讓“運動”成為放飛學生思維的“支點”
——以《圖形與幾何》教學為例

文|陳 娜

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出，要幫助學生建立空間觀念，其中一方面就是要讓學生能描述實物或幾何圖形的運動和變化。教材安排了圖形的運動這類學習內(nèi)容，也強調(diào)幾何圖形的學習可以用“運動變化”的角度來組織學習，幫助學生探究和分析圖形之間的關系，理解和掌握圖形與幾何的本質(zhì)，形成“運動變化”的觀念。因此，小學數(shù)學的《圖形與幾何》教學可以把“運動變化”作為“支點”，將它作為圖形與幾何教學的一條主線展開教學，培養(yǎng)學生的空間觀念，放飛學生的思維。

那么，如何根據(jù)圖形的特征和性質(zhì)，在《圖形與幾何》內(nèi)容學習中通過“運動變化”的觀點展開教學，發(fā)展學生幾何直觀能力和空間觀念，提高學生的學習興趣呢？筆者結(jié)合教學實際談談自己的思考。

一、立足“運動變化”，加深對圖形本質(zhì)的認識

1．聯(lián)系“生活”，觀察對比，感知特征

心理學表明，小學階段兒童的抽象思維發(fā)展需要具體形象思維與生活經(jīng)驗來支撐，這就要求教學內(nèi)容要貼近學生實際，有利于學生體驗、思考與探索。教材中將圖形的運動——平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、圖形的放大縮小的特征認識，只定位在積累感性體驗，形成初步認識。因此，在教學中要多收集一些這樣的生活素材，可以按照運動的特征選擇運動或靜止的方式進行呈現(xiàn)。通過對大量“運動”現(xiàn)象的觀察、比較、分析、概括和提煉，引導學生探究其中的“變”與“不變”，感知“運動”的特征。

2．整合“運動”，增加趣味，教活特征

幾何圖形的種種性質(zhì)，只不過是各種幾何變換下的不變性和不變量。因此，通過對運動圖形中不變性的研究，整合運動形式，可以增強學習的趣味性，找到事物的本質(zhì)特征，有利于教活數(shù)學概念。

在教學《旋轉(zhuǎn)》時，讓學生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)三要素即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，教材中的例題提供了鐘面的指針旋轉(zhuǎn)和風車旋轉(zhuǎn)過程的圖片，學生不會主動發(fā)現(xiàn)指針旋轉(zhuǎn)的中心，很難看清風車旋轉(zhuǎn)的方向。有的教師教學設計時從線段的旋轉(zhuǎn)到圖形的旋轉(zhuǎn)一層一層地揭示旋轉(zhuǎn)的要素，學生雖然能掌握，但是不利于整體感知，也不利于學生學習興趣的激發(fā)。為了讓學生更好地發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的特征，激發(fā)他們的興趣，筆者在教學實踐中讓學生通過動態(tài)想象、整體感知、分類比較來設計教學過程。

師：今天老師給大家?guī)砹艘环赖膱D案。

課件出示：

師：你知道這個圖案是由什么圖形變換而來的嗎？（學生大膽猜想）

師：它是由這個直角三角形用什么方式變換得到的呢？（學生自由表達）

課件顯示圖案變換形成的過程，讓學生說說是怎么變換得到的？

師：你覺得這個直角三角形還可以怎么旋轉(zhuǎn)呢？

課件依次出示同一個三角形的6 個旋轉(zhuǎn)，并且一直保持動態(tài)演示。

師：用同一個三角形，出現(xiàn)了6 個不同的旋轉(zhuǎn)。你能按照一定的標準給它們分分類嗎？

學生按旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)點、旋轉(zhuǎn)角度分類，得出旋轉(zhuǎn)的三要素和旋轉(zhuǎn)的特征。

在上述教學過程中，教師改變了學習材料的呈現(xiàn)方式。在課的引入部分設計了圖形旋轉(zhuǎn)變換形成的美麗圖案。追問：這個圖案是由什么圖形變換而來的？它是由這個直角三角形用什么方式變換得到的？接連的追問，讓學生發(fā)揮自己的想象，在腦海中積極思考。再對同一個三角形進行旋轉(zhuǎn)引出6 個不同的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)一定的標準進行分類。讓學生在復雜的運動過程中通過分類找到旋轉(zhuǎn)中的不變性，找出本質(zhì)特征。像這樣富有趣味性的環(huán)節(jié)，不但提高了學生學習的積極性，增強了學生的動態(tài)想象能力，提升了學生的審美能力，更教活了數(shù)學概念。

3．創(chuàng)造“運動”，刻畫屬性，掌握特征

小學階段認識圖形的特征是教學的重點。要掌握圖形的本質(zhì)特征，勢必要利用直觀的教學手段，形象地進行教學。通過圖形的整體或部分的運動，借助動態(tài)直觀刻畫圖形的屬性，有利于學生掌握和理解圖形的特征。

特級教師王建良在執(zhí)教《圓柱的認識》中就用了“運動變化”的觀點。在教學圓柱側(cè)面的過程中，他讓學生從“滾”一周畫出側(cè)面；量出底面周長和高就能畫；用一張長方形紙作為側(cè)面，通過“卷”的方法做出圓柱。通過“旋轉(zhuǎn)”長方形紙的長邊、短邊或?qū)ΨQ軸形成圓柱，發(fā)現(xiàn)長方形紙與圓柱側(cè)面、底面半徑和高之間的關系。

上述教學過程改變了從生活中的具體實物去認識圓柱的這種靜態(tài)的教學觀，非常具有智慧地從運動變化的角度去認識圓柱。從圓柱的“滾”到一張長方形紙的“卷”“旋轉(zhuǎn)”等運動的方式，充分運用多媒體來認識圓柱的特征。這一過程不但讓學生認識了圓柱，而且深入地溝通了立體圖形圓柱與平面圖形之間的聯(lián)系，認識到圓柱側(cè)面展開圖與圓柱的關系，圓柱縱截面與圓柱體之間的關系，培養(yǎng)了學生的空間觀念。

二、運用“運動變化”，溝通幾何圖形的聯(lián)系

辯證唯物主義方法論認為，事物是不會孤立存在的，一定與周圍其他事物有一定的聯(lián)系。用“運動變化”的觀點學習幾何圖形可以溝通它們之間的聯(lián)系，滲透辯證唯物主義“普遍聯(lián)系”的方法論。因為在幾何圖形知識體系中，其前后聯(lián)系緊密，邏輯性強。所以運用“運動變化”的觀點，能溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學生把“散裝”的知識納入到知識系統(tǒng)中去，從而完善認知結(jié)構(gòu)。

1．構(gòu)建“運動”，整體認知，形成知識網(wǎng)絡

小學數(shù)學復習課的教學可以幫助學生理清知識脈絡，形成知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，有利于學生對知識的掌握和建構(gòu)。在復習圖形和幾何內(nèi)容時，可以從運動變化的角度，幫助學生牢固建構(gòu)知識體系。筆者在教學圖形的認識總復習時，嘗試通過運動的角度，幫助學生形成點、線、面、體之間的聯(lián)系網(wǎng)絡。

師：同學們，今天這節(jié)課我們一起來復習有關圖形的知識。

師：請同學們看大屏幕，仔細觀察。

演示：一個點——平移成線——再平移成面——再平移成體。

師：通過剛才的觀察，你知道了什么？

引導：點通過平移形成線，線的平移形成面，面的平移可以形成體。

板書：點→線→面→體

師：是的，點和線是構(gòu)成圖形的基本元素，今天這節(jié)課我們就重點來復習有關線和平面圖形的知識。

上述片段是教學的引入部分，筆者采用點動成線、線動成面、面動成體的觀點，讓本堂課的知識點能有一個更好的串聯(lián)，將點、線、面、體作為一個相關聯(lián)的內(nèi)容加以統(tǒng)一，找到本節(jié)課在整個知識系統(tǒng)中的位置，幫助學生建立完善的認知結(jié)構(gòu)。

2．利用“運動”，抓住本質(zhì)，推導面積公式

小學階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導過程中，時刻都能感受到圖形運動變化的重要作用。在平行四邊形、三角形、梯形等面積推導過程中，通過平移、旋轉(zhuǎn)的方式，拼湊、割補成熟悉的圖形，進行面積公式的推導，這些方法的實質(zhì)是從圖形的運動變化角度展開教學的。如果在類似的概念教學中，抓住了它們的本質(zhì)特征，就能有效地從“運動變化”的角度建立起內(nèi)在的聯(lián)系，推導面積公式。

【案例一】可以從梯形的面積公式出發(fā)，推導出三角形和平行四邊形的面積公式。以梯形的面積公式S＝（a＋b）h÷2 為基礎，通過上底頂點的運動，引導學生觀察，從整體的角度，聯(lián)系三者之間的關系。

出示：

師：將梯形上底c、d 兩點通過移動重合在一起，圖形變成了什么形狀？

生：三角形。

師：這時，梯形的上底的長度變成了多少？現(xiàn)在的梯形公式變成了什么？

生：S＝（a＋0）h÷2，也就是三角形的面積公式是S＝ah÷2。

師：如果將梯形上底c、d 兩點通過移動變成與ab 線段相等，圖形變成了什么形狀？

生：平行四邊形。

師：這時，梯形的上底的長度變成了多少？現(xiàn)在的梯形公式變成了什么？

生：S＝（a＋a）h÷2，也就是平行四邊形的面積公式是S＝2ah÷2=ah。

【案例二】我們也可以把平面圖形看成是定長線段沿著一個確定的方向平移一定距離后留下的軌跡，其面積等于線段（可能定長，可能均勻變化）長度與移動距離的乘積。

上述四種圖形移動的距離都是它們的高，其中圖①、圖②中的移動線段從始至終沒有變化，因此它們的面積是AB×h。圖③、圖④中的移動線段從始至終是均勻變化的，可以把起始位置和終止位置線段長度的平均值作為長度，即線段AB 加線段CD 的和除以2，或線段AB 加0 的和除以2，推導出梯形面積公式（AB+CD）×h÷2 和三角形面積公式AB×h÷2。像這樣從運動的角度還可以推導圓的面積，長、正方體和圓柱、圓錐的體積等。

按照上述的角度使用運動變化的觀點，經(jīng)歷面積計算公式的形成過程，有利于理解平面圖形面積公式之間的內(nèi)在邏輯關系，有利于認識圖形面積的本質(zhì)，真正構(gòu)建起面積公式的推導過程。

3．化“靜”為“動”，溝通屬性，深刻理解概念

通過運用“運動變化”的觀點，可以增強學生數(shù)學學習的深刻性，溝通知識間的聯(lián)結(jié)，提升對概念的深刻理解。

有一位教師在上《平行四邊形和梯形的認識》時，用運動變化的方式對平行四邊形概念進行梳理、溝通。根據(jù)“只要兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形”這個概念，出示兩組平行線，問：“當一組平行線旋轉(zhuǎn)和另一組平行線交叉，中間形成的四邊形是什么圖形？”然后教師演示（見下圖），讓學生觀察：什么變了，什么沒變？在這個過程中，你還發(fā)現(xiàn)了哪一種情況比較特殊？特殊在哪里？通過這樣的運動變化，使學生深刻理解長方形是特殊平行四邊形。通過平行線的運動變化的演示，抓住了平行四邊形的本質(zhì)屬性，有效理解了長方形、正方形和平行四邊形之間的包含關系，從而對平行四邊形的概念理解更加深刻。

三、通過“運動變化”，發(fā)展空間觀念和思維能力

1．想象“運動”，展現(xiàn)過程，促進空間觀念形成

利用“運動變化”可以直觀地展現(xiàn)出圖形變化和形成的過程。在教學中可以組織學生動手操作，動態(tài)想象，再利用媒體展現(xiàn)運動變化的過程，有效促進學生空間觀念的形成。

筆者在教學《旋轉(zhuǎn)》一課時，在教學的最后環(huán)節(jié)讓學生欣賞美麗的圖案，發(fā)現(xiàn)哪些圖形可以通過旋轉(zhuǎn)運動方式得到，是由哪個基本圖形旋轉(zhuǎn)得到的（見下圖）。學生通過觀察、描述、動態(tài)想象，觀看媒體演示，從而鞏固和完善了旋轉(zhuǎn)的特征，發(fā)現(xiàn)了各種運動方式之間的區(qū)別與聯(lián)系。

在本課拓展環(huán)節(jié)中，筆者又拋出一個正方形，讓學生想像旋轉(zhuǎn)后還可以得到怎樣的圖形。引出正方形的旋轉(zhuǎn)中心不同，形成的圖案也各不相同（如下圖）。由于學生動態(tài)想象能力的不足，大部分學生一開始都是胡亂猜測。部分空間想象能力好的學生會得出近似的結(jié)論，覺得會出現(xiàn)一朵近似的小花……通過學生的描述、動態(tài)想象之后，再進行媒體的直觀演示，學生恍然大悟，驚詫不已。能想象的同學顯得得意洋洋，原來猜錯的學生則有了想象旋轉(zhuǎn)的“支點”，豐富了基本想象經(jīng)驗。同時也發(fā)展了學生的空間想象能力，促進了空間觀念的形成。

由一個正方形通過旋轉(zhuǎn)形成的美麗圖案

2.聯(lián)系“運動”，化繁為簡，提升解決問題能力

教師要引導學生學會用具有運動觀點的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，運用聯(lián)系的觀點去解題，通過改變題目的結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化問題形式，讓學生在運動和變化中尋求不變，明確數(shù)量關系，從而簡化解題過程，達到靈活解題的目的。

在學習了長方體、正方體表面積之后，在五年級下冊第36 頁練習六中有這樣一道練習題（如圖）。

初次拿到題目后，在解決紅油漆的面積時大多數(shù)學生會感到束手無策。部分聰明的學生會分塊計算，算式如下圖：

在這題中如果能讓學生用聯(lián)系的觀點，由不規(guī)則平面圖形周長中的平移法想到立體圖形的平移法。從圖形“運動變化”的角度去分析，將紅色的面進行平移，剛好合并成3 個面（如下圖）。

從這樣的角度分析后，此練習還可以這樣來計算面積：

這時，紅色油漆部分的面積就轉(zhuǎn)化為求三個面的面積，相比原來的計算方法解答起來就比較容易。

像這樣的解決問題在圖形教學中還存在很多，如果能經(jīng)常性地運用平移、旋轉(zhuǎn)等運動變化的解題方法指導學生練習，久而久之，學生遇見此類問題時就會用“運動變化”將原題轉(zhuǎn)化成簡單的圖形再計算，從而大大提高此類問題的解答速度和正確率，提高學生的學習興趣，學生的空間觀念和思維能力也得到了發(fā)展。

綜上所述，在小學階段的《圖形與幾何》教學中，受學生的思維水平和知識技能的限制，用“運動變化”的觀點開展有關圖形的認識、測量、解決問題等內(nèi)容的教學，是一個循序漸進、漫長的過程。教師只要在平時的課堂教學中能注重從“運動變化”的觀點組織教學，滲透“運動變化”的數(shù)學思想，定能促進學生整體把握知識，理解和掌握知識間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念，讓“運動”真正成為放飛學生思維的“支點”。