麥克斯韋滾擺的力學(xué)過程分析

李鐵平,萬 淼,金三梅,景銳平

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,湖北 武漢 430074)

麥克斯韋滾擺如圖1所示,當(dāng)轉(zhuǎn)動滾擺的軸,使?jié)L擺上升到頂點時,滾擺儲蓄一定的勢能. 當(dāng)滾擺被松開,開始旋轉(zhuǎn)下降,滾擺勢能逐漸減小,動能(平動動能和轉(zhuǎn)動動能)逐漸增加. 當(dāng)懸線完全松開,滾擺不再下降時,轉(zhuǎn)動角速度與下降平動速度達到最大值,動能最大. 由于滾擺仍繼續(xù)旋轉(zhuǎn),它又開始纏繞懸線使?jié)L擺上升. 在滾擺上升的過程中動能逐漸減小,勢能逐漸增加,上升到原來高度時,動能為零,勢能最大. 如果忽略能量損耗,滾擺每次上升的高度都相同,說明滾擺的勢能和動能在相互轉(zhuǎn)化過程中,機械能的總量保持不變[1-3]. 玩具溜溜球[4-5]就是麥克斯韋滾擺的普及版.

圖1 麥克斯韋滾擺

1 下降過程的力學(xué)分析

重力作用下滾擺的運動是滾擺質(zhì)心的平動與滾擺繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的合運動. 如果不計空氣阻力,滾擺在運動過程中機械能守恒. 在任意時刻,滾擺的總動能E等于質(zhì)心的平動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和,即

(1)

式中,J是滾擺對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量.

滾擺的受力情況如圖2所示,圖中r是軸的半徑,T是繩對滾擺的拉力,mg是滾擺受到的重力,由質(zhì)心運動定理和轉(zhuǎn)動定律可得[6-7]

圖2 麥克斯韋滾擺的受力分析

(2)

式中,ac為質(zhì)心的加速度,β為繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角加速度.由此可解出

(3)

若滾擺從靜止開始下降,經(jīng)過時間t,其下降的高度為

(4)

質(zhì)心的平動動能為

(5)

繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能為

(6)

顯然滿足

Ekt+Ekv=mgh.

(7)

式(7)表明,滾擺在下降過程中,減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為質(zhì)心的平動動能與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能之和,即滾擺在運動中機械能守恒.

由于轉(zhuǎn)軸的半徑r遠小于擺輪的半徑R,且擺輪的質(zhì)量主要分布于擺輪的邊緣,所以有J?mr2,從而有Ekt?Ekv,即滾擺質(zhì)心的平動動能很小,而滾擺質(zhì)心速度與擺輪邊緣轉(zhuǎn)動線速度的比值為

(8)

所以視覺上的感受是轉(zhuǎn)軸平移很慢,而擺輪轉(zhuǎn)得很快.

當(dāng)滾擺下降到最低點時,擺輪的轉(zhuǎn)動動能達到最大值,由于轉(zhuǎn)動的慣性,滾擺開始反向纏繞懸線,下落過程中獲取的平動動能和轉(zhuǎn)動動能將重新轉(zhuǎn)化為重力勢能,輪的轉(zhuǎn)速逐漸減小,質(zhì)心位置升高,重力勢能增大.即到最低點后,滾擺的動能轉(zhuǎn)換為重力勢能,直至到達最高位置.然后滾擺在重力作用下再次下降,如此反復(fù)……

2 回轉(zhuǎn)點的力學(xué)分析

若要優(yōu)化麥克斯韋滾擺結(jié)構(gòu),可減少平動動能在動能里面的占比,讓勢能盡可能多地變成轉(zhuǎn)動動能.

滾擺下落到最低點時,質(zhì)心速度反向是否會損失部分能量?如圖3所示,質(zhì)心速度的反轉(zhuǎn)不是“瞬時”完成,而是經(jīng)歷向下的質(zhì)心速度,改變成水平速度,再轉(zhuǎn)化向上的速度,其中能量依然保持守恒.

(a) (b) (c) (d) (e)

分析質(zhì)心速度的改變過程,必然需要考慮質(zhì)心速度水平方向改變的動力來源.

圖3中的(a)～(e)為滾擺在最低點的運動過程. 在該過程中,系統(tǒng)的質(zhì)心位置下降,重力勢能減小,動能增加. 其中,圖3(a)是滾擺質(zhì)心達到懸線末端時的狀態(tài)圖,滾擺在下落接近最低點時,滾輪懸掛點A離開鉛直位置,懸線略為傾斜,由于擺繩在內(nèi)輪的切線方向,故切點A的速度可表示為vA=vc-ωr.剛開始點A在OO′連線右下方,OO′是頂端懸掛點O′與滾擺中心O的連線,如圖3(b)所示,此時拉力矩方向與滾輪角加速度β方向相同,轉(zhuǎn)動加速.由于滾輪受到的合力導(dǎo)致滾輪做回復(fù)到鉛直位置的運動,因此質(zhì)心水平方向的速度增加,豎直方向速度減小,即vc方向偏離鉛直位置. 隨著滾輪的轉(zhuǎn)動,某一時刻點A會落在OO′的連線上,如圖3(c)所示,此時系統(tǒng)所受的拉力矩減小到0,轉(zhuǎn)速達到最大. 滾輪繼續(xù)運動,某一時刻點A會落在OO′的連線左上方,如圖3(d)所示,此時拉力矩方向與滾輪角加速度β方向相反,轉(zhuǎn)動動能減小,平動動能增加,即轉(zhuǎn)動減速,平動加速. 由于點A受到向右的分力作用,直到點A回復(fù)到鉛直位置,如圖3(e)所示,此時小球中心O到達最低點,滾輪回復(fù)到鉛直位置,質(zhì)心速度變?yōu)樗剿俣?

懸線拉力將原先質(zhì)心向下的速度改變方向,直到最低點速度為水平方向,其平動動能和轉(zhuǎn)動動能到達最大值,理論上沒有發(fā)生能量的損耗;如果忽略懸線的微小偏移,無法理解質(zhì)心平移速度的反轉(zhuǎn).

其后發(fā)生的上升過程與降落過程正好相反,就不再討論了.

通過力學(xué)模擬與簡化分析,可以得到懸繩最大拉力

(9)

代入實際麥克斯韋滾擺的參考值,J=20mr2,h=1 m,r=0.5 cm,得到Tmax≈20mg.最大拉力確實遠遠大于滾擺的重力mg,所以很多研究者略去力學(xué)過程的分析,只是簡單的把最低點的回轉(zhuǎn)過程理解為沖擊模式.

在滾擺整個運動過程中,滾擺在理論上是能回復(fù)到釋放點的.但本文的模型是基于忽略空氣阻力、輕質(zhì)彈性細(xì)線,也沒有考慮轉(zhuǎn)軸系繩點在技術(shù)上會發(fā)生移動摩擦.通過適當(dāng)處理,系繩點的移動可能減少到極值;但空氣阻力無法克服,會導(dǎo)致部分能量損耗,還有非絕對剛性的細(xì)繩也會導(dǎo)致部分能量損耗;另外細(xì)繩質(zhì)量也會導(dǎo)致一定的能量消耗.

3 結(jié)束語

滾擺物理裝置具備極高的保守能量轉(zhuǎn)化率,對其運動轉(zhuǎn)向的分析大多采用“沖擊”模式,夸大了繩索非彈性形變帶來的能量損失.實際生活中,通過對滾擺適當(dāng)改進就可讓其32次的上下往返.