“等時(shí)圓”模型及形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”

宋早雷

摘 要：在處理物理問(wèn)題時(shí)，常常借助熟知的模型，如，質(zhì)點(diǎn)模型、子彈打木塊模型、人船模型、等時(shí)圓模型……這樣可以把復(fù)雜情景簡(jiǎn)明化，抽象問(wèn)題具體化，疑難問(wèn)題清晰化，下面著重來(lái)研究一下“等時(shí)圓”模型及形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：模型；等時(shí)圓；最高點(diǎn)；最低點(diǎn)；形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”

一、“等時(shí)圓”模型的建立

如圖1所示，ac、bd是豎直面內(nèi)兩根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，b點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫(huà)出），兩個(gè)滑環(huán)分別從a、d處自由釋放（初速為0），用t1、t2依次表示兩滑環(huán)到達(dá)c和b所用的時(shí)間，則它們的時(shí)間t1、t2分別為多少？

分析：設(shè)圓的半徑為R，ac桿與水平面的夾角為α，則ac桿的長(zhǎng)度L=2Rsinα ①

滑環(huán)沿ac桿下滑的加速度a=gsinα ②

由此我們可以得出“等時(shí)圓”模型的兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑到圓的最低點(diǎn)，則到達(dá)圓的最低點(diǎn)的時(shí)間相等，或從圓上最高點(diǎn)由靜止沿光滑弦下滑到圓周上各位置的時(shí)間相等。

結(jié)論2：物體在圓上沿光滑弦從靜止下滑到圓的最低點(diǎn)的時(shí)間等于物體在圓上沿光滑弦從最高點(diǎn)下滑到圓周上各位置的時(shí)間，都等于物體從圓上最高點(diǎn)自由下落到最低點(diǎn)的時(shí)間，即t=2。

二、形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”模型

如果質(zhì)點(diǎn)不是從圓的最高點(diǎn)下滑或不是到達(dá)圓的最低點(diǎn)時(shí)，我們應(yīng)怎樣處理此類(lèi)問(wèn)題呢？

這就是下面我們要研究的形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”模型。

例題1：如圖2所示，oa、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，o、a、b、c、d位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫(huà)出），三個(gè)滑環(huán)都從o點(diǎn)無(wú)初速釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)a、b、c所用的時(shí)間，則有（ ）

A.t1=t2=t3 B.t1>t2>t3 C.t1t1>t2

分析：由于o點(diǎn)不是最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)間上看，不滿(mǎn)足“等時(shí)圓”模型條件。過(guò)o點(diǎn)做一條豎直線(xiàn)，再分別過(guò)a、b、c做oa、ob、oc的垂線(xiàn)交豎直線(xiàn)與p、q、e。如圖3所示，利用結(jié)論2得，沿oa的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1即是由o點(diǎn)自由下落到p的時(shí)間。t2、t3同理可得，故答案是B。

例題2：如圖4所示，ao、bo、co是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，o、a、b、c、d位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最低點(diǎn)，c點(diǎn)為最高點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫(huà)出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c三點(diǎn)無(wú)初速釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)o所用的時(shí)間，則有（ ）

A.t1>t2>t3 B.t1

C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3

分析：由例題1分析同理可得，如圖5，故答案是A。

例題3：如圖6所示，e、f分別為圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，一小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）分別沿著圓周上的斜面ab、cd滑下，用t1、t2分別表示小滑塊由靜止沿斜面從a到b、c到d的時(shí)間，則t1、t2的關(guān)系是（ ）

A.t1=t2 B.t1>t2 C.t1

解析：由于a、c兩點(diǎn)不是最高點(diǎn)，b、d兩點(diǎn)也不是最低點(diǎn)，直接從時(shí)間看，也不滿(mǎn)足“等時(shí)圓”模型條件?，F(xiàn)在過(guò)a、c兩點(diǎn)分別做兩條豎直線(xiàn)，再分別過(guò)b、d兩點(diǎn)做斜面ab、cd的垂線(xiàn)交兩豎直線(xiàn)于p、q兩點(diǎn)，如圖7所示，利用結(jié)論2可得，t1=tap，t2=tcq，故通過(guò)判斷豎直線(xiàn)ap和cq的長(zhǎng)度即可得答案是C。

注意：幾何作圖時(shí)一定要細(xì)致、準(zhǔn)確。

從上面形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”的三個(gè)例題，我們可以清晰地得到這樣一個(gè)結(jié)論：

結(jié)論3：質(zhì)點(diǎn)從圓上較高點(diǎn)（不是最高點(diǎn)）沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上較低點(diǎn)（不是最低點(diǎn)）的時(shí)間只由過(guò)光滑弦或軌道的較低點(diǎn)（不是最低點(diǎn)）作垂線(xiàn)交過(guò)起點(diǎn)的豎直線(xiàn)于某一點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)沿光滑弦或軌道由靜止下滑的時(shí)間就等于質(zhì)點(diǎn)從起點(diǎn)到這一點(diǎn)自由下落的時(shí)間。

總之，我們?cè)谔幚砦矬w從圓上沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上的某一點(diǎn)的時(shí)間問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)先分清物體是不是從圓上最高點(diǎn)由靜止下滑到圓周上的不同點(diǎn)，還是從圓上不同點(diǎn)由靜止下滑到圓周的最低點(diǎn)問(wèn)題。如是這類(lèi)問(wèn)題我們可直接用“等時(shí)圓”模型處理。如果遇到是物體從圓上較高點(diǎn)（不是最高點(diǎn)）沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上較低點(diǎn)（不是最低點(diǎn)），我們應(yīng)掌握形異質(zhì)同“等時(shí)圓”的解題的基本規(guī)律。只有這樣我們才能從紛繁、多變、形異的物理情景中構(gòu)建出質(zhì)同的“等時(shí)圓”模型，才能利用好“等時(shí)圓”模型，才能更深刻地理解“等時(shí)圓”模型的理論意義及實(shí)際的應(yīng)用意義。

參考文獻(xiàn)：

陳棟樑.“等時(shí)圓”的等時(shí)“原理”在物理問(wèn)題解決中的妙用[J].物理教師，2013（3）：28.

編輯 魯翠紅