基于邊緣似然最大化的信號源參數(shù)估計

鄭 超，左煒亮

（1.延安九德安全應(yīng)急科技有限公司 總經(jīng)辦，陜西 延安 716099；2.西安交通大學(xué) 人工智能學(xué)院，陜西 西安 710049）

0 引 言

信號源定位是陣列信號處理的重要研究內(nèi)容，而其內(nèi)容主要有波達距離和方向。對于遠場信號，由于可以近似看成平面波，待估計的參量只有波達方向；但是對于近場信號，只能以球面波進行表征，待估計的參量則同時包含波達距離和波達方向兩個。由于參量維數(shù)的增加，對于近場信號源的定位研究難度要高于遠場波。除此之外，由于陣元的排布形式也存在多樣性，使得信號源定位的研究工作任重而道遠。

在DOA（Direction of Arrival）估計領(lǐng)域中，最經(jīng)典的算法便是MUSIC 算法以及凸優(yōu)化方法。

MUSIC 算法核心在于空間矩陣分解，精度受限于觀測數(shù)據(jù)是否充足，這會制約在實際中的應(yīng)用，降低對觀測數(shù)據(jù)量的依賴性，常用的解決方法是利用源信號在空間內(nèi)的稀疏性，依照稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)理論將其表示為壓縮感知，但是這種處理模式的計算復(fù)雜度依然很高。

包括凸優(yōu)化在內(nèi)的各種連續(xù)數(shù)學(xué)優(yōu)化方法也可以用于DOA 估計中，角度向量的變化是連續(xù)性的，連續(xù)空間導(dǎo)致計算量巨大，為此可將連續(xù)變化的角度網(wǎng)格化，而網(wǎng)格數(shù)量遠遠多于真實信號源的數(shù)量，是稀疏化的，同樣可以利用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)等方式進行快速估計，但是由于固定化的網(wǎng)格無法避免信號源不在其內(nèi)的情況，為了保證高的識別率，往往需要非常精細化的離散網(wǎng)格，這又會導(dǎo)致計算復(fù)雜度和運算量的急劇增加，這與初衷是背道而馳的。

因此，探索新的解決方法思路無論在理論層面還是在現(xiàn)實層面都具有很大的意義。遠場信號與近場信號有著延伸的關(guān)系，待估計參數(shù)由遠場的一維增至近場的二維，依照流形學(xué)習(xí)的觀點，近場源觀測到的數(shù)據(jù)是相較于遠場源，實際是信號本質(zhì)特征由低維至高維的映射，是有冗余的。而邊緣似然的理念可以通過消除隱變量的方式實現(xiàn)參數(shù)估計的降維來大大降低算法的計算量和復(fù)雜度。兩者理論有著天然的契合度。本文方法以此為理論基礎(chǔ)，改進現(xiàn)有參數(shù)估計算法并探索設(shè)計新的目標識別算法。

1 參數(shù)估計原理

本文涉及的主要符號如表1 所示。

1.1 信號模型

考慮以下信號模型：陣元陣列為一維并列非均勻線性排布，信源為遠場信號，有M個陣元、K個信號源，如圖1 所示。

圖1 遠場源信號模型

于是得到接收信號y(t)和發(fā)射信號s(t)之間的關(guān)系為：

式中：n(t)為噪音信號；A(θ)為轉(zhuǎn)向向量；D為波程差。

1.2 邊緣似然最大化估計

邊緣似然估計的思想一部分來自于最大似然估計理論，而最大似然估計理論的核心就是構(gòu)建概率模型。根據(jù)接收信號模型的可知性，最大似然估計算法一般分為確定性最大似然（Deterministic Maximum Likelihood,DML）和隨機性最大似然（Stochastic Maximum Likelihood, SML）兩大類。本文方法研究探索的是未知的接收信號，故其基于后者。

1.2.1 邊緣似然函數(shù)

根據(jù)經(jīng)驗和基本假設(shè)，噪聲信號基本符合高斯分布規(guī)律，且均值為零，噪聲方差設(shè)為σ-2，則對于每次快照可以得到其概率分布函數(shù)如下：

式中：y表示單個快照下傳感器接收的信號；s表示信號源發(fā)射的信號；M為傳感器個數(shù)。對所有單次快照的累積就可以得到P( |Y S,θ)。

應(yīng)用邊緣似然將S這一隱變量從似然函數(shù)中去除，引入先驗參數(shù)α，于是有：

式中：Y表示接收信號矩陣；S表示發(fā)射信號矩陣。由對數(shù)似然的求和性，可以通過先單一再求和的思路求解，即L(α,θ) =∑L(α)，于是對于每一個α，有：

式中：C=σ2E+A(θ)Λ-1AT(θ)，E為單位矩陣。

于是，利用求和得到模型的邊緣似然函數(shù)為：

為求該邊緣似然L(α,θ)最大化的和，繼續(xù)利用上述求和思維對模型整體邊緣似然函數(shù)先進行單一參數(shù)對的優(yōu)化再進行疊加（此處為加權(quán)疊加）。這么做的好處在于：一方面，充分利用對數(shù)似然的求和性降低算法的復(fù)雜性；另一方面，也可以借助學(xué)習(xí)算法通過可行域搜索迭代自適應(yīng)學(xué)習(xí)模型的真實大小，實際作用的意義便是算法不需要預(yù)先知道信號源個數(shù)K，這相較于很多基于空間譜估計的算法有著極大的優(yōu)勢。于是，觀察L(α,θ)的表達式，需要將其中的C進行分解：

C-i是中剔除掉第i項以后的剩余項，代回式（7）有：

式中L(α-i,θ-i)表示L(α,θ)中剔除后的對數(shù)似然函數(shù)。自此得到關(guān)于單個參數(shù)對所對應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)L(αi,θi)，這便是單一參數(shù)對的優(yōu)化對象函數(shù)。

式中：p是當(dāng)前θi所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動向量a(θi)在整體y(t)中影響度的表征量；s是當(dāng)前θi所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動向量a(θi)在整體中其他a(θj)相似度的表征量。同時發(fā)現(xiàn)，即使已經(jīng)將L(α,θ)“碎片化”成L(αi,θi)，但是由于每計算一對p和s就需要計算一次不同的C，整體計算量會隨著快拍數(shù)量的增加而急劇增大，為了解決這一問題，用后驗協(xié)方差矩陣Σ對其做統(tǒng)一化處理：

對于先前引入的先驗參數(shù)αi，由N(s(t) |0,αi)可知，αi決定了分布幅度及離散程度，若αi在0→∞范圍內(nèi)取的值在一定程度上反映了其所對應(yīng)的θi的a(θi)相較于真實模型的可信度（成反比），也即αi值越大可信度越低，αi值越小可信度越高，這說明在引入先驗參數(shù)時的賦值（正的有限值）對于優(yōu)化估計過程有著監(jiān)督的作用。如此以來，對邊緣似然函數(shù)L(αi,θi)的各個參量及中間變量均有了清晰的認識。

1.2.2 優(yōu)化函數(shù)

優(yōu)化的任務(wù)就是尋找能夠使得L(αi,θi)最大化的參數(shù)對：

該似然函數(shù)中有兩個參量αi、θi，由于在算法中搜索到的或者初始化模型中的θ是已知的常量，將L(α,θ)對α進行求導(dǎo)，可以得到L(α,θ) 關(guān)于α的梯度函數(shù)（α＞0）：

由梯度函數(shù)式（13）可以得到：當(dāng)p≤s時，L(α,θ)對于α＞0 是恒單調(diào)遞增的，若需要達到L(α,θ)的最大值，α需要達到無窮大，而此時的θ可信度趨近于0，不可??；而當(dāng)p＞s時，函數(shù)在α=s2(p-s)時取得最大值，將α=s2(p-s)代入到式（9）中，則函數(shù)成為只包含參量θ的函數(shù)形式，并通過化簡得到：

新的對數(shù)似然函數(shù)此時關(guān)于中間量x在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增的狀態(tài)。故得到最終所需要的優(yōu)化函數(shù)為：

2 參數(shù)估計算法設(shè)計

2.1 遠場源參數(shù)估計算法設(shè)計

算法設(shè)計遵循流行學(xué)習(xí)的理念，基于邊緣似然最大化的理論，步驟如圖2 所示。

圖2 遠場源參數(shù)估計流程圖

1）新建模型

①選取任意個角度值θi∈[-π/2,π/2]，將a(θi)加入模型，并給先驗參數(shù)αi賦初值：

②通過后驗的方式初始化信號的均值向量：

式中Σ為后驗協(xié)方差矩陣，可由式（11）計算得到。利用信號后驗均值信息，每當(dāng)模型內(nèi)部出現(xiàn)向量的變動時（包括初始化），需要對噪聲方差進行同步更新：

式中：M為陣列陣元個數(shù)；K為模型當(dāng)前估計的信號源個數(shù)。

2）模型優(yōu)化判別準則

①算法過程包括三項操作——增、刪和改；

②計算每一個pj/sj＞1 的搜索結(jié)果βj的對數(shù)似然函數(shù)值：ΔLj= L(αj,βj)；

③保留ΔLj值最大的一項βj，并以ΔLj作為βj項加入模型對當(dāng)前模型的對數(shù)似然函數(shù)引起的變化值；

④模型內(nèi)部的θ值，當(dāng)pi/si≤1 時，所對應(yīng)的θi為待刪項，其對當(dāng)前模型的對數(shù)似然函數(shù)引起的變化值為ΔL =- L(αi,θi)；當(dāng)pi/si＞1 時，θi為保留項，αi的后驗估計值為α*i，則其對當(dāng)前模型對數(shù)似然函數(shù)的影響為：ΔL*= L(α*i,θi) - L(αi,θi)；

⑤比較在對每一個角度值（βj及模型內(nèi)部模型所有θi）進行單獨操作時引起的對數(shù)似然函數(shù)的變化情況，并選擇執(zhí)行能夠令模型整體對數(shù)似然函數(shù)最大化的一項進行執(zhí)行。

2.2 遠場源算法改進策略

2.2.1 解向量搜索

在實驗驗證過程中，發(fā)現(xiàn)模型更新迭代會因出現(xiàn)的局部極大值而發(fā)生不可逆的偏離現(xiàn)象，經(jīng)過分析，這是由于原先算法只會一直選擇當(dāng)前搜索到的所有網(wǎng)格中使優(yōu)化函數(shù)最大的唯一一個向量，實際中往往是多極值情況，就會出現(xiàn)一直趨向于該極值點而背離其他極值點的情況，最終導(dǎo)致出現(xiàn)算法結(jié)果相比真實情況遺漏的情況。

為此，將搜尋解向量的方法做了以下改進：增加待選組，將搜索到的所有網(wǎng)格以優(yōu)化函數(shù)的大小為依據(jù)進行正序排列，每次在序列的前30%項中隨機抽取作為該次搜尋得到的最終解向量，這么做的目的可以避免迭代運算對于單極值點的一致粘黏性。

2.2.2 模型自檢

實驗中發(fā)現(xiàn)，在每次循環(huán)中都增加一次模型自檢過程，可以大幅度減少運算次數(shù)，這與算法的執(zhí)行依據(jù)和運算過程是吻合的，搜尋解向量的目的是為了用搜索到的偏差更小的向量更新、替換、刪除現(xiàn)有模型中偏差大的向量，原始算法中明顯缺少對于模型已有向量的濾除機制，如果不增加模型自檢，模型自身向量的篩除將依賴于外部搜索向量，這無疑是不合理、不高效的。

2.2.3 模型優(yōu)化判別準則

在對實驗迭代過程的追溯分析中發(fā)現(xiàn)，屢次出現(xiàn)即使搜索到結(jié)果βj與現(xiàn)有模型中的角度極度相似，也出現(xiàn)冗余性重復(fù)替換，為此，為了提高算法效率，將相似度加入判別準則。于是得到：

1）優(yōu)化后的判別準則

①算法過程包括三項操作——增、刪和改；

②計算每一個pj sj＞1 的搜索結(jié)果βj的對數(shù)似然函數(shù)值L(αj,βj)；

③計算每一個搜索結(jié)果a(βj)與模型內(nèi)部所有a(θi)的相似度，并取最大值項φmax作為a(βj)與模型的相似度值φj；

④以Lj與φj比值的大小按正序排列βj，自前30%項中隨機抽取一項βk，并以其ΔLk作為βk加入模型對當(dāng)前模型的對數(shù)似然函數(shù)引起的變化值；

⑤模型內(nèi)部的θ值，當(dāng)pi si≤1 時，所對應(yīng)的θi為待刪項，其對當(dāng)前模型的對數(shù)似然函數(shù)引起的變化值為ΔL=- L(αi,θi)；當(dāng)pi si＞1 時，θi為保留項，αi的后驗估計值為α*i，則其對當(dāng)前模型對數(shù)似然函數(shù)的影響為ΔL*=L(α*i,θi) - L(αi,θi)；

⑥比較在對每一個角度值（βk及模型內(nèi)部模型所有θi）進行單獨操作時引起的對數(shù)似然函數(shù)的變化情況，并選擇執(zhí)行能夠令模型整體對數(shù)似然函數(shù)最大化的一項進行執(zhí)行。

2）改進后的算法步驟

改進后遠場源參數(shù)估計流程圖如圖3 所示。

圖3 改進后遠場源參數(shù)估計流程圖

2.3 近場信號估計算法設(shè)計

2.3.1 近場信號模型

近場信號（本文將其限制在近場信號源與陣元陣列距離處于菲涅耳區(qū)域內(nèi)）估計問題當(dāng)中，一般是用極坐標系(θ,r)來表征的，參考遠場信號的邊緣似然最大化估計的推導(dǎo)，可以發(fā)現(xiàn)近場信號的優(yōu)化函數(shù)會出現(xiàn)兩個參量(θ,r)的情況，這不僅會在優(yōu)化過程中出現(xiàn)梯度函數(shù)，同時由于各參量間的物理意義的不同而導(dǎo)致具體數(shù)值會存在高量級程度的差異（即使將弧度制轉(zhuǎn)變?yōu)榻嵌戎疲噍^于r的可能數(shù)值也常常不在一個數(shù)量級上）。這就導(dǎo)致在優(yōu)化過程中需要研究兩者的搭配要素或者規(guī)律，這無疑嚴重影響了邊緣似然最大化算法的效率。經(jīng)過分析研究，考慮將極坐標表征方式轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標系，二維坐標x和y具有對等性，利用距離公式：

可得波程差，這樣做的好處在于優(yōu)化的參數(shù)恢復(fù)為單個d，基于該思路，在遠場信號算法的基礎(chǔ)上設(shè)計近場信號的估計算法。

2.3.2 模型優(yōu)化判別準則

在近場做邊緣似然最大化估計，首先遇到的問題便是與平面波不同，球面波在與不同陣元不同距離上呈非線性變化特性，且距離差距產(chǎn)生的影響不僅不能忽略反而還很顯著。因此，可以預(yù)料到原本用于遠場信號的篩選判定閾值的數(shù)值1 會失效，但是基于在遠場中的推導(dǎo)，不可否認的是即使在近場情況，該判定原函數(shù)在客觀上是具備有效性的，因此只是具體的判定閾值或許不再是1，而不是全面否決該判定方法。另外，根據(jù)近場的特點，極坐標轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標實現(xiàn)了對等性的同時也將距離差距Δr上的不可忽略的非線性變化特性以相較于θ高量級的加權(quán)值融合于d，再考慮到要與噪音信號比對過濾，轉(zhuǎn)換的結(jié)果無疑于給接收信號增加了很大的個性因素，從而導(dǎo)致模型向量與噪音向量的統(tǒng)計差異性顯著增大，而似然函數(shù)也是從統(tǒng)計中導(dǎo)出的。因此在實驗中通過嘗試將信源和噪音分別單獨隨機變化以及同時隨機變化來探索規(guī)律，最終發(fā)現(xiàn)在信源數(shù)較少的情況下，模型向量與噪音向量二者之間的確存在二分集群現(xiàn)象。

通過以上的研究和探索，確定了以模型向量與噪音向量二者差異性為判定依據(jù)的思路。

2.3.3 算法過程

近場源算法過程繼承于遠場源算法，主要做了兩方面修改：

1）修改了優(yōu)化函數(shù)最大化判別算法，這是基于上述探索及實驗驗證。同時，由于初始值設(shè)定的隨機性可能會造成糟糕的算法起點，故近場源的判別算法是基于統(tǒng)計差異性而不是如同遠場情況的確定值，因此需要差異化的樣本。為此在每次的算法迭代過程中，都會統(tǒng)計本次在更新模型、模型自檢這一步的所有轉(zhuǎn)向向量（包括模型內(nèi)部及解搜索）更、刪、改的操作所對應(yīng)的p、s及其比值，建立本次循環(huán)分組性數(shù)據(jù)字典，計算各組統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并將其加入總循環(huán)分組性數(shù)據(jù)字典，當(dāng)循環(huán)次數(shù)≥n時，將當(dāng)前循環(huán)（記為m次）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)與前（m- 1）次的統(tǒng)計數(shù)據(jù)做收斂性判別，如果達到收斂條件，則更新近場源優(yōu)化算法中的判定閾值。

2）將每次迭代后判斷為非收斂的結(jié)果模型以新建模型步驟重新進行建模后參與下次迭代。如此不僅能提高算法樣本的更新速度，提高樣本的真實覆蓋率，保證算法的準確性，也有利于消除累計誤差，保證算法具有一定的糾偏性，同時也能提高提取優(yōu)化模型向量與噪音向量的二分集群現(xiàn)象的統(tǒng)計差異特征的效率，并更好地生成更新模型優(yōu)化判別準則的參考依據(jù)。

2.3.4 算法步驟

相較于遠場算法，有以下新增步驟及改動：

1）增加分類算法用以區(qū)分噪音向量與模型向量；

2）提取、識別和建立噪音向量與模型向量的特征值樣本庫，在迭代過程中不斷更新；

3）判定噪音向量、模型向量各自特征值樣本收斂情況，并更新模型優(yōu)化函數(shù)判別準則閾值；

4）將每次迭代后判斷為非收斂的結(jié)果模型作為新的比對模型參與下次迭代。

近場源參數(shù)估計流程圖如圖4 所示。

圖4 近場源參數(shù)估計流程圖

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 遠場信號估計實驗

實驗基本情況：包含12 個傳感器的線性均勻分布陣列，仿真平臺來自于https://github.com/morriswmz。其中傳感器之間的距離固定為信號波長的一半。同時，在不同信噪比情況下利用均方誤差將本文算法與MUSIC對比，來驗證本文算法的有效性。

從圖5a）中可以看出，優(yōu)化函數(shù)的極值分布與真實信號源的分布情況幾乎一致，說明了算法是正確的。另外，從圖5b）、圖5c）中可以看出驗證算法在信號源數(shù)量較少的情況下避免了迭代運算對于單極值點的一致粘黏性，沒有出現(xiàn)極點遺漏情況。

為了進一步測試針對解向量搜索的改進效果（改進的本質(zhì)過程是由固定性轉(zhuǎn)為隨機性），以改進機制的有無進行三源估計，重復(fù)實驗共計100 次，并在兩種情況下分別計算均方誤差，實驗結(jié)果如圖6 所示?？梢钥闯觯懈倪M機制的均方誤差明顯低于無改進的情況，故而該項改進措施對于提高模型性能有著明顯的積極作用。

圖6 解向量搜索的改進措施對算法的影響

最后，對邊緣似然最大化估計算法和MUSIC 算法進行比對，實驗設(shè)定信源個數(shù)為2，信噪比（SNR）范圍為[-5,5]，共重復(fù)300 次，計算兩種方法的均方誤差，實驗結(jié)果如圖7 所示。

圖7 MSE-SNR 結(jié)果

從實驗結(jié)果中可以看出，本文算法均方誤差與信噪比成反比，且隨著信噪比的增大而明顯下降，說明了算法的正確性。同時也可以看出，邊緣似然最大化估計算法比傳統(tǒng)的MUSIC 算法有著更低的均方誤差數(shù)，在精度上有一定的優(yōu)越性。

3.2 近場信號估計實驗

近場信號源估計實驗基本情況：除了將信號源設(shè)定為互不相干且處在菲涅耳區(qū)域內(nèi)以外，其他條件全部與遠場實驗保持一致。

為了驗證遠場信號算法的判定函數(shù)在近場情況下仍然具備客觀有效性，以及以模型向量與噪音向量二者差異性為判定依據(jù)的合理性，將近場算法無限循環(huán)，每一次循環(huán)過程中加入不同的隨機噪聲信號，然后計算真實模型向量與噪聲向量在優(yōu)化函數(shù)p s的變化情況。從表2 可以看出，p/s函數(shù)值確實已經(jīng)不等于1，而且模型向量與噪聲向量之間存在較為明顯的差值，這也佐證了二者差異性顯著增大的猜想，同樣也驗證了以二者差異性為判斷依據(jù)的合理性和可行性。

表2 迭代過程中模型向量優(yōu)化函數(shù)統(tǒng)計

此外，以[9,5]和[0,7]作為兩個信號源的位置，進一步觀察模型優(yōu)化函數(shù)峰值的變化，最終的實驗結(jié)果如圖8 所示。

圖8 優(yōu)化函數(shù)分布圖

從以上實驗結(jié)果可以看出，在信號源個數(shù)不多的情況下，成功找到了真實解向量，并且在將真實解向量提前導(dǎo)入的情況下，算法也成功避免了迭代運算對于單極值點的一致粘黏性。以上的實驗結(jié)論進一步證實了將遠場拓展至近場算法的成功性。

最后實驗也對近場信源定位算法進行了評估。信號源數(shù)量為2，共計500次重復(fù)實驗，取其中初始化質(zhì)量最高的300次作為估計樣本求取均方誤差，測試了在不同信噪比（范圍為[-10,10]）情況下的估計結(jié)果，如圖9所示。

圖9 近場源估計MSE-SNR 對比圖

可以看出，算法在不同信噪比狀況下均有很好的效果，且均方誤差隨著信噪比的提高而明顯下降。

4 結(jié) 語

本文將邊緣似然最大化估計算法在遠場應(yīng)用改進優(yōu)化的基礎(chǔ)上，對近場估計問題進行了更加深入的探索與設(shè)計。初步分析了將算法延伸至近場的影響因素和可行性，并與其他理論相結(jié)合提出了一種新的設(shè)計方法和思路，希望能夠有助于接下來更進一步的研究工作。本文雖然在現(xiàn)有的知識體系上對近場源的邊緣似然最大化估計算法做了一定的全新探索和設(shè)計，但是還有很多需要探討和完善的地方，下一步將在場源陣元的分布、數(shù)量、相干信號以及由二維空間擴展至三維等方面做進一步的研究。

注：本文通訊作者為左煒亮。