從誤解到理解，小學數(shù)學學中的反例視角

曾煥輝　陳國勇

【摘 要】本文深入探討了平行四邊形面積計算的常見誤解——鄰邊相乘，揭示了在小學數(shù)學教學中運用反例的重要性，強化了正確的概念。

【關鍵詞】深度教學 反例教學 平行四邊形面積

一、起源：慣性遷移，鄰邊相乘

當前，新課標中提及的核心素養(yǎng)理論已經(jīng)逐漸滲透到基礎教育的各個角落，小學數(shù)學課堂教學也因此發(fā)生了質(zhì)的轉(zhuǎn)變，從簡單的知識傳授跨越到了實現(xiàn)教育的真正價值——育人。因此，教師應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，讓他們能深入理解和應用數(shù)學概念及思想。同時，教師不僅要培養(yǎng)學生解決問題的能力，更要教會他們用數(shù)學思維去思考問題，解決他們在學習和生活中遇到的難題。

然而，教師也必須面對現(xiàn)實。在當前的社會環(huán)境下，應試教育的影響痕跡仍然深重，教學過程往往過于單一和機械。知識點的傳遞更多的是通過正面教學和反復練習實現(xiàn)的，而忽視了引發(fā)學生學習中的錯誤的本質(zhì)原因。這就導致即使經(jīng)過反復練習，學生依然無法真正掌握知識點。因此，教師需要巧妙地運用反例，探求錯誤的根源，以此強化概念的滲透，促進正向的遷移。以“平行四邊形面積”相關內(nèi)容為例，當學生初次面對這個問題時，有些學生會自然而然地想到平行四邊形的面積等于底乘以高。筆者以本校五年級學生為樣本，對203位學生進行了測試。有866%的學生知道用底乘高的方法來計算平行四邊形的面積。由筆者參考的大部分案例來看，大多數(shù)學生最初常用的方法是鄰邊相乘，那么，對本校的前測數(shù)據(jù)為何與常見案例會有這么明顯的差別呢？為了深入探索這個問題，筆者決定選擇書面形式詢問那些使用底乘高計算平行四邊形面積的學生。你是如何知道平行四邊形的面積用底乘高計算？為什么用底乘高計算？近96%的學生指出是外界環(huán)境教導學生要這么計算，而剩下的4%的學生則是通過猜測得出這個方法的。這意味著大多數(shù)學生并不真正理解他們所使用的方法。從學生的經(jīng)驗來看，求平行四邊形面積用底乘高的方法并不是學生的自然認知。因為，教師要需要引導學生深入研究平行四邊形面積的計算方法，以幫助他們真正理解數(shù)學知識的本質(zhì)。

另外，通過口頭訪問選擇“鄰邊相乘”方法的學生，筆者得到的結論和參考的案例類似，即“長方形和正方形的面積都是長乘寬，所以這個形狀也應該用這種方法”“平行四邊形是特殊的長方形，所以我覺得用長乘寬比較合適”“平行四邊形拉起來就是個長方形，所以我就用計算長方形面積的算法來計算它”等。因此，正方形、長方形面積的計算方法的學習經(jīng)驗有很大可能成為學習平行四邊形面積的障礙，而教師，順著學生的思維經(jīng)驗，研究驗證平行四邊形面積用鄰邊相乘的方法不成立是有必要的。在此，筆者將揭示在小學階段可以在課堂中教學的三種反例，這些方法都是為了證明一個經(jīng)常被學生誤解的數(shù)學方法：平行四邊形面積能否通過鄰邊相乘來計算。這些反例教學方法不僅可以幫助學生理解數(shù)學的真諦，還可以挑戰(zhàn)他們的思維，讓他們感受數(shù)學的嚴謹。

二、實踐：困惑解鎖，格子計數(shù)

如圖1所示，學生可以通過“不是一格按半格計算”和“拼接成完整的長方形”兩種不同的數(shù)格子方法，得出“平行四邊形如果鄰邊相乘不會等于它的面積”的正確結論。數(shù)格子這種最原始、最簡單的方法，因其直觀性和簡單性，得出的結論更接近問題的本質(zhì)且更具有說服力，也為推理出其他方法提供了基礎，這些方法可能更為復雜，但也更具有普遍性。它們可以幫助我們更深入地理解這個問題，就像一把更復雜的鑰匙，能打開更深層的門。

前測的例子是等底、等高、不等鄰邊的長方形和平行四邊形進行比較，接下來筆者選擇另一種素材，即用等底、等高、不等鄰邊的兩個普通平行四邊形來證明平行四邊形面積用鄰邊相乘不成立。

三、探索：迷思破解，對比矛盾

在同一個格子圖里畫了兩個等底、等高、不等鄰邊的平行四邊形（如圖2）。我們通過數(shù)格子的方法計算出平行四邊形[WTBX]ABCD和平行四邊形ABEF的面積都是18cm？倕 。這兩個平行四邊形的面積相等，這是一個無可爭議的事實。然而，當我們嘗試用鄰邊相乘的方法來計算這兩個平行四邊形的面積時，卻發(fā)現(xiàn)了二者的面積并不相同。兩個平行四邊形等底，我們將它們的底邊記為線段a，平行四邊形ABCD的另一條鄰邊記為線段b。平行四邊形ABEF的另一條鄰邊記為線段c。因為在一個鈍角三角形中，鈍角的對邊總是最長的，所以在鈍角三角形ADF中，鈍角的對邊b的長度大于線段c的長度。如果用鄰邊相乘的方法來計算這兩個平行四邊形的面積，我們會得到a×b＞a×c[WTBZ]的結果。這與數(shù)格子得到的面積相等的結論是矛盾的。這個矛盾再次證明了：平行四邊形的面積不能通過鄰邊相乘來計算。

四、深化：疑云揭開，變與不變

然而，數(shù)格子的方法也有其局限性。它雖然簡單直觀，但并不能適用于所有情況。格子圖提供了一個直觀的參照，使學生能夠清楚地看到面積的變化。但是，如果沒有格子圖，是否還能得出同樣的結論呢？這是一個值得深入探討的問題。

筆者繼續(xù)嘗試了一種不依賴于格子圖的方法，在黑板上進行了平行四邊形的變形實驗，這樣就可以更自由、直觀地操作學具，而不受格子圖的限制。筆者將平行四邊形右邊的陰影部分移動到左邊（如圖3所示），形成了一個新的長方形。然后，我們將這個新的長方形與原來平行四邊形拉伸后的長方形進行比較，不難發(fā)現(xiàn)拉伸后長方形的面積明顯大于原來的平行四邊形的面積。這個結果再次證明：平行四邊形的面積不能通過鄰邊相乘來計算。

以上三種反例的方法得到的結果是明顯的，學生們也能清楚地看到這一點。通過這些實驗，他們理解了平行四邊形面積計算的真相，即特殊的平行四邊形（如正方形、長方形）可以用鄰邊相乘計算面積，而普通平行四邊形不能用鄰邊相乘計算面積。

五、綜述：視角切換，資源再生

在邏輯中，反例可以嚴謹?shù)刈C明某些知識的概括是錯誤的，特別是在數(shù)學和哲學領域。它能夠揭示學生對知識的誤解，幫助學生修正錯誤的觀念。反例像一面鏡子，映襯出學生思維的缺陷，當學生面對一個反例時會被迫去思考為什么他們的理解有誤，這個過程中。然而，反例并不是萬能的。它們只能揭示學生理解中的誤區(qū)，并不能提供解決問題的方法。因此，教師需要選擇合適的反例設計教學活動，以一個好的反例應該是簡單的，容易理解的，能夠直接反映出問題的本質(zhì)。同時，反例的使用應該是適度的，過多的反例可能會使學生感到困惑，無法抓住問題的關鍵，本文提供了小學階段可以用于教學“平行四邊形為什么不能鄰邊相乘”的三個反例，作為一線教師應該根據(jù)本班學生的學情合理選擇。因此，合理地使用反例，教師不僅提高了教學效果，也幫助學生更好地理解和掌握數(shù)學知識，有效培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

反例，作為本文探討“平行四邊形面積不能鄰邊相乘”教學中的一種再生資源，給學生提供不同的觀察視角，這種視角的切換正是幾何直觀的體現(xiàn)，它幫助學生感知知識的本質(zhì)、明晰思維的路徑。同時，也激發(fā)了學生的推理意識，使他們能夠從一些事實和問題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結論。這種推理過程無疑提高了學生的推理能力，使他們能夠從特殊結果推斷出一般結果。

參考文獻：

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