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中發(fā)揮著重要作用,特別是在求實數(shù)根和取值范圍方面,通過運用數(shù)形結(jié)合的方法,學(xué)生可以將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形問題,并通過觀察圖形的特性解決問題[1].數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中的妙用不僅能幫助學(xué)生解決問題,還能夠提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)形結(jié)合為學(xué)生提供了更加直觀、形象的思維方式,使學(xué)生能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識[2].

1 求實數(shù)根類型的函數(shù)問題

在求實數(shù)根的問題中,數(shù)形結(jié)合能夠幫助學(xué)生直觀地理解方程與函數(shù)圖象之間的關(guān)系.例如,在解決方程實數(shù)根問題時,可將方程實數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,通過觀察圖象與圖象相交的點得到方程的實數(shù)根.在這類問題中,常常會出現(xiàn)“是否有實數(shù)根”“有幾個實數(shù)根”“實數(shù)根的取值”等問題[3].數(shù)形結(jié)合通過將抽象的方程問題與具體的圖形聯(lián)系起來,不僅能夠提高學(xué)生的空間思維能力,還能使學(xué)生更加深入地理解抽象概念.

例1 已知x1、x2、x3為方程x3+3x2-9x-4=0的三個實數(shù)根,則下列結(jié)論一定正確的是( ).

A.x1x2x3<0 B.x1+x2-x3>0

C.x1-x2-x3>0 D.x1+x2+x3<0

圖2 等式左右兩側(cè)函數(shù)

圖3 直線與拋物線相交

A.0 B.1 C.2 D.大于2

點評本題可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象求交點的問題,與例1類似.巧妙之處在于化簡之后發(fā)現(xiàn),含變量部分的系數(shù)和次冪均相等,這意味著整理后的兩個函數(shù)圖象“僅存在上下平移”.需要注意的是,只有“上下平移”的時候,兩函數(shù)圖象才無交點,存在其他形式平移時,該推理不成立.

2 求取值范圍類型的函數(shù)問題

在求取值范圍的問題中,數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生直觀地理解函數(shù)的定義域和值域.通過將函數(shù)的定義域和值域與函數(shù)圖象對應(yīng)起來,學(xué)生可以通過觀察圖形的特性來確定函數(shù)的取值范圍[4].這種直觀的方法不僅能夠提高學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的認識,還能夠培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺和圖象處理能力.通過利用函數(shù)圖象表示函數(shù)的變化規(guī)律,學(xué)生可以理解函數(shù)的增減性、極值和最值等性質(zhì).

例3拋物線y=-x2+bx+3的對稱軸為直線x=-1,若關(guān)于x的一元二次方程-x2+bx+3-t=0(t為實數(shù)),在-2

A.-12

C.-12

解析方法1:因為拋物線y=-x2+bx+3的對稱軸為直線x=-1,所以b=-2,y=-x2-2x+3;此時一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實數(shù)根可以看作y=-x2-2x+3與函數(shù)y=t的圖象有交點,如3所示.

因為方程在-2

方法2:因為拋物線y=-x2+bx+3的對稱軸為直線x=-1,所以b=-2,此時一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實數(shù)根可以分情況討論,設(shè)f(x)=-x2-2x+3-t,如圖4所示.

圖4 一元二次函數(shù)有實數(shù)解的3種情況

(1)有兩個根:即f(-1)>0;f(-2)<0;f(3)<0,此時有4-t>0;3-t<0;-12-t<0;

(2)和(3)有一個根:f(-2)·f(3)<0,此時(3-t)(-12-t)<0.

從而可得-12

點評 本題根據(jù)給出的對稱軸求出函數(shù)解析式為y=-x2-2x+3,可將一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實數(shù)根可以看作y=-x2-2x+3與函數(shù)y=t圖象的交點,再由-2

例4已知拋物線C:y=x2-2bx+c.

(1)若拋物線C的頂點坐標(biāo)為 (1,-3),求b、c的值;

(2)當(dāng)c=b+2,0≤x≤2時,拋物線C的最小值是-4,求b的值;

(3)當(dāng)c=b2+1,3≤x≤m時,x2-2bx+c≤x-2恒成立,求m的最大值.

解析(1)因為拋物線C的頂點坐標(biāo)為 (1,-3),所以y=(x-1)2-3=x2-2x-2,所以-2b=-2,b=1,c=-2.

(3)當(dāng)c=b2+1 時,拋物線C的解析式為y=(x-b)2+1,如圖5所示,拋物線C的頂點在直線y=1上移動:

圖5 拋物線與直線

當(dāng)3≤x≤m時,x2-2bx+c≤x-2恒成立,則可知拋物線C的頂點坐標(biāo)為 (3,1),設(shè)拋物線C與直線y=x-2除頂點外的另一個交點為M,此時點M的橫坐標(biāo)即為m的最大值.

點評本題第(1)問根據(jù)已知點的坐標(biāo)代入解析式確定系數(shù)即可;第(2)問先根據(jù)已知條件確定拋物線的對稱軸,再分段討論拋物線在各段上取最小值時b的值;第(3)問需運用數(shù)形結(jié)合的思想,通過拋物線圖象的移動范圍確定.

總之,數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)函數(shù)題中的妙用是不可忽視的.數(shù)形結(jié)合不僅可以幫助學(xué)生直觀地理解抽象概念和解決問題,還能夠激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣和求知欲[5].因此在今后的教學(xué)中,教師應(yīng)注重數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,通過提供具體的圖形來引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.