以數學思想方法和核心素養(yǎng)為旨歸的單元整體教學探究
——以《三角函數》為例

顏美玲|杭州師范大學經亨頤教育學院；浙江省杭州外國語學校

單元整體教學設計是在整體思維的指導下，從提升學生的學科核心素養(yǎng)出發(fā)，通過對教材相關內容進行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，并將重組后的教學內容視為一個相對獨立的教學單元而進行的動態(tài)教學設計.它提倡將教學內容置于單元整體中考慮，這樣就能規(guī)避目前課堂中存在的知識割裂化和碎片化的現(xiàn)象，從而提高教學效率.

在基本策略和方式方面：何小亞提出先從整體知識的研究對象、研究方法和用途等方面給學生一個全面的概述，使學生對這個知識單元有一個整體的認識，然后逐個學習［1］；章建躍提出用數學研究的大觀念設計單元整體教學，引領學生從研究思路、研究內容和研究方法等角度進行教學設計，讓學生經歷完整的提出問題直至解決問題的過程［2］.在內涵和設計路徑方面：章飛等提出根據學習主線的類型將學習單元分為兩類，即以知識技能為主題和以思想方法或學科素養(yǎng)為主題［3］；喻平又從一個單元就是一個思想體系、方法體系、知識體系的角度，提出了以問題解決過程線索為主題、以建立個體CPFS 結構為主題、以概念生長為主題、以數學思想方法解決問題為主題的四種單元教學模式［4］.在上述研究的啟發(fā)下，筆者進行了一些嘗試，下面以人教A版（2019）普通高中教科書《數學》（以下簡稱“人教A 版教材”）必修第一冊第五章《三角函數》為例，探討以數學思想方法和核心素養(yǎng)為旨歸進行單元整體教學設計的實踐路徑.

一、分析單元教學要素

（一）課標分析

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標準》”）對該單元的要求為：幫助學生在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最大（小）值等性質；探索和研究三角函數之間的恒等關系；利用三角函數構建數學模型、解決實際問題.

《課程標準》對“直觀想象”的目標要求是：建立形與數的聯(lián)系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路；通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質.

（二）教材分析

筆者以框架圖的方式呈現(xiàn)該單元的基本內容（如圖1所示）.

圖1 《三角函數》單元內容框架

該單元的核心概念是單位圓、弧度制、正弦、余弦、正切函數.核心原理是正余弦、弦切關系以及誘導公式和兩角差的余弦公式.核心思想方法是利用單位圓給出三角函數的定義、探究其性質并加以運用.同時，筆者又從數學核心素養(yǎng)方面將內容進行了分類，內容①②、③～⑦、⑧⑨所涉及的主要核心素養(yǎng)分別是數學抽象、直觀想象和數學建模.該單元的地位和作用如下.

從三角函數發(fā)展的角度看，三角函數與天文學密不可分、相互交織；從應用的角度看，三角函數與其他學科的聯(lián)系非常緊密，特別是物理學；從內容上看，三角函數在中學階段起著承上啟下的作用，一方面它是對初中階段圓有關內容的進一步研究，另一方面它是后續(xù)學習平面解析幾何的基礎，它與向量和復數也有密切的聯(lián)系.同時，它能為學生在大學階段學習傅里葉級數等內容做好鋪墊.

（三）學情分析

從內容上看，在該單元之前，學生已在初中平面幾何中學習了有關圓的性質以及中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉對稱圖形等.從方法上看，平面幾何中的相關知識及其思想方法可為證明三角函數的性質提供思路，如誘導公式.另外，在前面函數的學習中，學生已基本掌握了研究一類函數的內容、一般過程與方法.

（四）教學目標分析

結合《課程標準》、教材和學情，筆者對教學目標作了如下分析：（1）經歷用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的性質的過程，體會研究三角函數性質與其他函數性質的方法的共同和不同之處；（2）經歷以函數的一般概念與性質為線索的探索過程，提升整體把握數學內容的能力，增強學習數學的信心；（3）加深對概念的理解，提升數學抽象、數學運算等核心素養(yǎng)；（4）經歷用三角函數解決其他學科或生活中具有周期現(xiàn)象的實際問題，體會三角函數的應用價值，提升數學建模核心素養(yǎng).

（五）重難點分析

在一般觀念指導下，筆者將該單元教學的重點定為：（1）研究三角函數的一般路徑；（2）類比指數、對數函數的研究，展開該單元的研究；（3）注重三角函數的特殊性質——周期性有著統(tǒng)領其他性質的作用；（4）突出單位圓在研究三角函數性質時的重要作用.

該單元教學的難點是：（1）以往所學函數的對應關系都是以代數運算的方式反映的，而三角函數則是借助單位圓（是角和有向線段的對應）給出對應關系，學生剛開始不容易適應這樣的對應關系；（2）將圓的幾何性質轉化為三角函數值之間的關系，即通過幾何直觀研究三角函數的性質，這也是學生不熟悉的方法；（3）發(fā)現(xiàn)兩角和（差）的三角函數公式與圓的旋轉對稱性間的聯(lián)系以及利用三角恒等變換解決問題.

（六）教學方式分析

單元整體教學需要凸顯學生的主體性，而不是單純地注重知識的傳遞.在具體的課堂教學中，教師要為學生提供充足的探索交流時間，并多安排一些合作探究的內容，啟發(fā)學生探究、交流，最后師生共同歸納總結.

二、重組后的單元教學內容結構

一般來說，教科書中自然的章節(jié)就是天然的單元.但若能以數學思想方法或核心素養(yǎng)為統(tǒng)領進行適當的單元重整，換一個維度，從更為上位的角度認識學科的知識和結構也是非常有必要的.人教A版教材特別強調和突出單位圓的地位和作用，如利用單位圓感受1弧度的角的大小，利用單位圓定義三角函數，利用單位圓研究同角三角函數的基本關系（即基本性質），利用單位圓的軸對稱性和旋轉對稱性分別研究和推導誘導公式及和差角公式等.因此，筆者以單位圓為主要抓手重組該單元內容，建立由3個小單元構成的以直觀想象思想為引領的大單元結構體系（如圖2所示）.

圖2 以直觀想象思想為引領的《三角函數》大單元結構體系

對圖2，需要說明以下幾點.

第一，教材中內容呈現(xiàn)的順序是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨，而重組后的順序是①②④③⑤⑦⑥⑧⑨，并且在⑦和⑥之間設置了1～2 個課時的主題探究. 直觀想象是該單元的核心思想方法，因此這樣的內容順序設置主要是基于以思想方法為主題的單元教學模式.在小單元2中，筆者重點引導學生逐步體會③～⑦這五塊內容是圓的幾何性質（重點是對稱性）的解析表達.由于④可以從“圓上的點到圓心的距離就是半徑長”這一圓的幾何性質并借助三角函數的定義直接得出，并且它本質上所體現(xiàn)的是三角函數的周期性，而周期性是三角函數區(qū)別于其他函數的最主要性質，所以筆者將它直接安排在②后.

第二，學生需要理解誘導公式其實就是三角函數的性質.為了使誘導公式的教學本質化、簡單化，同時讓學生感受現(xiàn)代數學的主流方法（對稱、變換等）［5］（具體內容見表1），構建利用單位圓的性質研究三角函數性質的一般路徑與方法，筆者重點將教材中的誘導公式和同角三角函數關系作了順序上的調整，得到了小單元2的框架.

表1 誘導公式與單位圓的幾何性質及旋轉（或對稱）變換的關系

第三，在小單元2中，筆者將教材中的“探究與發(fā)現(xiàn)”安排在⑦和⑥之間，是希望學生能進一步體會單位圓在研究三角函數性質中的腳手架作用，這也是其區(qū)別于其他函數的方面，即利用單位圓的幾何直觀研究性質.若將⑦設置在⑥之后，會讓學生有一種假探究的感覺.因此，筆者認為按照“⑦→探究與發(fā)現(xiàn)→⑥”的順序展開教學，既能突出單位圓的工具性作用，又能聚焦核心素養(yǎng)與關鍵能力.當然，若學生水平一般，可調回“⑦→⑥→探究與發(fā)現(xiàn)”的順序.

另外，教師也可開設如“將單位圓關于y=-x對稱的幾何性質轉化為三角函數值之間的關系”等主題探究式的課堂，繼續(xù)強化通過幾何直觀研究三角函數性質的思想方法. 考慮到新知學習容量較大，教師也可根據學情適當調整內容順序.當然，若作為章節(jié)復習課或高三第一輪復習階段復習課，則完全可以按照上述思路進行單元重組.

三、單元整體教學案例

作為單元整體教學中的一部分，課時教學既應以單元整體教學思想為統(tǒng)攝，聯(lián)結該課時前后的其他課時教學，又應突出自身的教學價值.下面以“探究與發(fā)現(xiàn)——利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”課時教學為例，呈現(xiàn)單元整體教學的部分輪廓.

（一）課時目標

結合《課程標準》、教材和學情，筆者將該課時目標定為如下兩點：（1）在已有經驗（借助圖象來研究函數性質）的基礎上嘗試從新的角度探究三角函數的性質，即通過觀察任意角的終邊與單位圓交點的橫坐標的變化規(guī)律，獲得余弦函數的性質，從而提升直觀想象等核心素養(yǎng)并強化利用幾何直觀思考、解決問題的能力；（2）能類比利用單位圓的性質研究余弦函數性質的方法和一般過程，自主研究正弦函數的性質，進一步提升自主探究問題的能力.

（二）課時重難點

重點：利用單位圓的性質，通過觀察數據、分析數據研究正、余弦函數的性質.

難點：利用單位圓，從正、余弦函數定義的角度直接探究性質.

（三）過程設計（簡案）

1.復習回顧，做好鋪墊

師：請回顧任意角三角函數的定義，說出正弦函數、余弦函數對應的幾何意義.

設計意圖：這節(jié)課的核心思想是利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數，而三角函數的定義與單位圓密切相關，因此復習三角函數的定義，可為后續(xù)研究函數性質做好知識上的準備.

2.提出問題，形成思路

問題1：這節(jié)課研究的對象是什么？

問題2：類比以往對函數性質的研究，你認為應該研究正弦函數、余弦函數的哪些性質？

問題3：你覺得應該如何研究正弦函數、余弦函數的性質？

設計意圖：通過問題1，讓學生明確這節(jié)課的研究對象是y=sinx，y=cosx（xR），接著在問題2中讓學生通過類比，提出研究正弦函數、余弦函數的奇偶性、單調性、最值等.另外，通過之前對誘導公式的學習，學生已初步感知與其他初等函數相比，其具有的最特殊的性質——周期性，因此在此處可以引導學生提出相關概念，為后續(xù)的探究做好鋪墊.基于學生能提出借助函數圖象研究函數這一傳統(tǒng)思路的前提，問題3 旨在讓學生提出探究正弦函數、余弦函數性質的新視角，即利用單位圓的性質，從而確定這節(jié)課的研究思路.

3.初步探究，感知性質

問題4：前面所學的哪個誘導公式體現(xiàn)的是正弦、余弦函數的周期性呢？

問題5：函數的周期性是如何定義的？

問題6：什么是函數的性質？

設計意圖：利用單位圓的性質研究周期性與奇偶性，已在之前教材中的誘導公式1——sin(x+2kπ)=sinx（kZ）和誘導公式3——sin(-x)=-sinx上有所體現(xiàn)，因此通過問題4 可讓學生回憶誘導公式1、給出周期函數的一般定義，從特殊到一般循序漸進地引出周期函數的嚴格定義.同時引導學生從函數的角度再次審視誘導公式1，即自變量x的值增加2π 整數倍時所對應的函數值與x所對應的函數值相等，從而體會研究自變量x的變化，函數值y的變化規(guī)律就是研究函數的性質的一般觀念.另外，正因為正弦函數、余弦函數具有周期性，所以在研究其他性質時可簡化研究，即先研究一個周期內的性質再延拓到整個定義域內.

4.以點帶面，深入研究

問題7：如何在單位圓中研究余弦函數y=cosx（xR）的性質呢？

設計意圖：通過小組合作的方式，先讓學生將研究余弦函數的過程及結論寫在學習單上，然后匯報，師生一起總結.借助GeoGebra軟件的動態(tài)演示，教師可引導學生通過觀察角的終邊與單位圓的交點P的橫坐標的變化規(guī)律，得出余弦函數的單調性和最值.另外，關于奇偶性，學生很容易從誘導公式3——cos(-x)=cosx得出偶函數的結論.但是此處教師需要引導學生從函數性質的角度再次認識該公式，并且通過GeoGebra 軟件的動態(tài)演示（如圖3 所示），從單位圓的角度直觀感知為何直線x=0是余弦函數的對稱軸，即角以零角為參考順時針或逆時針旋轉任意相等的角，旋轉后兩終邊與單位圓交點的橫坐標是相等的，即余弦函數值是相等的.

圖3 兩角終邊關于v軸對稱的余弦函數的動態(tài)演示

問題8：你還能借助單位圓發(fā)現(xiàn)余弦函數的其他性質嗎？

設計意圖：前面主要利用了單位圓的周而復始以及關于v軸的對稱性得到了余弦函數的有關性質，接著繼續(xù)啟發(fā)引導學生借助GeoGebra 軟件的動態(tài)演示研究得出余弦函數的對稱性.在圖3中，當兩個角的終邊關于v軸對稱時，對應點的橫坐標到直線x=kπ（kZ）的距離是相等的.從單位圓上看，這兩個角的終邊與單位圓交點的橫坐標是相等的，即余弦函數值相等.因此，直線x=kπ（kZ）是余弦函數的對稱軸.當兩個角的終邊關于u軸對稱時（如上頁圖4所示），這兩個角的終邊與單位圓交點的橫坐標互為相反數，即它們的余弦函數值相反.而對應點的橫坐標到直線x=kπ+的距離是相等的，因此這兩個點關于點呈中心對稱.于是可得出余弦函數關于點呈中心對稱.

圖4 兩角終邊關于u軸對稱的余弦函數的動態(tài)演示

5.課堂小結，形成結構

問題9：你能歸納出在單位圓中研究正弦、余弦函數性質的一般步驟了嗎？

設計意圖：師生一起用框圖的形式梳理利用單位圓研究余弦函數性質的一般過程（如圖5所示），為后續(xù)自主研究正弦函數做好鋪墊，同時回顧與總結這節(jié)課的研究內容和研究方法（如圖6、圖7所示）.

圖5 研究函數性質的一般過程

圖6 函數性質的研究內容

6.拓展應用，布置作業(yè)

（1）請利用單位圓自主研究正弦函數的性質.

（2）利用單位圓證明以下問題：

①若0 ＜α＜，證明：sinα＜α＜tanα，1 ＜sinα+cosα＜

②若0 ＜α＜β＜證明：α-sinα＜βsinβ.

（3）你還可以利用單位圓研究三角函數的其他性質嗎？請試一試.