類鋁離子鐘躍遷能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和朗德g 因子*

王霞 賈方石 姚科 顏君 李冀光? 吳勇3) 王建國(guó)

1) (北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,計(jì)算物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100088)

2) (復(fù)旦大學(xué),核物理與離子束應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200433)

3) (北京大學(xué)工學(xué)院,應(yīng)用物理與技術(shù)研究中心,北京 100871)

本文利用多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock 方法計(jì)算了類鋁等電子序列從Si+到Kr23+離子基組態(tài)3s23p 2P1/2,3/2能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和朗德g 因子.通過系統(tǒng)評(píng)估電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)Si+和Co14+離子中所關(guān)心原子參數(shù)的影響,尤其是與內(nèi)殼層電子相關(guān)的關(guān)聯(lián)效應(yīng),構(gòu)建了可靠精確的計(jì)算模型,除Si+離子外,超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g 因子的計(jì)算誤差分別控制在1%左右和10—5 的量級(jí).此外,進(jìn)一步分析了超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)中電子部分矩陣元和g 因子隨原子序數(shù)Z 的變化規(guī)律,并擬合了這些物理量與Z 的定量依賴關(guān)系,利用擬合公式可以快速計(jì)算類鋁離子在14 ≤ Z ≤ 54 區(qū)間內(nèi)任意同位素的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g 因子.

1 引言

高精度的原子光鐘既可以作為時(shí)間計(jì)量基準(zhǔn),也可以檢驗(yàn)物理學(xué)基本規(guī)律或?qū)ふ页綐?biāo)準(zhǔn)模型的新物理[1].目前原子光鐘的精度已經(jīng)達(dá)到10—19水平[2,3],但是物理學(xué)家仍然在思考如何超越現(xiàn)有的精度極限.高電荷態(tài)離子(highly charged ion,HCI)中束縛電子受較強(qiáng)的原子核庫(kù)侖相互作用,不易受環(huán)境電磁場(chǎng)的干擾,成為下一代原子光鐘的優(yōu)選對(duì)象之一[4—6].理論預(yù)言還發(fā)現(xiàn)部分HCI 離子鐘躍遷頻率對(duì)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)隨時(shí)間的變化比現(xiàn)有原子鐘更加靈敏[7],可以用于尋找超越標(biāo)準(zhǔn)模型的新物理.Yudin 等[8]提出類鋁離子基組態(tài)2P1/2→2P3/2磁偶極躍遷可作為鐘躍遷頻率標(biāo)準(zhǔn)的候選之一,該體系的優(yōu)勢(shì)在于簡(jiǎn)單的能級(jí)結(jié)構(gòu)和極小的電四極偏移.隨后,Yu 和Sahoo[9]采用相對(duì)論耦合簇(coupled-cluster method with singles and doubles excitation approximation,CCSD)方法系統(tǒng)計(jì)算了類鋁等電子序列從V10+到Cu16+離子3s23p2P1/2,3/2能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子及相關(guān)HCI 光鐘需要的原子參數(shù),但未考慮與內(nèi)殼層電子相關(guān)的三激發(fā)和四激發(fā)等高階關(guān)聯(lián)對(duì)相關(guān)原子參數(shù)的貢獻(xiàn).超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)對(duì)電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)非常敏感,原子態(tài)波函數(shù)的品質(zhì)很大程度地影響了計(jì)算精度.因此,為了給今后HCI 光鐘提供精確可靠的原子參數(shù),有必要分析未被考慮的關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)相關(guān)原子參數(shù)的影響.

此外,原子超精細(xì)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量與超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的精密計(jì)算相互結(jié)合是確定原子核電磁多極矩的有力工具,通過這種方法確定的原子核電磁多極矩獨(dú)立于原子核模型,為檢驗(yàn)原子核結(jié)構(gòu)理論提供了重要依據(jù)[10,11].與中性原子相比,HCI 中原子核與核外電子之間的庫(kù)侖相互作用占主導(dǎo),有利于提升原子結(jié)構(gòu)計(jì)算精度,獲得更可信的原子核性質(zhì).類鋁離子超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的高精度計(jì)算將為獲取相關(guān)核性質(zhì)提供必不可少的原子參數(shù).

類鋁離子的高精度光譜在天體物理和聚變等離子體領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用[12].例如,類鋁的Fe13+離子2P1/2→2P3/2躍遷是太陽日冕中可見光范圍內(nèi)的主要譜線之一,并且在其他恒星以及星系星團(tuán)中也已經(jīng)觀測(cè)到這些譜線[13],利用這些譜線可以確定恒星溫度和密度等狀態(tài)參數(shù),為分析恒星形成機(jī)制和演化過程提供了理論基礎(chǔ).朗德g因子和超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)是分析天體物理中磁場(chǎng)強(qiáng)度以及精確測(cè)定恒星元素豐度的重要參數(shù)[14—16].高精度的類鋁離子超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子將為今后開展相關(guān)光譜分析奠定重要的理論基礎(chǔ).

本文用多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock (multi-configuration Dirac-Hartree-Fock,MCDHF)方法研究了類鋁等電子序列從Si+到Kr23+離子基組態(tài)3s23p2P1/2,3/2能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子.通過系統(tǒng)分析電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)Si+與Co14+離子計(jì)算結(jié)果的影響,發(fā)現(xiàn)與內(nèi)殼層2p 軌道相關(guān)的電子關(guān)聯(lián)較為重要,其對(duì)超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的貢獻(xiàn)最大能達(dá)到18%.在此基礎(chǔ)上,考慮了Breit 相互作用和量子電動(dòng)力學(xué)修正,除Si+離子外,超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子的計(jì)算精度分別達(dá)到1%和10—5量級(jí).本文進(jìn)一步分析了超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)中電子部分矩陣元和g因子沿類鋁等電子序列的變化規(guī)律,并給出了這些物理量與原子序數(shù)Z的依賴關(guān)系.基于擬合公式計(jì)算的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)與從頭計(jì)算的結(jié)果符合得很好,因此可以用于計(jì)算類鋁離子在區(qū)間14 ≤Z≤ 54 內(nèi)任意同位素的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子.

2 理論方法

2.1 MCDHF 方法

在MCDHF 理論框架[17]下,原子態(tài)波函數(shù)(atomic state wavefunction,ASF)Ψ可由具有相同宇稱P和總角動(dòng)量J及其在z方向分量MJ的組態(tài)波函數(shù)(configuration state wavefunction,CSF)Φ 線性展開,即

其中,γr和Γ 分別是描述CSF 和ASF 必要的其余量子數(shù),NCSF是組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù),cr是組態(tài)混合系數(shù).組態(tài)波函數(shù)是單電子Dirac 軌道波函數(shù)構(gòu)成的Slater 行列式波函數(shù)的線性組合.理論上,當(dāng)組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù)為無窮多時(shí)才能描述真實(shí)的原子態(tài)波函數(shù),但是在實(shí)際計(jì)算中只能選擇有限個(gè)組態(tài)波函數(shù),所以組態(tài)波函數(shù)的選取方式和數(shù)目多少?zèng)Q定了電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的考慮程度,直接影響原子態(tài)波函數(shù)的品質(zhì)和原子參數(shù)的精度.

基于變分原理,利用自洽場(chǎng)(self-consistent field,SCF)方法同時(shí)優(yōu)化軌道波函數(shù)和組態(tài)混合系數(shù)使所研究的原子態(tài)能量達(dá)到最低,從而獲得一套軌道基組.在獲得單電子軌道基之后,利用相對(duì)論組態(tài)相互作用(relativistic configuration interaction,RCI)方法可以系統(tǒng)地考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).需要注意的是,RCI 計(jì)算過程中只會(huì)改變組態(tài)混合系數(shù),單電子軌道波函數(shù)不再發(fā)生變化.另外,在RCI中還可以包括Breit 相互作用和量子電動(dòng)力學(xué)(quantum electrodynamics,QED)修正[18].

2.2 超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)

超精細(xì)相互作用是由原子核的電磁多極矩與電子部分的相互作用引起的[19],相應(yīng)的哈密頓量表示為

其中T(k)和M(k)分別是電子和原子核部分的k階張量算符.k=1 表示磁偶極相互作用,k=2 表示電四極相互作用,文中只包括了這兩項(xiàng).磁偶極超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)為

電四極超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)為

其中I,μ,Q分別代表原子核的核自旋、磁偶極矩、電四極矩.在原子單位下,電子部分的張量算符T(1)和T(2)分別為

其中,i 是虛數(shù)單位;α 是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù);αj是狄拉克矩陣;rj是第j個(gè)電子到原子核的距離;l是軌道角動(dòng)量算符;C(k)是k階球張量算符,它的分量與電子部分球諧函數(shù)的關(guān)系為

從(3)式和(4)式可以看出,超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)中電子部分矩陣元Ael=AI/μ和Bel=B/Q與原子核無關(guān),其值完全可以由原子結(jié)構(gòu)的計(jì)算確定.而且,在精確確定這些矩陣元的基礎(chǔ)上,可以從實(shí)驗(yàn)上測(cè)量的超精細(xì)結(jié)構(gòu)中提取相應(yīng)的核結(jié)構(gòu)參數(shù).

2.3 朗德g 因子

塞曼效應(yīng)是由原子磁矩和外靜磁場(chǎng)之間的相互作用引起的[20],其哈密頓量可寫為

其中,μB是玻爾磁子,B為磁感應(yīng)強(qiáng)度,J為電子的總角動(dòng)量算符,g為朗德g因子.進(jìn)一步朗德g因子定義為

其角向部分與超精細(xì)相互作用電子部分算符(5)式相似.朗德g因子的QED 修正為

其中g(shù)s=2.00232.算符ΔN(1)為

其中,β 和Σ 分別是狄拉克矩陣和相對(duì)論自旋矩陣.

3 計(jì)算模型

本文計(jì)算是利用基于MCDHF 方法發(fā)展的GRASP2018 程序包[21].在MCDHF 理論框架下,本文采用活動(dòng)空間方法系統(tǒng)考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).根據(jù)微擾理論,電子關(guān)聯(lián)可分為一階關(guān)聯(lián)和高階關(guān)聯(lián).一階關(guān)聯(lián)用單參考組態(tài)單雙激發(fā)形成的組態(tài)空間描述,又可進(jìn)一步劃分為價(jià)電子之間的關(guān)聯(lián)(valence-valence,VV)、原子芯電子與價(jià)電子之間的關(guān)聯(lián)(core-valence,CV)以及原子芯電子之間的關(guān)聯(lián)(core-core,CC).待一階關(guān)聯(lián)描述充分后,將其組態(tài)空間中權(quán)重較大的組態(tài)加入?yún)⒖冀M態(tài)基組,用多參考組態(tài)基組單雙激發(fā)形成的組態(tài)空間描述髙階電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)[10,11,22,23].因?yàn)閺亩鄥⒖冀M態(tài)單、雙激發(fā)就相當(dāng)于從單參考組態(tài)限制性的三、四激發(fā),實(shí)質(zhì)上優(yōu)先考慮了較重要的高階電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),所以在有限的計(jì)算資源下大大提高了計(jì)算效率.在本文的計(jì)算中,將3s 和3p 軌道看作價(jià)軌道,其余1s,2s 和2p 軌道均看作原子芯軌道.

3.1 VV 和CV 關(guān)聯(lián)

首先,在Dirac-Hartree-Fock (DHF)近似下對(duì)參考組態(tài)1s22s22p63s23p 的所有占據(jù)軌道同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化,并在后續(xù)計(jì)算中保持不變.隨后考慮VV和CV 關(guān)聯(lián),這里的組態(tài)空間通過從參考組態(tài)中的占據(jù)軌道限制性地激發(fā)一個(gè)或兩個(gè)電子到關(guān)聯(lián)軌道產(chǎn)生的.限制條件為原子芯軌道上至多允許一個(gè)電子被激發(fā).表1 給出了SCF 計(jì)算過程中具體的計(jì)算模型以及Si+和Co14+離子2P1/2→2P3/2激發(fā)能隨組態(tài)空間擴(kuò)大的收斂情況.NCSF列數(shù)字代表在每個(gè)計(jì)算模型下組態(tài)的數(shù)目.通過計(jì)算檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)h和i等部分高角動(dòng)量的關(guān)聯(lián)軌道對(duì)超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子的影響分別小于0.1%和10—8,因此沒有將這些軌道加入到活動(dòng)空間中.如表1 中所列,逐層打開參考組態(tài)中占據(jù)軌道(active orbitals,AO)的同時(shí),關(guān)聯(lián)軌道(virtual orbitals,VO)也是逐層添加的,并且每次只對(duì)新添加的軌道進(jìn)行優(yōu)化,把這部分模型標(biāo)記為VV+CV-n,n代表活動(dòng)空間的擴(kuò)展層數(shù).為了考慮更多電子關(guān)聯(lián)時(shí)能夠達(dá)到穩(wěn)定收斂,活動(dòng)空間中共包含了10 層關(guān)聯(lián)軌道,其中前2 層軌道角動(dòng)量包括s,p,d,f 和g,中間2層軌道角動(dòng)量包括s,p,d 和f,后6 層軌道角動(dòng)量包括s,p 和d.相比DHF 計(jì)算結(jié)果,考慮VV+CV模型后,Si+離子激發(fā)能幾乎沒有改變,Co14+離子激發(fā)能降低了345 cm—1.

表1 Si+和Co14+離子3s23p 2P1/2,3/2 能級(jí)的激發(fā)能ΔE (cm—1)隨組態(tài)空間擴(kuò)大的收斂趨勢(shì).DHF 代表單組態(tài)計(jì)算模型.AO 和VO 分別代表在每個(gè)計(jì)算模型下允許被激發(fā)的占據(jù)軌道和新添加的關(guān)聯(lián)軌道.NCSF 代表相應(yīng)的組態(tài)波函數(shù)數(shù)目Table 1.Excitation energies ΔE (in cm—1) of 3s23p 2P1/2,3/2 states of Si+ and Co14+ ions as functions of various computational models.DHF stands for the single configuration approximation model.AO and VO represent the occupied orbitals allowed to be replaced and the added virtual orbitals in each computational model,respectively.NCSF represents the corresponding numbers of CSFs.

表2 給出了SCF 計(jì)算過程中超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael和Bel以及朗德g因子隨組態(tài)空間擴(kuò)大的收斂情況.可以看出,Ael和Bel呈現(xiàn)不同程度的振蕩收斂趨勢(shì),g因子最終收斂到10—6.與DHF 計(jì)算結(jié)果比較,VV+CV 關(guān)聯(lián)對(duì)Si+離子Ael和Bel的貢獻(xiàn)達(dá)到15%以上,而對(duì)Co14+離子Ael和Bel的貢獻(xiàn)也在7%左右,這表明一階VV 和CV關(guān)聯(lián)對(duì)超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)計(jì)算的重要性.另外,當(dāng)添加到第9 層和第10 層關(guān)聯(lián)軌道后,Si+和Co14+離子激發(fā)能只有0.001%和0.00035%的差異,但是超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)卻相差0.1%和0.04%,這表明超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)受電子關(guān)聯(lián)的影響更大.

表2 Si+和Co14+離子3s23p 2P1/2,3/2 能級(jí)超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael (MHz/μN(yùn))和Bel (MHz/b)以及朗德g 因子隨組態(tài)空間擴(kuò)展的收斂情況.DHF 為單組態(tài)近似模型Table 2.Electronic parts of hyperfine structure constants Ael (MHz/μN(yùn)) and Bel (MHz/b) and Landé g factors of 3s23p 2P1/2,3/2 states in Si+ and Co14+ ions as functions of various computational models.DHF stands for the single configuration approximation model.

3.2 CC 關(guān)聯(lián)和高階關(guān)聯(lián)

在充分描述一階VV+CV 關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上,采用RCI 方法進(jìn)一步考慮價(jià)殼層軌道的高階關(guān)聯(lián)以及與內(nèi)殼層2p 電子相關(guān)的CC 和高階關(guān)聯(lián),并分析其對(duì)計(jì)算結(jié)果的貢獻(xiàn).表3 給出了不同計(jì)算模型下Si+與Co14+離子3s23p2P1/2,3/2能級(jí)的激發(fā)能、超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael和Bel以及朗德g因子.同時(shí)為了比較,表3 也列出了CCSD 理論的計(jì)算結(jié)果[9]和NIST 數(shù)據(jù)庫(kù)的推薦值[24].從表3 中可以看出,電子關(guān)聯(lián)以及Breit 相互作用和QED 修正對(duì)所研究朗德g因子影響較小,因此將系統(tǒng)討論不同計(jì)算模型對(duì)激發(fā)能和超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)中電子部分矩陣元Ael和Bel的貢獻(xiàn).

表3 不同計(jì)算模型下Si+與Co14+離子3s23p 2P1/2,3/2 能級(jí)的激發(fā)能ΔE (cm—1)、超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael(MHz/μN(yùn))和Bel (MHz/b)以及朗德g 因子Table 3.Excitation energies ΔE (cm—1),electronic parts of hyperfine structure constants Ael (MHz/μN(yùn)) and Bel (MHz/b)and Landé g factors of 3s23p 2P1/2,3/2 states in Si+ and Co14+ ions as functions of various computational models.

首先,在VV+CV-10 模型的基礎(chǔ)上,考慮價(jià)殼層軌道的高階關(guān)聯(lián),即從多參考組態(tài)(multireference,MR)占據(jù)的3s 和3p 電子單雙激發(fā)到關(guān)聯(lián)軌道所形成的組態(tài)空間來描述,標(biāo)記為MR1.在此模型中,MR 來源于一階VV+CV 關(guān)聯(lián)原子態(tài)波函數(shù)中權(quán)重大于0.05 的組態(tài),即3p3和3s3p3d;通過監(jiān)測(cè)原子參數(shù)隨關(guān)聯(lián)軌道擴(kuò)展的收斂趨勢(shì),最終包括5 層關(guān)聯(lián)軌道.考慮MR1模型后,發(fā)現(xiàn)Si+和Co14+離子激發(fā)能的變化在1 cm—1以內(nèi),該模型對(duì)Ael和Bel的貢獻(xiàn)也不超過0.33%.

在MR1模型的基礎(chǔ)上,原子芯中2p 電子的CC 關(guān)聯(lián)可以通過由單參考組態(tài)中的2p 電子雙激發(fā)到所有關(guān)聯(lián)軌道形成的組態(tài)來描述,標(biāo)記為CC2p.研究發(fā)現(xiàn),CC2p模型使Si+和Co14+離子基組態(tài)精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂分別增加了約5 cm—1和45 cm—1(即1.4%和0.2%),對(duì)這兩種離子Ael和Bel的貢獻(xiàn)分別為10%和3%左右.

與2p 電子相關(guān)的高階關(guān)聯(lián)效應(yīng)是計(jì)算中的難點(diǎn),主要原因是內(nèi)殼層電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)較弱,在一階關(guān)聯(lián)原子態(tài)波函數(shù)中很難挑選出重要的CSFs 作為多參考組態(tài)基,因此多參考組態(tài)單雙激發(fā)的方法并不適合考慮與內(nèi)殼層電子相關(guān)的高階關(guān)聯(lián)效應(yīng).本文采用單參考組態(tài)限制性三四激發(fā)的方式來考慮這部分電子關(guān)聯(lián),該計(jì)算模型標(biāo)記為TQ2p.通過小規(guī)模驗(yàn)證性計(jì)算發(fā)現(xiàn)f等更高角動(dòng)量和軌道能較高的關(guān)聯(lián)軌道以及從參考組態(tài)占據(jù)的2p 軌道上同時(shí)激發(fā)出4 個(gè)電子對(duì)Ael和Bel的影響幾乎可以忽略不計(jì).因此,TQ2p模型共包含了三層軌道角動(dòng)量為s,p 和d 的關(guān)聯(lián)軌道;激發(fā)方式中允許從2p 軌道和3s,3p 價(jià)殼層同時(shí)激發(fā)1,2,3 和4 個(gè)電子,但限制了從2p 軌道的最大激發(fā)數(shù)到3.TQ2p模型使Si+和Co14+離子基組態(tài)精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂分別減小了約2 和38 cm—1(即0.7%和0.16%),對(duì)Ael和Bel的最大貢獻(xiàn)可達(dá)6%.CC2p和TQ2p模型不僅存在部分相互抵消,對(duì)Si+與Co14+離子超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的總貢獻(xiàn)仍有3.7%和0.3%左右,充分說明這兩種電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)原子參數(shù)計(jì)算精度的影響不能被忽略.

從兩個(gè)體系不同計(jì)算模型的結(jié)果比較可以看出,電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)原子參數(shù)的影響在近中性體系中更顯著,且隨著原子序數(shù)的增加而減小.在以上模型產(chǎn)生的組態(tài)空間基礎(chǔ)上,對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了Breit 相互作用和QED 效應(yīng)的修正,標(biāo)記為BQ.這部分修正使Si+與Co14+離子激發(fā)能分別降低了16 和574 cm—1(即5.5%和2.5%),對(duì)Ael或Bel的貢獻(xiàn)分別為0.06%和0.17%,這說明了Breit 相互作用和QED 效應(yīng)的貢獻(xiàn)隨原子序數(shù)增大而增加.與NIST 數(shù)據(jù)庫(kù)的推薦值[24]和CCSD 方法計(jì)算的結(jié)果[9]相比,激發(fā)能的最大差別不到100 cm—1,由此驗(yàn)證了當(dāng)前計(jì)算模型的可靠性,為進(jìn)一步研究類鋁等電子序列超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子奠定了一定的基礎(chǔ).

3.3 計(jì)算誤差

在TQ2p模型的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步評(píng)估了內(nèi)殼層2s 和1s 電子的CC 關(guān)聯(lián)以及與其相關(guān)的高階關(guān)聯(lián)對(duì)所研究原子參數(shù)的影響.組態(tài)空間包括了從單參考組態(tài)中2s 和1s 軌道同時(shí)激發(fā)兩個(gè)電子到所有關(guān)聯(lián)軌道以及限制性三、四激發(fā)到部分關(guān)聯(lián)軌道形成的組態(tài)波函數(shù).這里對(duì)三、四激發(fā)的限制條件為至多1 個(gè)或2 個(gè)電子從2s 或1s 軌道上被激發(fā).另外,高角動(dòng)量以及軌道能較高的關(guān)聯(lián)軌道對(duì)所研究的物理量影響很小,因此生成高階關(guān)聯(lián)波函數(shù)時(shí)只包含了三層軌道角動(dòng)量為s,p 和d 的關(guān)聯(lián)軌道.計(jì)算發(fā)現(xiàn)描述與1s 和2s 相關(guān)的CC 和高階關(guān)聯(lián)的組態(tài)波函數(shù)的數(shù)量增長(zhǎng)了幾倍.但是,除對(duì)Si+離子2P3/2能級(jí)的磁偶極超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的貢獻(xiàn)在3%左右以外,對(duì)其他超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的影響均小于1%,對(duì)朗德g因子的影響被控制在10—5的水平.因此,為了對(duì)所研究的等電子系列涉及的所有原子體系使用相同的計(jì)算模型并保證計(jì)算效率,最終的計(jì)算模型中并沒有考慮與內(nèi)殼層1s 和2s 電子相關(guān)的CC 和高階關(guān)聯(lián),而將其貢獻(xiàn)作為計(jì)算誤差考慮.值得強(qiáng)調(diào)的是,如3.2 節(jié)所述,電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)原子參數(shù)的影響隨原子序數(shù)增加而減小,結(jié)果中所給誤差是基于等電子系列中近中性離子的評(píng)估給出,因此對(duì)于離化度較高的體系此誤差應(yīng)比實(shí)際誤差大.

4 結(jié)果與討論

4.1 Ael,Bel 和g 因子

表4 列出了利用BQ 模型計(jì)算的類鋁等電子序列從Si+到Kr23+離子基組態(tài)3s23p2P1/2,3/2能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael,Bel和朗德g因子以及相應(yīng)的計(jì)算誤差.為了更直觀地反映出這些物理量隨原子序數(shù)Z的變化規(guī)律,進(jìn)一步在圖1 中展示了計(jì)算結(jié)果,如散點(diǎn)所示.從圖1 可以看出,超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael和Bel隨原子序數(shù)的增加而增大,g因子隨原子序數(shù)的增加而減小.從(5)式和(6)式可以看出,磁偶極和電四極超精細(xì)相互作用分別與原子態(tài)波函數(shù)徑向半徑的平方和三次方成反比,而高離化態(tài)離子的波函數(shù)徑向半徑近似與原子序數(shù)成反比,從中可以定性地解釋超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元與Z的依賴關(guān)系.對(duì)于朗德g因子,在非相對(duì)論近似下可以通過g=1+[J(J+1)—L(L+1)+S(S+1)]/[2J(J+1)]解析得到,給定角動(dòng)量量子數(shù)其值應(yīng)與原子序數(shù)無關(guān),而圖1 中g(shù)因子隨原子序數(shù)的變化呈現(xiàn)Z2的依賴關(guān)系,可以推斷此變化規(guī)律是由相對(duì)論效應(yīng)導(dǎo)致的.

圖1 類鋁等電子序列3s23p 2P1/2,3/2 能級(jí)的(a)超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael 和Bel 以及(b)朗德g 因子隨原子序數(shù)Z 的變化關(guān)系.圖中實(shí)線表示由擬合公式得出的結(jié)果,散點(diǎn)表示用MCDHF 方法從頭計(jì)算的結(jié)果Fig.1.(a) Electronic parts of hyperfine structure constants and (b) Landé g factors of 3s23p 2P1/2,3/2 states of Al-like isoelectronic sequence ions as functions of atomic number.The solid line represents these results obtained by from numerical fitting formula,and the discrete point represents these results obtained by our ab initio calculation using MCDHF method.

表4 類鋁等電子序列3s23p 2P1/2,3/2 能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael (MHz/μN(yùn)),Bel (MHz/b)和朗德g 因子.括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示計(jì)算結(jié)果相應(yīng)的不確定度Table 4.Electronic parts of hyperfine structure constants Ael (MHz/μN(yùn)) and Bel (MHz/b) and Landé g factors of 3s23p 2P1/2,3/2 states of Al-like isoelectronic sequence ions.Numbers in parentheses represent the computational errors.

進(jìn)一步,利用多項(xiàng)式擬合了超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元和g因子與原子序數(shù)Z的定量依賴關(guān)系,具體表達(dá)式列于圖1 中.如圖1 中實(shí)線所示,利用擬合公式計(jì)算的Ael,Bel和g因子與從頭計(jì)算的結(jié)果符合得很好,相對(duì)偏差小于2%;從頭計(jì)算的g因子與擬合結(jié)果的相對(duì)偏差小于10—5.因此,可以利用擬合結(jié)果計(jì)算此等電子序列區(qū)間內(nèi)任意同位素的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子.同時(shí)這些擬合函數(shù)可以進(jìn)一步推廣到其他類鋁離子,經(jīng)過理論計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)原子序數(shù)Z＜ 54 時(shí),從頭計(jì)算和擬合函數(shù)結(jié)果的相對(duì)偏差小于2%,因而該擬合表達(dá)式仍然適用,并且對(duì)于2P3/2能級(jí)的Ael和Bel該擬合表達(dá)式還可以推廣到更高Z的離子體系.

4.2 A,B 和g 因子

根據(jù)穩(wěn)定同位素的I,μ[25]和Q[26]以及表4 中給出的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電子部分矩陣元Ael和Bel,可以確定類鋁等電子序列3s23p2P1/2,3/2能級(jí)的磁偶極超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)A和電四極超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)B.表5 給出了7 種已建議的下一代HCI 光鐘的類鋁離子g因子以及穩(wěn)定同位素的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)A和B及相應(yīng)的計(jì)算誤差.由表5 可知,除59Co14+離子外,本文計(jì)算的A值與CCSD 方法計(jì)算的結(jié)果[9]差別均小于0.5%,而59Co14+離子兩種方法計(jì)算的結(jié)果相差7 倍以上,原因主要是文獻(xiàn)[9]中引用的原子核磁偶極矩有誤.兩種方法計(jì)算的B值差別較大,尤其是對(duì)于51V10+,59Co14+離子和55Mn12+,57Fe13+離子,差別分別達(dá)到了16%和30%.導(dǎo)致這些差別的原因主要是兩種方法采用了不同的原子核電四極矩推薦值[25,26],而電子部分矩陣元計(jì)算引起的差別不到0.25%.因此,通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量B值,再結(jié)合本文計(jì)算的Bel,可以重新確定較為可靠的核四極矩Q.本文計(jì)算的g因子與CCSD 計(jì)算結(jié)果的差別在小數(shù)點(diǎn)后第四位或第五位.

表5 類鋁等電子序列3s23p 2P1/2,3/2 能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)A,B (MHz)和朗德g 因子.所有核參數(shù)μ (μN(yùn))和Q (mb)均來自于文獻(xiàn)[25,26].星號(hào)表示用CCSD 方法計(jì)算的結(jié)果[9].括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示計(jì)算結(jié)果相應(yīng)的不確定度Table 5.Hyperfine structure constants and g factors of 3s23p 2P1/2,3/2 states of Al-like isoelectronic sequence ions.Nuclear parameters μ (μN(yùn)) and Q (mb) are taken from Ref.[25,26].Asterisk represents these results calculated by CCSD method[9].Numbers in parentheses represent the computational uncertainties.

5 結(jié)論

本文采用MCDHF 方法,研究了類鋁等電子序列從Si+到Kr23+離子基組態(tài)3s23p2P1/2,3/2能級(jí)的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和朗德g因子.通過系統(tǒng)分析了不同類型電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對(duì)Si+與Co14+離子計(jì)算結(jié)果的影響,構(gòu)建了可靠精確的計(jì)算模型,除Si+離子外,本文計(jì)算的超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子的精度分別高于1%和10—5水平.進(jìn)一步,討論了超精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)和g因子隨原子序數(shù)的變化規(guī)律,并給出了準(zhǔn)確的擬合公式,這些擬合函數(shù)也可以進(jìn)一步推廣到原子序數(shù)小于54 的類鋁離子.本文的計(jì)算結(jié)果為天體物理和原子鐘等研究領(lǐng)域提供了可靠的原子參數(shù).