三正弦定理、三余弦定理的應(yīng)用
——以2023 年高考甲乙卷幾何題為例

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(650500)何月 張勇

1 三余弦定理

三余弦定理(又稱最小角定理或者爪子定理):設(shè)點(diǎn)P為平面α上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的斜線在平面α上的射影為BO,BC為平面α上的任意直線,那么∠PBC,∠OBC,∠OBP三角的余弦關(guān)系為:cos ∠PBC=cos ∠OBC·cos ∠OBP即斜線與平面一條直線的夾角β的余弦值等于斜線與平面所成角γ的余弦值乘以射影與平面內(nèi)直線夾角α的余弦值:cosβ=cosγ·cosα,如圖1 所示:

圖1

三余弦定理證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線交于點(diǎn)C,ΔPOB,ΔPCB,ΔOCB均為直角三角形,易知cosβ=cosγ·cosα,證畢.

三余弦定理解釋了線線角與線面角之間的大小關(guān)系,由定理可知,這三個(gè)角中,角β余弦值最小,其度數(shù)最大,等于另外兩個(gè)角的余弦值之積.斜線與平面所成角α是斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的角.

2 三正弦定理

三正弦定理(又稱最大角定理):如圖2 所示,設(shè)二面角M-AB-N的度數(shù)為γ,在平面M上有一條射線AC,它和棱AB所成的角為β,和平面N所成的角為α,則sinα=sinβ·sinγ.

圖2

三正弦定理證明與三正弦定理類似.

三正弦定理解釋了線面角與面面角的大小關(guān)系,由定理可知,α＜γ,所以二面角的半平面M內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)半平面N所成的線面角不大于二面角,即二面角是線面角中最大的角.

3 三余弦定理的應(yīng)用

例1(2023 年全國(guó)高考甲卷第11 題) 在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°,則ΔPBC的面積為()

解如圖3 所示,設(shè)P點(diǎn)在底面的射影為H,連接HC,設(shè)∠PCH=θ,∠ACH=α,且α∈ (0,π2),則∠HCD=45°-α,或∠HCD=45°+α,由余弦定理易知?jiǎng)t根據(jù)三余弦定理可得:所以,所以,所以,或tanα=又因?yàn)?所以,從而,

圖3

圖4

圖5

評(píng)注在這道題需要計(jì)算ΔPBC的面積,又因?yàn)轭}目已知條件給出了BC和PC的長(zhǎng)度,因此求∠PCB的正弦值是關(guān)鍵,該法分別利用了三次三余弦定理,首先利用三余弦定理列出關(guān)于線面角和地面線線角的二元一次方程組,然后再利用三余弦定理計(jì)算出∠PCB的正弦值,從而問(wèn)題得以解決.

例2(2023 年高考甲卷第18 題) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,A1到平面BCC1B1的距離為1.

(1)證明:AC=A1C;

(2)若直線AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

解(1) 略.(2) 取BB1的中點(diǎn)E,連接DE、A1E,過(guò)點(diǎn)A作A1D的平行線交C1C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作A1E的平行線交BB1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AB1、B1F.由(1) 得A1D⊥BCC1B1,A1D=1 且點(diǎn)D為CC1中點(diǎn),因?yàn)?A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,所以,BC⊥平面ACC1A1,BC⊥C1C,又因?yàn)?D,E分別為C1C,BB1中點(diǎn),所以,DE⊥CC1,故CC1⊥平面A1DE,所以A1E⊥B1B,由直線AA1與BB1距離為2 得:A1E=AG=2,從而易求得C1F=3,B1G=3,所以從而由三余弦定理可得,cos ∠AB1G=cos ∠AB1F·cos ∠FB1G,AB1與平面BCC1B1所成角∠AB1F的余弦值:因此,AB1與平面BCC1B1所成角∠AB1F的正弦值:

評(píng)注事實(shí)上該題計(jì)算出AB1和B1F的長(zhǎng)度,又因?yàn)锳F平行且等于A1D,所以AF=1,從而利用余弦定理即可求出AB1與平面BCC1B1所成角的余弦值,因此需要注意公式定理的合理利用,從而避免將問(wèn)題的復(fù)雜化.

4 三正弦定理的應(yīng)用

例3(2023 年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第9 題)已知ΔABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,ΔABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為()

解由ΔABC為等腰直角三角形、ΔABD為等邊三角形可知:若記O為線段AB中點(diǎn),連接CO,DO,則可得二面角C-AB-D為∠COD=150°.設(shè)CA=a,則CB=CA=a,AB=AD=BD=

根據(jù)余弦定理可得:

故

由三角形全等,易知∠BCD=∠ACD,且∠ACB=90°,記CD與平面ABC線面角為φ,∠BCD=∠ACD=α,∠ACB=90°=β,二面角D-BC-A為γ,故利用二面角公式可得:再利用三正弦定理可得:

評(píng)注在本題主要利用了余弦定理、二面角公式以及三余弦定理,由此我們可知,在解題過(guò)程中需要注意公式或定理的結(jié)合應(yīng)用.

5 總結(jié)

立體幾何中的位置關(guān)系是課標(biāo)和高考要求重點(diǎn)考查的內(nèi)容.在解決幾何對(duì)象的形狀、大小與位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題時(shí),除可以用空間向量等方法來(lái)解決之外,很多立體幾何中的位置關(guān)系問(wèn)題還可以用三正弦定理、三余弦定理解決,特別是對(duì)于空間夾角問(wèn)題,其能夠?qū)崿F(xiàn)線線角、線面角和面面角之間的相互轉(zhuǎn)化.