抓住關(guān)鍵點(diǎn)滲透模型意識

文|孫保華（特級教師）

數(shù)學(xué)模型是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，表征研究對象的主要特征和數(shù)量關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)概念、關(guān)系、運(yùn)算、圖形、數(shù)據(jù)等都直接源于現(xiàn)實(shí)生活，是對現(xiàn)實(shí)模型數(shù)學(xué)化的結(jié)果，而當(dāng)這些數(shù)學(xué)對象被用于解決現(xiàn)實(shí)世界的問題時(shí)，又需要借助具體的模型表達(dá)實(shí)際意義。通過建立這種數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的雙向聯(lián)系，學(xué)生可以形成初步的模型意識?？紤]到小學(xué)生年齡特征和認(rèn)知能力，模型意識的發(fā)展應(yīng)以滲透的方式為主。如何來滲透模型意識呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，歸納總結(jié)了以下幾個(gè)滲透的關(guān)鍵點(diǎn)。

一、聯(lián)想拓展——一般性

數(shù)學(xué)模型是解決一類問題的基本數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)。要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的一般性特征，一方面要從具體、形象的實(shí)例或現(xiàn)實(shí)情境開始，通過多次的抽象、概括，建立數(shù)學(xué)模型；另一方面，也要通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以拓展和推廣，賦予所教內(nèi)容的“模型”意義。因此，教師在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷模型的建構(gòu)過程中，讓學(xué)生進(jìn)行分析、比較、抽象和歸納等，逐步逼近數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特征，在認(rèn)知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的“模型”載體，感悟數(shù)學(xué)模型的一般性。

例如，蘇教版五年級上冊《用字母表示數(shù)》的教學(xué)，教師首先從學(xué)生的生活入手創(chuàng)設(shè)情境并運(yùn)用情境圖：買1 個(gè)排球60 元，買2 個(gè)排球要2×60 元，買3 個(gè)排球要3×60 元……買10 個(gè)排球要多少元？買100個(gè)排球呢？買a 個(gè)排球多少元？當(dāng)學(xué)生得出了60a 元后，將情境圖去掉，讓學(xué)生用自己的語言表達(dá)60a 的含義，即60a 表示什么？可以表示買一個(gè)排球嗎？可以表示買10 個(gè)排球嗎？可以表示買100 個(gè)排球嗎？這里，學(xué)生在教師的追問中感受到“60a”這一模型的一般性。即60a 表示“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”。當(dāng)學(xué)生建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型之后，教師又引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思維，尋找類似的數(shù)量關(guān)系?！?0a 還可以表示什么？”學(xué)生認(rèn)為可以表示1 小時(shí)行的路程，也可以是10 小時(shí)行的路程……這里60a 還可以表示“速度×?xí)r間=路程”。教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理解這兩種模型的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生結(jié)構(gòu)化地掌握這兩種模型。因此，學(xué)生理解了“單價(jià)”表示“1 袋多少元”“1 噸多少元”等，“速度”表示“1小時(shí)行多少千米”“1 分鐘行多少米”等，“單價(jià)”“速度”都表示1 份數(shù)，“數(shù)量”“時(shí)間”都表示有這樣的幾份（份數(shù)），“總價(jià)”“路程”則表示一共有多少份（總數(shù)）。于是，“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”更上位的數(shù)學(xué)模型自然產(chǎn)生。借助這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型，賦予“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”更多的“模型”意義，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想尋找生活原型。例如“工程隊(duì)每天修路120 米，共修了8天，一共修了多少米？”“春梅家庭農(nóng)場一共有12 公頃土地，今年每公頃大約產(chǎn)糧9 噸，一共產(chǎn)糧多少噸？”等等。通過實(shí)際運(yùn)用，“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一數(shù)學(xué)模型的一般性、包攝力和表征力才能彰顯出來，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)模型的魅力。

二、多元表征——簡約化

在教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從日常生活或真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號表征數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。數(shù)學(xué)模型的表征是學(xué)生個(gè)性化的解讀與理解，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵的認(rèn)知和清晰化，有利于模型的推廣。因此在數(shù)學(xué)建模過程中，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生嘗試用符號語言建構(gòu)和表征模型，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的簡約化。

例如，蘇教版四年級下冊《乘法分配律》的教學(xué)。學(xué)生前期例舉了各種類型的例子來證明乘法分配律的可靠性。如何簡潔地表示出乘法分配律，于是教師設(shè)計(jì)了“你能不能用一個(gè)式子表示這一運(yùn)算律？”這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生思考。學(xué)生通過探索認(rèn)為可以用“（幾+幾）×幾=幾×幾+幾×幾”來表示這一運(yùn)算律。但有學(xué)生認(rèn)為這樣的表達(dá)不夠清楚和簡潔，用幾來表示，可以是任何數(shù)，這樣寫體現(xiàn)不出左邊和右邊的聯(lián)系，認(rèn)為可以改成“（□+△）×○=□×○+△×○”來表示這一運(yùn)算律。教師及時(shí)讓學(xué)生說一說這樣表示的理由，因?yàn)椤醮砝ㄌ柪锏牡谝粋€(gè)加數(shù)，△代表第二個(gè)加數(shù)，○代表括號外面的乘數(shù)，可以寫成括號里的兩個(gè)數(shù)都和括號外的數(shù)乘一次，再相加。最后有學(xué)生認(rèn)為這樣表示還不夠簡潔，又提出了用字母表示的方法“（a+b）×c=a×c+b×c”，用a 和b 代表括號里的兩個(gè)加數(shù)，c 代表括號外面的乘數(shù)。教師設(shè)計(jì)了“你更喜歡哪一種”這一問題讓學(xué)生來評價(jià)這三種方法，讓學(xué)生體驗(yàn)到用字母來表征乘法分配律更簡潔，更容易書寫。鼓勵(lì)學(xué)生用字母表達(dá)所發(fā)現(xiàn)的運(yùn)算律，使學(xué)生意識到乘法分配律的一般性，并經(jīng)歷體驗(yàn)由文字表達(dá)到圖形表達(dá)再到符號表達(dá)的轉(zhuǎn)化過程。讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表達(dá)運(yùn)算律的學(xué)習(xí)過程，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的符號意識，也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)模型表征的簡約化。

三、適度變式——結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)模型的共同點(diǎn)都是由原型結(jié)構(gòu)抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立模型的過程，本質(zhì)上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，在學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。因此在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對已建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行適度變式，結(jié)合解決實(shí)際問題的教學(xué)，設(shè)計(jì)“多題一解”和“一題多變”的練習(xí)，有助于學(xué)生感悟模型間的聯(lián)系，強(qiáng)化對模型的結(jié)構(gòu)認(rèn)知，體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的整體性。

1.多題一解

（1）水果超市的蘋果比香蕉多200 千克，賣出的蘋果是賣出香蕉的2 倍，這時(shí)蘋果和香蕉都還剩100千克，賣出香蕉多少千克？

（2）水果超市的蘋果比香蕉多200 千克，賣出的蘋果是賣出香蕉的2 倍，這時(shí)蘋果還剩100 千克，香蕉還剩150 千克，賣出香蕉多少千克？

（3）水果超市的蘋果比香蕉多200 千克，賣出的蘋果是賣出香蕉的2 倍，這時(shí)蘋果還剩150 千克，香蕉還剩100 千克，賣出香蕉多少千克？

學(xué)生匯報(bào)：設(shè)賣出香蕉x 千克，賣出的蘋果2x 千克。（1）（2x+100）－（x+100）=200；（2）（2x+100）－（x+150）=200；（3）（2x+150）－（x+100）=200。發(fā)現(xiàn)學(xué)生不約而同地都選擇了方程，因?yàn)檫@三道題的數(shù)量關(guān)系是一致的，都是“蘋果的質(zhì)量－香蕉的質(zhì)量=200 千克”，這樣列方程就使問題解決變得很簡單。不管條件怎么變化，只要數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)模型）不變，方程的框架就不變。

2.一題多變

（1）一輛汽車從甲地到乙地，共行了9 小時(shí)，前4小時(shí)每小時(shí)行85 千米，后5 小時(shí)每小時(shí)行105 千米，甲地到乙地一共有多少千米？

（2）鴻燕服裝公司要生產(chǎn)一批襯衫，前3 天每天做105 件，后4 天每天做120件，一共做了多少件？

（3）工廠要購買一些煤，第一批運(yùn)進(jìn)了8 噸，每噸售價(jià)800 元，第二批運(yùn)進(jìn)了4 噸，每噸售價(jià)700 元，兩批煤共需多少元？

三個(gè)實(shí)際問題雖然情節(jié)不同，但數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)模型）是相同的，都是求“兩積之和”。學(xué)生通過這樣的情境變換訓(xùn)練，多角度分析、比較看清了這些實(shí)際問題的本質(zhì)，都具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，掌握不變的數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），就能以“不變”應(yīng)“萬變”，有助于學(xué)生體會(huì)不同問題中所蘊(yùn)含的相同本質(zhì)，感悟原型間的聯(lián)系，感受數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）的魅力。

四、經(jīng)歷演繹——應(yīng)用性

人的認(rèn)識過程是一個(gè)由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識、再由理性認(rèn)識回到實(shí)踐的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程。數(shù)學(xué)模型意識的滲透應(yīng)充分關(guān)注模型的具體應(yīng)用，要引導(dǎo)學(xué)生從具體的問題抽象提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再從形式化的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可以感觸的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得到豐富。讓學(xué)生經(jīng)歷演繹的過程來解決實(shí)際問題，深刻理解數(shù)學(xué)的包容性和應(yīng)用性，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，同時(shí)有助于加深學(xué)生對模型的理解，增強(qiáng)其應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識，體會(huì)模型的價(jià)值。

例如，針對蘇教版四年級下冊《三角形的三邊關(guān)系》的教學(xué)，教師設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)性、拓展性、綜合性三個(gè)層次的練習(xí)。

1.基礎(chǔ)性應(yīng)用

下面每組題中的3 條線段能圍成三角形嗎？（單位：厘米）

（1）4，10，6；（2）9，8，7；

（3）4，10，5；（4）6，7，10。

通過出示四組數(shù)據(jù)的線段，讓學(xué)生判斷能否圍成三角形并做出合理的解釋，對三角形三邊關(guān)系的特征進(jìn)行一個(gè)基礎(chǔ)性的鞏固與應(yīng)用。在這里大部分學(xué)生都能準(zhǔn)確進(jìn)行判斷，部分學(xué)生從中體會(huì)到三角形任意兩邊之和大于第三邊，其實(shí)只要最短兩條邊之和大于第三邊就可以，同時(shí)推理能力也得到進(jìn)一步的提升。

2.拓展性應(yīng)用

已知兩條線段的長度分別是4 厘米和9 厘米，尋找第三邊。

（1）另有長度分別為5 厘米、6 厘米、7 厘米、13厘米的線段，其中能夠與前兩條線段組成三角形的線段有哪幾條？（學(xué)生獨(dú)立思考，小組交流結(jié)果）

（2）第三條線段還可以是哪些長度（取整厘米數(shù)）？它最長是多少厘米？最短是多少厘米？（小組合作找出第三條邊的所有可能，說說你是怎么想的）

本題需要逆向思考，如果教師一下子就把題目完整地拋出來，學(xué)生解題存在一定的困難。所以教師把問題分為兩個(gè)小問題，通過第一個(gè)問題的鋪墊，給學(xué)生作為思考的階梯，利用已有的知識（三角形任意兩邊之和大于第三邊）進(jìn)行演繹推理選取合適的第三條邊，長度可以是6 厘米和7 厘米；第二個(gè)問題，學(xué)生除了對第一個(gè)層次中得出的兩短邊之和大于第三邊的體會(huì)更加深刻外，還發(fā)現(xiàn)與要保證兩邊之和有關(guān)系，那么兩邊之差也同樣存在關(guān)系，三角形中兩邊之差必定小于第三邊，合情推理與演繹推理相互融合。所以有部分學(xué)生得出了兩個(gè)關(guān)系式即：4+9>第三邊邊長，9-4<第三邊邊長，并由這兩個(gè)關(guān)系式輕松推導(dǎo)出第三條線段長度的取值范圍：5 厘米<第三條線段的長度<13 厘米，即第三條線段的長度可以是6、7、8、9、10、11、12 厘米，其中最長是12 厘米，最短是6 厘米。

3.綜合性應(yīng)用

從學(xué)校到少年宮有幾條路線？走哪一條路最近？

該練習(xí)的設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)模型還原成具體的實(shí)際問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中加深對數(shù)學(xué)模型的理解。一方面讓學(xué)生體會(huì)到通過探究得到的結(jié)論不僅可以解決數(shù)學(xué)上的問題，而且也能解決生活中的問題，使學(xué)生獲得濃厚的學(xué)習(xí)興趣與成就感，也為進(jìn)一步滲透與培養(yǎng)模型意識打下良好的基礎(chǔ)。另一方面，學(xué)生通過已有的知識（三角形的三邊關(guān)系），又推出了一個(gè)新的結(jié)論：兩點(diǎn)間線段最短。兩個(gè)知識點(diǎn)得到了很好的融合。

數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的意義。我們要多措并舉，以發(fā)展學(xué)生的模型意識為契機(jī)，滲透到知識的形成過程中，滲透到知識的應(yīng)用中，滲透到學(xué)生思維過程中，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來觀察現(xiàn)實(shí)世界。