讓美充滿“數(shù)學”味，讓數(shù)學更“美”味
——“黃金比”教學例談

文 吳文娟（特級教師）

【教學內容】

蘇教版六年級上冊第58 頁。

【緣起】

數(shù)學很美，無論是它的內容、方法、思想，美幾乎流淌于數(shù)學的每一個“細胞”之中。只是有時，我們沉溺于考試成績，模糊了雙眼，而一次次與數(shù)學美失之交臂。“黃金比”正是讓我們認識數(shù)學美、感受數(shù)學美、追求數(shù)學美的很好的教學載體?！包S金比”的知識安排在蘇教版六年級上冊《認識比》的“你知道嗎”板塊中，內容相當少。但黃金比又廣泛應用于生活，學生也對此有著濃厚的興趣。如果只是教材上幾句話的介紹，遠遠不能滿足學生強烈的求知欲。基于以上思考，筆者認為，僅把黃金比作為一個知識來介紹實在是浪費了這一很好的素材。于是決定把它設計成一節(jié)綜合活動課，希望學生通過小組合作、自主探究去發(fā)現(xiàn)美、欣賞美、理解美、創(chuàng)造美。但同時，數(shù)學課不只是一堂美學欣賞課，更要充滿數(shù)學味。帶著火熱思考的美才能讓數(shù)學課更“美”味。

【教學過程】

一、欣賞美，引出黃金比

（伴隨著優(yōu)美的音樂欣賞一組圖片）

師：我們一起來欣賞。你覺得畫面上的事物美嗎？

生：美。

師：那你覺得它們美在哪里？

生：這個神廟建筑很雄偉，造型很美。

生：那只蝴蝶兩邊是對稱的，顏色很鮮艷。

生：維納斯女神身材很美。

……

師：同學們說得很有道理，從不同的角度觀察，就能欣賞到不同的美。那如果從數(shù)學的角度來看，又能發(fā)現(xiàn)什么呢？今天我們就從一個新的視角來探索美的奧秘。（出示課題）

二、探究美，發(fā)現(xiàn)黃金比

師：快到2024 年新年了，我想用一張長方形卡紙制作一張明信片送給朋友，下面幾種長方形的尺寸，你覺得哪種比較合適？

大部分學生建議選1 號。

師：你們?yōu)槭裁炊冀ㄗh老師選1 號呢？

生：這個長方形看上去舒服、好看。

生：長和寬的比較協(xié)調。

師：其實剛才老師是給同學們做了一個測試。早在100 多年前，德國心理學家費希納也做過類似的研究，他精心制作了各種長方形，召開了一次“長方形展覽會”，要求參觀者投票選出自己認為最美的長方形，結果評選出以下四種長方形最受歡迎。

師：一個長方形看上去是否美觀，你覺得主要和它的什么有關系呢？

生：和長與寬的比有關。

師：這只是一種猜測，可能是長與寬的比，還可能是長與寬的什么關系呢？

生：還可能和長與寬的差、和、積有關。

師：下面利用計算器四人小組合作研究這幾個長方形長與寬的關系。填寫數(shù)據(jù)后觀察并思考：長方形是否美，與長與寬的什么有關？你發(fā)現(xiàn)了什么？

長 寬 長與寬的和長與寬的差長與寬的積長與寬的比值（除不盡保留三位小數(shù)）85 138 21 13 34 21

生：我們發(fā)現(xiàn)這些長方形長與寬的比值都是1.6 多一點。

師：你們的發(fā)現(xiàn)與科學家不謀而合。早在公元前500 多年，古希臘學者就發(fā)現(xiàn)了“黃金長方形”，即長方形的長和寬的比值接近1.618。這樣的長方形看起來賞心悅目，人們把這個長方形寬和長的比叫作黃金分割比。1.618 的倒數(shù)的近似數(shù)為0.618，這個數(shù)被稱為黃金分割數(shù)。

師：現(xiàn)在你知道這些最美長方形美的奧秘了嗎？

師：生活中還有哪些物體的表面接近黃金長方形？找一找，測量并驗證。

三、解釋美，運用黃金比

師：同學們，剛才我們找到了最美矩形的奧秘，那最美人體的奧秘又是什么呢？

師：（出示維納斯雕像）古希臘的著名雕塑愛與美之神“維納斯”表現(xiàn)出最美的人體。雕像高2.04 米，以女神的肚臍為界，將雕像分成上身和下身兩部分，她的上身長0.78 米，下身長1.26 米（在圖上標出數(shù)據(jù)）。比一比、算一算，你能找到女神最美身材的奧秘嗎？

學生計算后發(fā)現(xiàn)：上身長∶下身長≈0.619，下身長∶全身長≈0.618。比值接近黃金分割數(shù)。

師：原來女神的身材也符合黃金比，怪不得是最美身材呢！

師：如果把女神的身高看成一條線段，那肚臍這個點就把線段分成了兩段。如果，這種分割就稱為對于這條線段的黃金分割，這個點被稱為黃金分割點。猜猜，為什么比值是個近似數(shù)呢？

生：我想真正的比值應該是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

師：你猜對了，其實真正的黃金分割數(shù)是一個無限不循環(huán)小數(shù)（出示這個數(shù)的前一百位）。我們通常取它的近似值0.618。

……

師：找一找、猜一猜，下面的建筑、藝術設計中哪里藏著黃金比？

多媒體出示：巴黎圣母院、東方明珠、金字塔、五角星、攝影照片等。

四、創(chuàng)造美，拓展黃金比

師：你們覺得吳老師的身材怎么樣？

師：（出示吳老師的上身是66cm，下身是97cm）請你用數(shù)據(jù)來說明。

生：66∶97≈0.680，比值偏大，我覺得你的身材不太好。

師：雖然我的心里不太開心，但這是大實話。那這個比值偏大，可能是什么原因呢？

生；您的下身偏短了，或是您上身偏長了。

師：找到原因了，那有什么辦法可以讓我的身材看起來更美嗎？

生：穿上高跟鞋，把你的下身變長點，這樣比值就會小了。

師：那趕快幫老師算算，到底要穿多高的高跟鞋，身材的比才更接近黃金比呢？

生：66÷0.618 ≈107 厘米，107－97＝10 厘米，要穿接近10 厘米的高跟鞋。

師：其實生活中真正符合黃金比的身材極少，但愛美之心人皆有之，為了能有更美的視覺感受，女性不怕辛苦穿上高跟鞋，但是，舒服才是最重要的。

師：你愿意用今天所學的知識幫媽媽算算要穿多高的高跟鞋嗎？

【反思】

一、在欣賞中引出美，凸顯數(shù)學的生活味

美，無處不在，而欣賞美的角度也各不相同。黃金比只是美學欣賞中的一個角度。為了避免學生學完黃金比后就只有“黃金比”這一個標準，同時也是充分肯定學生原有的生活基礎，使今天所學能很好地納入學生原有認識結構中去，于是，教學開始請學生欣賞一組畫面，并提問：“你覺得這些事物美嗎？美在哪里？”引導學生從對稱、色彩、形態(tài)、構圖等角度去評價畫面，教師肯定學生的評價都很有道理，其實就是告訴學生：你們欣賞美的角度都是對的。隨即話鋒一轉：如果從數(shù)學角度來欣賞，它們又為什么美呢？從而引出課題“美的奧秘”。這樣，起到了拋磚引玉的效果，使得學生對接下來的“探秘”之旅非常期待，迫切想揭開謎底。而由生活素材引入的研究，也充分體現(xiàn)了數(shù)學的生活味。

二、在探究中發(fā)現(xiàn)美，凸顯數(shù)學的思考味

黃金比是作為知識來告之學生，還是作為課題來讓學生自主探究，這是筆者課前思考的重點。根據(jù)教材安排，黃金比真正的數(shù)含義是到初二才正式學習。因為黃金比指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一個無理數(shù)，我們通常說的0.618 只是它的近似值。學生是否能理解這樣的無理數(shù)？又怎樣得到這個無理數(shù)呢？我想到了小學階段學到的另一個無理數(shù)：圓周率π。學生通過研究圓周長與直徑的關系得到了這個圓周率的近似值，那黃金比值是不是也可以這樣研究呢？于是我便設計了幫老師選明信片的問題，使學生關注長方形的長與寬。再通過德國心理學家費希納的長方形展覽會的史料介紹引出探究問題：長方形美不美，和它的什么有關系呢？一石激起千層浪，學生首先想到長和寬的比，但也有學生提出可能和長與寬的差有關，又有學生補充，還可能和長與寬的和、積有關。至此，學生基本確定了研究的方向，在小組合作探究后，學生驚喜地發(fā)現(xiàn)：原來最美長方形和長與寬的比有關，比值接近1.6。此時，學生還心存疑慮，因為少數(shù)學生通過課前預習已知道黃金比值應是0.618，怎么會是1.6 呢？最后，數(shù)學史料彌補了學生探究中的遺憾和不解。黃金比擺在我們眼前的是現(xiàn)成的知識，但科學家發(fā)現(xiàn)它卻經歷了一番艱苦的思考，而數(shù)學是充滿火熱的思考，思考帶來的美不亞于黃金比帶來的視覺享受。所以帶著學生一起重溫黃金比的發(fā)現(xiàn)之旅不只是欣賞數(shù)學的外在美，更是領略到數(shù)學內隱的思考美。

三、在解釋中理解美，凸顯數(shù)學的理性味

當學生探究得出黃金比后，是不是就是介紹、欣賞符合黃金比的美圖，讓學生在驚嘆中更全面了解黃金比呢？我想，不僅限于此。只有帶著思考去欣賞、運用黃金比來解釋美，才有別于一般的美學欣賞，才突出數(shù)學視角、突出數(shù)學的理性味。如教學中揭示維納斯最美身材的秘密，教者讓學生自己去計算比，對照發(fā)現(xiàn)最美身材原來也是符合黃金比的。教學并未在此止步，而是由最美身材抽象出線段的黃金分割，引出，從而自然得出黃金分割數(shù)原來是一個無理數(shù)，并展示這個無理數(shù)的前100位，至此，學生對黃金比的兩種外在形式：黃金長方形和黃金分割線段有了全面的認識，數(shù)學的理性味也更濃了。接下來學生欣賞著、發(fā)現(xiàn)著、解釋著藝術領域、生活領域、自然領域的黃金比。他們通過計算熟悉這個比，通過估測訓練自己的審美眼光。

四、在應用中創(chuàng)造美，凸顯數(shù)學的實在味

生活應用是黃金比最大的價值，而學以致用才能讓學生學得更扎實、學得更有味。雖然標準的黃金比設計需要尺規(guī)作圖，但近似的黃金比設計及黃金比的其他應用卻是學生應用比的知識就能解決的。其中最讓學生喜愛的就是幫老師設計高跟鞋。教學中教師先讓學生判斷教師的身材美不美，學生在一番討論后一致認為要算算身材的比，這就是黃金比的簡單應用。計算后發(fā)現(xiàn)老師上身與下身的比值偏大，“怎樣讓老師的身材符合黃金身材？”“老師穿多高的高跟鞋比較合適？”連續(xù)兩問驅使學生思考：怎樣利用黃金比來計算呢？當解決這一問題后，學生真切地感受到黃金比的實用性，能幫老師解決問題又使他們倍感自豪，而引申到課后幫媽媽設計高跟鞋使學生對黃金比的應用意猶未盡。

這節(jié)課在實際教學中取得了很好的效果，學生興致盎然，時而合作探究、時而獨立計算、時而驚嘆不已、時而心滿意足。這也使我們思考：在數(shù)學教學中注入美的元素，將使數(shù)學更有味，而欣賞數(shù)學美也離不開濃郁的數(shù)學味。