在知識(shí)探究中培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以《平行四邊形的面積》為例

文|李振新 張亞蘭

【教學(xué)內(nèi)容】

青島版五年級(jí)上冊(cè)第65～68頁(yè)。

【教學(xué)重、難點(diǎn)】

探索并掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)歷程，會(huì)靈活運(yùn)用平行四邊形的面積計(jì)算公式解決問(wèn)題，初步體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想。

【教學(xué)準(zhǔn)備】

課件、平行四邊形紙片、剪刀、尺子、透明方格板（每小格為邊長(zhǎng)1 厘米的正方形）等。

【教學(xué)過(guò)程】

一、結(jié)合情境，回顧舊知

師：同學(xué)們，施工隊(duì)運(yùn)來(lái)一塊玻璃，它的形狀是什么圖形？

生：長(zhǎng)方形。

師：還記得長(zhǎng)方形面積的探究過(guò)程嗎？

生：我記得用面積是1 平方厘米的小正方形紙片鋪一鋪，然后數(shù)一數(shù)一共鋪了多少個(gè)小正方形，最后得出結(jié)論：長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬。

師：學(xué)得真不錯(cuò)！現(xiàn)在施工隊(duì)要將一塊長(zhǎng)方形的玻璃切割，為樓梯裝上玻璃護(hù)欄，在這個(gè)過(guò)程中，圖形的面積發(fā)生了什么變化？

生：切割后圖形的面積會(huì)變小。

師：這是用切割出的所有小玻璃塊重新拼擺的圖案，它的面積和原來(lái)長(zhǎng)方形的面積有什么關(guān)系？

生：它們的面積相等。

師：這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)的“出入相補(bǔ)”原理：圖形分割后重新拼擺，面積保持不變。

師：今天要借助這個(gè)原理，探究平行四邊形的面積。

（板書(shū)：平行四邊形的面積）

二、遷移猜想，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

師：大家猜一猜，它的面積是多少？（板書(shū)：猜想）

生：7×5=35（平方厘米）。

［板書(shū)：7×5=35（平方厘米）］

師：說(shuō)說(shuō)你的想法。

生1：我知道長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬，所以我猜平行四邊形的面積是相鄰兩邊長(zhǎng)相乘。

師：合理的猜想。猜想是研究的第一步，接下來(lái)我們需要——

生：驗(yàn)證。

師：怎么驗(yàn)證？（板書(shū)：驗(yàn)證）

生：用“鋪一鋪”的方法。

師：和老師想的一樣。不過(guò)，這次老師給大家?guī)?lái)的是這個(gè)（出示透明方格板），里面的每個(gè)小方格是1 平方厘米，知道怎么用嗎？大家借助它數(shù)一數(shù)這個(gè)平行四邊形的面積吧。

師：有結(jié)果了嗎？

生：28 個(gè)格子，28 平方厘米。

師：你是怎么數(shù)的？

生：滿格的一共22 個(gè)，把不滿的格子合在一起，湊成6 個(gè)滿格，所以一共是28 個(gè)格子，也就是28 平方厘米。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：和之前的猜想不一致，我們猜得不對(duì)。

師：驗(yàn)證否定了之前的猜想，看來(lái)我們的研究不是一帆風(fēng)順啊，但是我們要迎難而上，繼續(xù)探究！（板書(shū)：探究）

三、合作探究，創(chuàng)生新知

1.初步推理，再行猜想。

師：原來(lái)只要數(shù)格子，就能知道圖形的面積。你覺(jué)得這種方法怎么樣？

生：太麻煩了，要一格一格地?cái)?shù)。

生：還可能遇到很多填不滿的格子，合在一起很麻煩，也不夠準(zhǔn)確。

師：確實(shí)需要一種簡(jiǎn)單的方法，最好像計(jì)算長(zhǎng)方形的面積那樣，一下子就能算出來(lái)。

生：老師，我在數(shù)格子的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，這個(gè)平行四邊形的高是4厘米，底是7 厘米，4×7 正好是28平方厘米。

師：所以你想說(shuō)？

生：我猜會(huì)不會(huì)是“底×高”？

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)好像有些道理，7×4=28（平方厘米），和我們數(shù)格子得到的結(jié)果一樣。那么它到底是一個(gè)真理，還是一個(gè)巧合呢？依然需要我們進(jìn)行驗(yàn)證。怎么驗(yàn)證呢？

師：還記得前面老師提過(guò)的“出入相補(bǔ)”嗎？將幾何圖形切割后重新拼擺，面積怎樣？

生1：面積不變！

生2：我想將平行四邊形分割，然后重新組合。

師：你打算組合成什么圖形？

生2：可以組合成長(zhǎng)方形或者是正方形。

師：為什么要組合成長(zhǎng)方形呢？不能轉(zhuǎn)化成別的圖形嗎？

生：因?yàn)槲覀冎涝趺此汩L(zhǎng)方形的面積，算起來(lái)比較方便。

2.操作探究，合作交流。

師：你們想將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，許多的新知識(shí)就是這樣被發(fā)現(xiàn)的。平行四邊形是否能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形呢？老師為大家準(zhǔn)備了平行四邊形小紙片和剪刀，請(qǐng)大家打開(kāi)學(xué)具袋1，小組合作探究。

師：哪個(gè)小組來(lái)分享一下你們的研究成果？

生1：沿著平行四邊形的高剪開(kāi)，剪下一個(gè)三角形，將三角形平移到右邊，就是長(zhǎng)方形了。

師：這個(gè)小組的同學(xué)成功完成了轉(zhuǎn)化，誰(shuí)還有不同的想法？

生2：我們小組和他們的方法不同。

生2：他們是沿著從頂點(diǎn)作的高剪開(kāi)，我們是沿著中間的高剪開(kāi)得到兩個(gè)梯形，然后重新拼在一起，組成長(zhǎng)方形。

生3：菱形小紙片，將它沿著頂點(diǎn)的高剪開(kāi)，也能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

生4：我們小組也是沿高剪開(kāi)，重新拼擺，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成了正方形。

生：我覺(jué)得只要沿著平行四邊形的高剪開(kāi)，就能拼成長(zhǎng)方形，而平行四邊形有無(wú)數(shù)條高，所以我覺(jué)得應(yīng)該有無(wú)數(shù)種方法。

師：你們同意嗎？

生：同意。

師：為什么一定要沿著高剪開(kāi)呢？

生：因?yàn)檗D(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，必須要有直角，沿著高剪開(kāi)，才能得到直角。

師：有道理！沿高將平行四邊形分成兩部分，再平移，就能把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

3.尋找聯(lián)系，創(chuàng)生新知。

師：轉(zhuǎn)化前后的圖形之間有什么聯(lián)系嗎？根據(jù)這個(gè)聯(lián)系我們能不能推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算方法呢？小組一起探討一下。

（小組探討，教師巡視）

師：哪個(gè)小組能交流一下你們的想法？

生1：根據(jù)“出入相補(bǔ)”原理，我們發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的面積和之前平行四邊形的面積相等。

生2：而且長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原來(lái)平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高。

生3：長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積計(jì)算公式就是底×高。

生4：是的，這和我們之前的猜測(cè)是一樣的。

師：小組內(nèi)互相說(shuō)一說(shuō)轉(zhuǎn)化的過(guò)程。

師：你們真厲害，通過(guò)合作探索，轉(zhuǎn)化推理，得出結(jié)論：平行四邊形的面積=底×高，用字母表示為S=ah。（板書(shū)）

四、鞏固拓展，素養(yǎng)提升

1.計(jì)算下面圖形的面積。

師：最后一道題目，究竟是10×14，還是8.5×14？

生1：我認(rèn)為都行，10 厘米和8.5 厘米都是底，14 厘米是高。

生2：這樣算出來(lái)的結(jié)果不一樣啊。

生3：我認(rèn)為是14×8.5，因?yàn)樗鼈兪腔ハ鄬?duì)應(yīng)的底和高。

師：我們?cè)谕茖?dǎo)小玻璃塊的面積時(shí)，都是以7 厘米的邊為底，沿著它的高剪開(kāi)的，大家有沒(méi)有想過(guò)，以5 厘米的邊為底呢？請(qǐng)大家認(rèn)真看大屏幕。

（播放微課視頻）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)了5 厘米的底乘5.6厘米的高，也等于28 平方厘米。

師：和我們之前學(xué)的不一樣嗎？

生：是一樣的，都是底乘高，但是這是另一組底和高。

師：是的，計(jì)算同一個(gè)平行四邊形的面積理論上來(lái)說(shuō)有兩組數(shù)據(jù)，因?yàn)槠叫兴倪呅斡袃山M相對(duì)應(yīng)的底和高。用哪組數(shù)據(jù)計(jì)算，要根據(jù)具體題目，具體分析。

師：同學(xué)們，關(guān)于上面的題目，你有答案了嗎？是什么？

生：8.5×14。

師：這就提醒我們什么？

生：計(jì)算面積時(shí)要注意底和高相互對(duì)應(yīng)。（板書(shū)：底和高相互對(duì)應(yīng)）

2.請(qǐng)你填一填，再結(jié)合圖示，敘述轉(zhuǎn)化過(guò)程。

3. 計(jì)算下面平行四邊形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：這幾個(gè)平行四邊形的面積相等。

師：它們有什么共同點(diǎn)？

生：底相等，高也相等。

師：所以等底等高的平行四邊形，面積相等。（板書(shū)：等底等高，面積相等）

師：同學(xué)們?cè)賮?lái)看這幅圖，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這也是等底等高，這三個(gè)圖形的面積是相等的。

師：你能不能畫(huà)出和上面圖形面積相等的平行四邊形？

生：可以，只要保證等底等高，平行四邊形的面積就相等。

師：你能畫(huà)出多少個(gè)？

生：很多個(gè)。

師：理論上應(yīng)該是無(wú)數(shù)個(gè)，畫(huà)一畫(huà)試試吧。

五、總結(jié)概括，全面提升

師：同學(xué)們，這節(jié)課你有什么收獲？

生1：我知道了平行四邊形的面積計(jì)算公式是底乘高，而且底和高要相互對(duì)應(yīng)。

生2：我知道平行四邊形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高。

生3：我體驗(yàn)到了探究的樂(lè)趣，先猜想，再驗(yàn)證，猜得不對(duì)就繼續(xù)猜想、探究和驗(yàn)證，最終得出結(jié)論，這個(gè)過(guò)程讓我很有成就感。

生4：我會(huì)畫(huà)很多個(gè)面積相等的平行四邊形，因?yàn)橹灰ＷC它們等底等高就行。

師：很高興大家收獲如此之多，有知識(shí)的收獲、體驗(yàn)的收獲，還有思維的拓展。最后，你們想不想知道，誰(shuí)是最早用“出入相補(bǔ)”原理研究平面圖形的面積的？

（微視頻向?qū)W生介紹劉徽的“出入相補(bǔ)”原理）

師：看了視頻你們有什么感想？

生：我覺(jué)得劉徽太厲害了，用“割補(bǔ)法”解決了很多幾何問(wèn)題。

師：同學(xué)們，你們也可以做到，你們就是小小數(shù)學(xué)家。