多模態(tài)聲駐波場(chǎng)的探究

朱彥達(dá),吳苜饒,符維娟

(復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系,上海 200433)

駐波現(xiàn)象廣泛存在于日常生活及實(shí)際應(yīng)用中,很多形式的波在一定條件下都能形成駐波現(xiàn)象,例如繩上的機(jī)械波在端點(diǎn)反射后干涉形成可見(jiàn)的駐波現(xiàn)象[1],在演奏管樂(lè)器時(shí)通過(guò)在管中形成駐波從而發(fā)出悅耳的聲音[2],激光器的制作過(guò)程中讓電磁波在諧振腔中干涉形成駐波[3]等. 因此,研究駐波現(xiàn)象的形成過(guò)程、物理機(jī)制和應(yīng)用具有重要意義. 大學(xué)物理教學(xué)中,駐波通常作為特別的干涉現(xiàn)象設(shè)置在振動(dòng)和波動(dòng)章節(jié)后,課堂教學(xué)中也常采用駐波演示實(shí)驗(yàn). 文獻(xiàn)[1]中采用圓偏振波演示實(shí)驗(yàn)儀演示兩端固定的一維弦線在不同模態(tài)下的駐波形態(tài);文獻(xiàn)[4-5]中的聲駐波演示儀采用一定長(zhǎng)度的圓形駐波管,借助霧滴、聲控二極管等演示駐波場(chǎng)的空間分布,但是媒介的離散性以及能量的損耗的影響使得管中駐波現(xiàn)象的空間連續(xù)性不如弦線駐波.

本文設(shè)計(jì)并搭建多模態(tài)聲駐波演示儀,可以通過(guò)自動(dòng)掃頻測(cè)量駐波管的實(shí)際模態(tài)頻率,再通過(guò)自動(dòng)掃場(chǎng)測(cè)量各個(gè)模態(tài)下的聲駐波場(chǎng)分布,并實(shí)時(shí)監(jiān)聽(tīng)駐波場(chǎng)內(nèi)部的聲音;還可探究邊界條件對(duì)聲駐波場(chǎng)的影響,并觀察聲場(chǎng)的非線性特征.

1 演示實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)

多模態(tài)聲駐波演示儀的裝置設(shè)計(jì)如圖1所示,主要包括激勵(lì)端(喇叭)、駐波管(有機(jī)玻璃管)及信號(hào)采集端(放置于移動(dòng)滑臺(tái)上的麥克風(fēng)),麥克風(fēng)和喇叭均連接到電腦.

圖1 多模態(tài)聲駐波演示儀裝置設(shè)計(jì)圖

多模態(tài)聲駐波演示儀的實(shí)物裝置如圖2所示,音源喇叭封裝在黑色的3D打印組件中,角鋁支架上可放置不同長(zhǎng)度和半徑的亞克力駐波管,末端裝有微型麥克風(fēng)的碳纖維管用3D打印組件架在滑臺(tái)上,滑臺(tái)為L(zhǎng)D45同步帶導(dǎo)軌滑臺(tái)套裝(由有效行程為500 mm的導(dǎo)軌滑臺(tái)、控制器、驅(qū)動(dòng)器等組成),實(shí)驗(yàn)裝置固定于防震的木制底板上.

圖2 多模態(tài)聲駐波演示儀實(shí)物裝置圖

1.1 激勵(lì)端

激勵(lì)端為外徑5.5 cm的紙盆喇叭,采用Audition音頻分析軟件制作了不同的音源文件,隨時(shí)間均勻升高的音調(diào)用于掃頻測(cè)量,單頻聲音用于掃場(chǎng)測(cè)量,音源的強(qiáng)度保持恒定. 需要注意的是,喇叭實(shí)際輸出的聲音與Audition設(shè)置的聲音之間存在差異. 例如,Audition設(shè)置輸出正弦波,采集到的喇叭輸出聲音波形偏離正弦波,其頻譜中可觀察到高次諧頻.

1.2 駐波管

亞克力駐波管如圖3所示,有32cm和48cm2種長(zhǎng)度;2種管徑(外徑5.5 cm/內(nèi)徑5.2 cm,外徑5.5 cm/內(nèi)徑1.8 cm). 此外,還制作了3D打印的PETG材料反射界面,如圖4所示.

圖3 亞克力駐波管

圖4 反射界面

1.3 接收端

選用直徑較小的駐極體麥克風(fēng),減少麥克風(fēng)端面反射對(duì)管內(nèi)聲場(chǎng)的影響. 該麥克風(fēng)具有較好的指向性,能夠減小管壁反射對(duì)聲場(chǎng)探測(cè)的影響. 麥克風(fēng)置于碳纖維管末端,與導(dǎo)軌滑臺(tái)的連接部件由3D打印制作,采用類似于光具座的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)麥克風(fēng)的高度調(diào)控.

LD45同步帶導(dǎo)軌滑臺(tái)套裝的導(dǎo)程為75 mm/r,其主要可調(diào)參量包括:電機(jī)電流、驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)1圈對(duì)應(yīng)的脈沖數(shù)以及單位時(shí)間輸入的脈沖數(shù). 其中,電機(jī)電流決定了電機(jī)的扭矩. 脈沖數(shù)決定了滑臺(tái)的移動(dòng)速度,如果速度過(guò)小,則掃場(chǎng)測(cè)量時(shí)間太長(zhǎng);如果速度太大,則駐極體聲傳感器的響應(yīng)不夠. 本實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)負(fù)載較小,電流調(diào)至最小0.50 A. 其他參量設(shè)置為:5 000 r-1,400 s-1,滑臺(tái)以6 mm/s的速度勻速自動(dòng)移動(dòng).

麥克風(fēng)采集到的聲音信號(hào)輸入Audition實(shí)時(shí)顯示時(shí)域波形,經(jīng)短時(shí)傅里葉變換(Shorttime Fourier transform, STFT)得到的頻譜(FFT大小為8 192,窗口為漢恩)提供了駐波管中某點(diǎn)聲場(chǎng)的頻域信息. 同時(shí),還對(duì)駐波管內(nèi)部聲場(chǎng)進(jìn)行同步監(jiān)聽(tīng)并以藍(lán)牙音箱實(shí)時(shí)外放.

2 實(shí)驗(yàn)方法

2.1 固定位置下的掃頻測(cè)量

利用Audition制作在200～3 200 Hz范圍內(nèi)頻率均勻增加、總時(shí)長(zhǎng)為30 s的掃頻音源,將麥克風(fēng)放置于駐波管(長(zhǎng)度為32 cm、內(nèi)徑為1.8 cm)的管口,并播放掃頻音源. 管口處測(cè)得的聲音波形如圖5所示,圖中若干個(gè)峰對(duì)應(yīng)了駐波管的共振響應(yīng),峰處的頻率為駐波管的模態(tài)頻率. Audition頻率分析窗口(圖6)顯示了圖5中指針(紅色豎線)處的STFT頻譜結(jié)果,圖6中可見(jiàn)基頻和諧頻,讀出基頻數(shù)值約為1 439 Hz,即為相應(yīng)的駐波管模態(tài)頻率.

圖5 駐波管管口處掃頻測(cè)量結(jié)果圖

圖6 STFT頻率分析窗口

2.2 固定頻率下的掃場(chǎng)測(cè)量

將音源設(shè)定為單一頻率的正弦波,編寫程序控制滑臺(tái)自動(dòng)移動(dòng),使麥克風(fēng)沿著駐波管軸向進(jìn)行掃場(chǎng)測(cè)量,結(jié)果如圖7所示,橫軸為時(shí)間,縱軸為聲強(qiáng). 測(cè)量過(guò)程如下:打開音源(A)→麥克風(fēng)從管外向管內(nèi)移動(dòng)→麥克風(fēng)進(jìn)入管內(nèi)(B)→麥克風(fēng)將要碰到喇叭時(shí)停止移動(dòng)(C)→麥克風(fēng)從管內(nèi)快速向管外移動(dòng)(D)→回到原位并停止(E).因此,BC段為靠近音源的慢速掃場(chǎng)結(jié)果,DE段為遠(yuǎn)離音源的快速掃場(chǎng)結(jié)果.

圖7 駐波管軸向掃場(chǎng)測(cè)量結(jié)果圖

3 有限長(zhǎng)圓管中的聲駐波物理模型

3.1 單模態(tài)的空間駐波圖像

平面聲波在有限長(zhǎng)的均勻管中傳播,若末端管口處存在不均勻界面,即為聲負(fù)載,一部分聲波被負(fù)載吸收,另一部分則被負(fù)載反射,與管中原始聲場(chǎng)疊加[6]. 將原點(diǎn)取在末端負(fù)載處,入射波與反射波的形式分別為

(1)

入射波和反射波疊加得到管中的總聲壓為

p(x)=pi+pr=|pa(x)|ei(ω t+φ),

(2)

總聲壓振幅為

|pa(x)|=

其中,φ為引入的固定相位.長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓管中,聲波在反射率分別為r1和r2、反射相位為σπ的前后端界面間多次反射,管內(nèi)的總聲壓

(3)

由式(3)可以看出,駐波振幅由反射率與反射相位共同決定,由此反射界面的性質(zhì)也是影響駐波管模態(tài)的重要因素.將駐波管的共振頻率定義為使駐波的最大振幅取極大值的頻率,此時(shí)波數(shù)滿足

(4)

(5)

式中,c0=340 m/s為管內(nèi)空氣中的聲速.在某個(gè)共振頻率下平面聲波在駐波管內(nèi)形成相應(yīng)模態(tài)的駐波場(chǎng),因此共振頻率也稱為模態(tài)頻率.

若采用p(x)=Acos (kx+φ)cos (ωt+ψ)作為駐波解[7],并結(jié)合反射條件可以得到與式(5)形式相同的共振頻率結(jié)果.

3.2 駐波圖像的精細(xì)結(jié)構(gòu)

圖6顯示駐波場(chǎng)中某點(diǎn)的STFT頻譜存在諧頻,因此圓管中的聲駐波不僅包括聲源輸出基頻的駐波場(chǎng),還包括高次諧頻的駐波場(chǎng). 由于不同頻率的駐波場(chǎng)在空間的分布不同,而且高次諧頻的聲強(qiáng)比基頻小,所以將其稱為駐波場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu).

上述討論中描述聲壓的方程為線性方程,其滿足的前提是聲波振幅不太大,空氣密度視為常量.當(dāng)聲波振幅較大時(shí),空氣密度不可看作常量,空氣質(zhì)量元的運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

式中,η為黏度.假設(shè)此時(shí)空氣仍滿足流體連續(xù)性方程與絕熱方程,一維行波的速度與密度波動(dòng)方程應(yīng)修改為

(7)

由于速度波和密度波具有固定的相位差,有

(8)

于是行波的速度波滿足

(9)

當(dāng)聲源為簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),式(9)的1個(gè)特解為

(10)

對(duì)該特解做線性展開,可以得到

(11)

由式(11)可知,諧頻與基頻的強(qiáng)度正相關(guān),在聲場(chǎng)強(qiáng)度較小時(shí),諧頻相對(duì)基頻成分為小量,諧頻強(qiáng)度隨傳播距離的增加而增大,從而產(chǎn)生了隨傳播積累的非線性效應(yīng).

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

4.1 模態(tài)頻率與單模態(tài)駐波

為了獲得駐波管的模態(tài)頻率,采用2.1描述的掃頻法對(duì)駐波場(chǎng)中的固定點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量. 駐波管的外徑為55 mm、內(nèi)徑為18 mm,駐波管末端為開口,分別對(duì)L=32,48 cm的駐波管端口場(chǎng)點(diǎn)進(jìn)行掃頻測(cè)量,結(jié)果如圖8所示.

(a)L=32 cm的掃頻結(jié)果

圖8中可見(jiàn)若干個(gè)顯著波峰,對(duì)應(yīng)了駐波管的模態(tài)頻率,通過(guò)Audition獲取各個(gè)峰處的頻率值,結(jié)果如表1所示.

表1 不同管長(zhǎng)駐波管的模態(tài)頻率

表1中,長(zhǎng)駐波管的模態(tài)頻率較短駐波管小,符合式(5)中模態(tài)頻率隨管長(zhǎng)的變化規(guī)律,各模態(tài)頻率測(cè)量值與式(5)理論計(jì)算值存在10%～20%的偏差.

選取L=32 cm的駐波管,末端開口,采用駐波管的第2和第3個(gè)模態(tài)頻率(1 016 Hz與1 454 Hz),制作單頻正弦波掃場(chǎng)音源,根據(jù)2.2描述的掃場(chǎng)法對(duì)管內(nèi)駐波場(chǎng)進(jìn)行掃場(chǎng)測(cè)量,結(jié)果如圖9所示.

(a)1 016 Hz模態(tài)的駐波場(chǎng)

圖9為連續(xù)的駐波形態(tài),讀取1 016 Hz和1 454 Hz的駐波波長(zhǎng)分別為16.6 cm和11.7 cm,相應(yīng)的聲波波長(zhǎng)分別為33.5 cm與23.4 cm,在誤差范圍內(nèi)滿足2倍駐波波長(zhǎng)等于聲波波長(zhǎng),符合3.1節(jié)中的界面反射理論.

將音源改為同振幅的非模態(tài)頻率(1200Hz)正弦波聲音,與模態(tài)頻率(1 454 Hz)音源掃場(chǎng)結(jié)果的對(duì)比如圖10所示,2種音源的頻率差異較小,音源輸出的頻率響應(yīng)差異可忽略.

圖10中非模態(tài)頻率音源下的管內(nèi)聲場(chǎng)仍有駐波場(chǎng)特征,駐波波長(zhǎng)為聲波波長(zhǎng)的1/2,與模態(tài)頻率一致,但是波腹處的振幅顯著小于模態(tài)頻率. 由于實(shí)際音源產(chǎn)生的波并非理想平面簡(jiǎn)諧波,從而使得駐波管的模態(tài)頻率理論計(jì)算值[式(5)]和實(shí)測(cè)值(表1)存在偏差. 根據(jù)圖10的對(duì)比結(jié)果可知,采用掃頻法測(cè)得模態(tài)頻率,并用模態(tài)頻率音源激發(fā)駐波管,才能得到最大的駐波振幅,達(dá)到駐波管的共振狀態(tài). 因此,掃頻法是獲取駐波管模態(tài)頻率真值的有效實(shí)驗(yàn)方法,也為式(5)理論計(jì)算的修正提供了依據(jù).

圖10所示的單模態(tài)駐波場(chǎng)圖像中,波節(jié)的振幅并不為零,其可能原因?yàn)殚_口端界面反射率并不為1. 此外,圖6顯示了駐波場(chǎng)中存在諧頻,為了確定諧頻是由駐波管的非線性效應(yīng)產(chǎn)生還是由音源喇叭產(chǎn)生,對(duì)開放環(huán)境中距離音源喇叭2 cm處的場(chǎng)點(diǎn)進(jìn)行了測(cè)量,其頻譜如圖11所示.

圖11 音源喇叭實(shí)際輸出聲音的頻譜(500 Hz正弦波)

圖11中,音源設(shè)置為500 Hz的正弦波,實(shí)際輸出除了500 Hz的基頻外,還包含高次諧頻,這是喇叭自身的非線性效應(yīng)所致. 因此,駐波管中基頻和各次諧頻駐波場(chǎng)疊加形成復(fù)雜的空間聲場(chǎng),通過(guò)頻譜圖可探究駐波場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu),即各頻率的駐波場(chǎng).

圖12是模態(tài)頻率(1 016 Hz)下波腹和波節(jié)處的頻譜圖,波節(jié)處的聲強(qiáng)由基頻和諧頻共同組成,波節(jié)處的諧頻成分比波腹處更為顯著. 因此,界面反射率和諧波共同使得波節(jié)處的聲強(qiáng)不為零. 圖12顯示諧頻成分相對(duì)基頻較小(縱坐標(biāo)單位為dB),僅做聲駐波場(chǎng)空間圖像演示時(shí)仍可近似認(rèn)為是管中為基頻單模態(tài)空間駐波場(chǎng).

(a)波腹處的頻譜圖

4.2 界面對(duì)模態(tài)頻率及反射相位的影響

為了演示邊界條件對(duì)駐波管末端反射相位的影響,在L=32 cm的駐波管末端放置剛性界面(3D打印制作的PETG塑料擋板). 對(duì)開口界面和剛性界面下的駐波管端口處分別進(jìn)行掃頻測(cè)量,結(jié)果如圖13所示.

(a)開口界面的掃頻結(jié)果

用Audition讀取圖14中的駐波管模態(tài)頻率數(shù)據(jù),如表2所示.

表2 開口/剛性界面下的模態(tài)頻率比較(L=32 cm)

(a)開口界面的駐波圖像

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),用1 454 Hz模態(tài)頻率音源激發(fā)末端為開口界面的駐波管,用1 712 Hz模態(tài)頻率音源激發(fā)末端為剛性界面的駐波管,掃場(chǎng)測(cè)量結(jié)果如圖14所示.

再用非模態(tài)頻率(1 200 Hz)音源對(duì)開口界面管與剛性界面管進(jìn)行掃場(chǎng)測(cè)量,結(jié)果如圖15所示.

(a)開口界面的駐波圖像

由圖14和圖15可知,模態(tài)頻率和非模態(tài)頻率音源激勵(lì)下,剛性界面均靠近駐波場(chǎng)波腹位置,開口界面均靠近駐波場(chǎng)的波節(jié)位置. 駐波管末端為波腹還是波節(jié)由反射相位決定,反射相位又由反射界面決定,因此通過(guò)駐波圖像可以推斷反射界面的聲學(xué)特性.

開口界面處靠近波節(jié)位置,存在半波損失,反射相位為π,因此開口界面的反射為波疏(管內(nèi)空氣)到波密(開放環(huán)境空氣)介質(zhì)反射. 剛性界面處靠近波腹位置,反射相位為0,因此剛性界面的反射為波密(管內(nèi)空氣)到波疏(剛性界面)介質(zhì)反射. 不同于光(電磁波)在空氣-有機(jī)玻璃或塑料界面反射時(shí)認(rèn)為空氣是波疏介質(zhì)、有機(jī)玻璃或塑料為波密介質(zhì),機(jī)械波在空氣中的波速比在有機(jī)玻璃或塑料中快[4]. 文獻(xiàn)[8]中也指出剛性界面與開口界面的反射率均可看作為1,反射相位分別近似為0(剛性)和π(開口).

4.3 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)參量對(duì)演示效果的影響

為了考察麥克風(fēng)端面的反射對(duì)管中駐波場(chǎng)的影響程度,分別用直徑為8 mm和4 mm的麥克風(fēng)對(duì)長(zhǎng)度為32 cm、內(nèi)徑為18 mm和51 mm的駐波管,在1 000 Hz頻率音源激勵(lì)下進(jìn)行掃場(chǎng)測(cè)量,結(jié)果如圖16所示.

(a)φ4 mm麥克風(fēng)的駐波場(chǎng)

圖16顯示φ8 mm的麥克風(fēng)掃場(chǎng)得到的駐波場(chǎng)圖像波腹兩側(cè)明顯不對(duì)稱,而φ4 mm的麥克風(fēng)的駐波場(chǎng)圖像基本對(duì)稱,由此需要選用直徑較小的麥克風(fēng).

麥克風(fēng)移動(dòng)過(guò)快也會(huì)引起波形的畸變,圖17為麥克風(fēng)移動(dòng)速度相差5倍時(shí)的掃場(chǎng)結(jié)果對(duì)比,掃場(chǎng)過(guò)快時(shí)噪聲增加、波形不光滑,減慢速度可以得到光滑的波形. 但是麥克風(fēng)移動(dòng)過(guò)慢又會(huì)使得外放同步監(jiān)聽(tīng)的聲強(qiáng)變化過(guò)于緩慢,影響人耳對(duì)聲音周期性強(qiáng)弱變化的分辨,因此演示實(shí)驗(yàn)時(shí)需要在波形與聲音之間權(quán)衡取得最佳的綜合演示效果.

(a)移動(dòng)速度為v/5的駐波圖像

為考察駐波管內(nèi)徑對(duì)于演示效果的影響,對(duì)長(zhǎng)度均為32 cm,外徑均為55 mm,但內(nèi)徑分別為18 mm與51 mm的2種駐波管,在1 000 Hz頻率音源激勵(lì)下進(jìn)行掃場(chǎng)測(cè)量,結(jié)果如圖18所示.

(a)18 mm內(nèi)徑的駐波圖像

圖18中可見(jiàn),小內(nèi)徑的管中駐波場(chǎng)更為理想,這是由于小內(nèi)徑管內(nèi)截取了喇叭原始聲場(chǎng)中的近軸部分,是更理想的平面聲場(chǎng). 小內(nèi)徑管中聲場(chǎng)能量更集中,聲強(qiáng)強(qiáng)度更大,麥克風(fēng)采集到的聲壓振幅也更大. 此外,小內(nèi)徑管的末端開口界面處突變程度較大,反射率更接近1,波腹、波節(jié)強(qiáng)度差異更明顯.

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)并制作了具有自動(dòng)掃頻、自動(dòng)掃場(chǎng)、可變界面以及實(shí)時(shí)外放監(jiān)聽(tīng)功能的視聽(tīng)一體的聲駐波演示儀,并通過(guò)一系列實(shí)驗(yàn)確定了具有良好演示效果的結(jié)構(gòu)參量和條件參量. 該演示儀可以通過(guò)自動(dòng)掃頻測(cè)得聲駐波管的實(shí)際模態(tài)頻率,通過(guò)自動(dòng)掃場(chǎng)獲取各個(gè)模態(tài)頻率下的聲駐波場(chǎng)圖像,駐波特性顯著、具有良好的空間連續(xù)性. 通過(guò)駐波管末端呈現(xiàn)波腹或波節(jié)來(lái)推斷反射界面的聲學(xué)特性,通過(guò)頻譜圖揭示管中聲場(chǎng)具有基頻和各次諧頻駐波場(chǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu). 該演示儀可用于大學(xué)物理課堂教學(xué),演示駐波、半波損失、邊界條件、諧波、非線性效應(yīng)等物理概念,也可用于復(fù)雜聲駐波場(chǎng)的研究.