診學(xué)習(xí)之階 解認(rèn)知之難
——對一名五年級學(xué)生乘法分配律概念學(xué)習(xí)的分析及教學(xué)干預(yù)

□周 瑩

運(yùn)算律是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，其中，乘法分配律因其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和運(yùn)用的靈活性成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。受概念理解水平的限制，學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律解決問題時(shí)，常常會出現(xiàn)“盲目湊整”“變式誤識”等情況。通過診斷學(xué)生對乘法分配律的掌握情況，分析學(xué)生的概念理解水平，精準(zhǔn)實(shí)施干預(yù)，可以提高學(xué)生的概念理解水平和運(yùn)用能力。下面，筆者以對一名五年級學(xué)生小A的干預(yù)過程為例，探討基于學(xué)習(xí)進(jìn)階診斷的個(gè)別化教學(xué)。

一、學(xué)習(xí)診斷，確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

小A的數(shù)學(xué)成績處于班級中下水平，他不僅課堂交流不主動(dòng)，還時(shí)不時(shí)拖欠作業(yè)，因而備受教師關(guān)注。在四年級系統(tǒng)學(xué)習(xí)乘法分配律后，教師針對小A的錯(cuò)題情況，采用“標(biāo)記相同因數(shù)”“講數(shù)學(xué)故事”等多種方式進(jìn)行了糾正。但直到五年級，小A仍頻繁出現(xiàn)類似“1.25×4.8×0.08=1.25×4+0.8×0.08”“99×124=（99+1）×124”的錯(cuò)誤。為精準(zhǔn)把握小A 對乘法分配律的理解水平，筆者借用黃興豐研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)的乘法分配律的診斷問題，以訪談的形式對小A乘法分配律的掌握情況進(jìn)行學(xué)習(xí)診斷（如表1）。

表1 對小A乘法分配律掌握情況的學(xué)習(xí)診斷

根據(jù)訪談可知，小A能在具有乘法分配律結(jié)構(gòu)的具體情境（任務(wù)1）中理解兩種不同形式算式的含義；能用三位數(shù)乘一位數(shù)的豎式驗(yàn)證結(jié)果（任務(wù)2）；能基于對乘法及加法含義的理解，比較具有相同因數(shù)的兩積之和的大小關(guān)系（任務(wù)4）；但未能在分配律的兩種形式之間建立有效聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)兩種形式的自由轉(zhuǎn)換（任務(wù)3）；未能有效識別較復(fù)雜的分配律結(jié)構(gòu)，忽視規(guī)則簡單湊整(任務(wù)5)。

二、個(gè)別干預(yù)，提升理解水平

學(xué)習(xí)進(jìn)階水平既是每個(gè)階段概念學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，也是概念理解的發(fā)展進(jìn)程，每個(gè)水平級均可作為學(xué)習(xí)干預(yù)的階段性目標(biāo)。黃興豐研究團(tuán)隊(duì)依據(jù)APOS理論構(gòu)建出乘法分配律學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，包含6個(gè)進(jìn)階水平。水平1：能以某個(gè)數(shù)量作為單位進(jìn)行計(jì)數(shù)，初步理解加法和乘法的關(guān)聯(lián)。水平2：通過具體情境及運(yùn)算求解等活動(dòng)，初步感悟乘法分配律的基本形式，記憶乘法分配律的基本形式。水平3：在支持乘法分配律結(jié)構(gòu)的情境中，通過說理或程序性操作，在分配律的兩種形式間建立聯(lián)系，但尚未形成完整的定義。水平4：能從實(shí)例中抽象出乘法分配律的本質(zhì)特征，并理解其內(nèi)涵。水平5：能在非標(biāo)準(zhǔn)形式中識別乘法分配律的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步理解乘法分配律的本質(zhì)。水平6：具有完整的乘法分配律概念，建立起與其他數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，形成知識的綜合圖式。根據(jù)教師對小A的訪談結(jié)果，對照學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的具體表現(xiàn)，他的乘法分配律概念理解水平處于水平2 的發(fā)展階段，未達(dá)到水平3。針對小A對乘法分配律的現(xiàn)有理解水平，教師將五年級學(xué)生的常模水平作為最終的干預(yù)目標(biāo)，制訂了乘法分配律的干預(yù)教學(xué)計(jì)劃（如表2）。

（一）對比遷移，建立模型

人教版教材在四年級下冊創(chuàng)設(shè)了植樹情境，通過“一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動(dòng)”這一問題，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)兩種思路列出兩個(gè)算式，得到等式：（4+2）×25=4×25+2×25。然后給出乘法分配律的文字表述“兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加”。教學(xué)中，教師會依據(jù)教材編排意圖重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解乘法對加法的分配，而對乘法對減法的分配卻不會深入展開，導(dǎo)致小A 經(jīng)過一年的學(xué)習(xí)仍未能建立乘法對減法分配的模型。

1.多角度預(yù)設(shè)，促進(jìn)遷移

為降低認(rèn)知難度、聚焦教學(xué)重點(diǎn)，教師創(chuàng)設(shè)“學(xué)校打算為短跑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員購買隊(duì)服，每件上衣需55元，每條褲子需45元，4套隊(duì)服共需多少元錢？4條褲子比4件上衣便宜多少元？”和“五年級有6個(gè)班，六年級有4 個(gè)班，如果每個(gè)班級可以領(lǐng)10 根跳繩，五、六年級共領(lǐng)了多少根？五年級比六年級多領(lǐng)多少根？”兩個(gè)現(xiàn)實(shí)問題。借助現(xiàn)實(shí)生活情境，從“份數(shù)相同”和“每份數(shù)相同”兩個(gè)角度進(jìn)行比較遷移，幫助小A實(shí)現(xiàn)乘法分配律從加法向減法遷移。

2.結(jié)構(gòu)化表征，突破障礙

實(shí)際干預(yù)過程中，小A解決“4條褲子比4件上衣便宜多少元？”的問題時(shí)，他只有“上衣總價(jià)減褲子總價(jià)”一種解法，不能將褲子和衣服一一對應(yīng)來求解。為突破這一障礙，教師啟發(fā)小A通過對比梳理信息，形成結(jié)構(gòu)化表征（如圖1）。再指引他變換觀察角度，找到另一種解題思路，得到：55×4-45×4=（55-45）×4。最后引導(dǎo)小A結(jié)合具體情境，運(yùn)用乘法的意義解釋算式兩邊相等的原因。小A 通過對比、觀察解決兩個(gè)購物問題列出的4 個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)乘法分配律中的“+”變成“-”后仍然成立，順利提煉乘法對減法分配的字母表達(dá)式。

圖1 購物問題結(jié)構(gòu)化表征示意圖

（二）調(diào)用經(jīng)驗(yàn)，理解本質(zhì)

眾所周知，在學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律之前，教材已多次滲透乘法分配律結(jié)構(gòu)，如乘法口訣前后兩句的關(guān)系、多位數(shù)乘一位數(shù)、長方形周長計(jì)算等，為學(xué)生理解乘法分配律提供了大量的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。然而，小A 雖然掌握了上述知識，但是未能在學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與乘法分配律之間建立有效聯(lián)結(jié)，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.喚醒經(jīng)驗(yàn)，建立有效聯(lián)結(jié)

教師發(fā)現(xiàn)小A具有很好的計(jì)算能力。因此，教師從兩位乘法筆算開始，通過構(gòu)建“15×26=6×15+20×15”這樣的等式，幫助小A直觀地理解筆算“15×26”的過程就是“把其中一個(gè)因數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)與一位數(shù)相加，再把拆分后的兩個(gè)加數(shù)分別與另一個(gè)因數(shù)相乘，再相加”，引導(dǎo)小A在乘法筆算和分配律之間建立聯(lián)系。當(dāng)然，也可以從“式”與“形”兩個(gè)方面表征長方形周長的計(jì)算，將乘法的意義、乘法運(yùn)算、幾何度量和乘法分配律建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)聯(lián)結(jié)。

2.多元表征，促進(jìn)意義理解

小A 能夠運(yùn)用語言、符號、現(xiàn)實(shí)情境等多種表征方式對乘法對加法的分配作出合理的解釋，但不能解釋乘法對減法的分配。因此，教師從圖式表征入手，引導(dǎo)小A 先畫圖表示“（6-4）×3”和“3×6-3×4”這兩個(gè)算式，再通過觀察圖式發(fā)現(xiàn)兩個(gè)算式表達(dá)相同的意義，最后結(jié)合運(yùn)算的意義用數(shù)學(xué)語言表征等式，促進(jìn)多種表征形式的轉(zhuǎn)換。

（三）直觀推理，縱向拓展

乘法分配律可以從兩項(xiàng)式推廣到多項(xiàng)式，即若干個(gè)數(shù)的和（差）與一個(gè)數(shù)相乘的形式。小A 對乘法分配律的應(yīng)用只局限在兩項(xiàng)式，不能識別類似“7×4-2×4-3×4”這樣非標(biāo)準(zhǔn)分配律的結(jié)構(gòu)。

1.借助圖形表征，向多項(xiàng)式拓展

在干預(yù)過程中，小A在教師“先看前面兩項(xiàng)，再補(bǔ)充第三項(xiàng)”的提示下，意識到可以使用乘法分配律的變式。小A 將“7×4-2×4-3×4”兩次變形后得到“（7-2-3）×4”，從而建立兩者的等式關(guān)系，但仍不能自主用乘法的意義解釋等式相等的原因。面對這一情況，教師引導(dǎo)小A 回到圖式表征中，讓他用圖式表示算式的含義（如圖2），再分別從橫向、縱向觀察圖式，用乘法的意義解釋兩個(gè)算式。由此，小A逐漸認(rèn)識到“從橫向看，4個(gè)（7-3-2）就是4個(gè)7減4個(gè)3，再減4個(gè)2；從縱向看，7個(gè)4減去3個(gè)4，再減去2 個(gè)4，還剩（7-3-2）個(gè)4”，從而實(shí)現(xiàn)了乘法分配律的多項(xiàng)式推廣。

圖2 乘法分配律多項(xiàng)式表征示意圖

2.借助意義解釋，提高整體思維

小A 在計(jì)算“25×15×（2+4）”時(shí)，先按計(jì)算順序得出“25×15=375”，再將其變形為“375×2+375×4”進(jìn)行計(jì)算；在計(jì)算“25×（2+4）×15”時(shí)，先按計(jì)算順序得出“25×6×15=150×15”，再將其轉(zhuǎn)化為“（50+100）×15=50×15+100×15”進(jìn)行計(jì)算。而對于“25×（2+4）×15=25×15×（2+4）”是否相等的原因，小A 則是將“（2+4）”看作“6”，運(yùn)用多種運(yùn)算律的應(yīng)用進(jìn)行合理的解釋。由上述過程可知，小A通過教師的教學(xué)干預(yù)，能夠從單一運(yùn)算律的應(yīng)用進(jìn)階到多種運(yùn)算律的混合應(yīng)用，提升了整體思維。

（四）教后診斷，檢驗(yàn)成效

經(jīng)過三個(gè)階段的教學(xué)干預(yù)后，教師再次對小A進(jìn)行教學(xué)診斷。教師設(shè)計(jì)了兩項(xiàng)式和多項(xiàng)式兩類式題，共10 道題，具體包括乘法對加法、減法分配的標(biāo)準(zhǔn)乘法分配律和非標(biāo)準(zhǔn)乘法分配律，其中運(yùn)算數(shù)據(jù)包含整數(shù)和小數(shù)兩類。除“4.87×0.36＋48.7×0.054”這類需要先等價(jià)變形，再運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡便運(yùn)算的問題外，其他問題小A 均能正確運(yùn)算。教學(xué)診斷表明，小A已經(jīng)能在非標(biāo)準(zhǔn)形式中識別乘法分配律的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行合理巧算，但對同時(shí)運(yùn)用多種運(yùn)算律、性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算存在困難。因此，通過教師的教學(xué)干預(yù)，小A對乘法分配律的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平已經(jīng)達(dá)到了水平5，但未達(dá)到6水平的圖式階段。

綜上所述，教師通過對乘法分配律學(xué)習(xí)的個(gè)案診斷，分析學(xué)生概念理解的難點(diǎn)，擬訂教學(xué)干預(yù)路徑，精準(zhǔn)實(shí)施個(gè)別化教學(xué)，可以提高學(xué)生的概念理解水平和運(yùn)用能力。