高觀點(diǎn)下利用矩陣研究分式線性遞推數(shù)列

江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)(212200)薛建龍

高中數(shù)學(xué)的有些問題,如果運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的經(jīng)典理論去研究,往往能夠擁有更廣闊的視角,讓人迅速抓住其本質(zhì),“居高臨下”的解決問題.對(duì)于數(shù)列的有關(guān)問題,羅增儒教授曾在文[1]中提到可以利用矩陣求解.

一般地,定義

為分式線性遞推數(shù)列.特別地,當(dāng)c=0,a=d時(shí),{an}為等差數(shù)列;當(dāng)c=0,b=0 時(shí),{an}為等比數(shù)列;當(dāng)c=0,b?=0時(shí),{an}為等比差數(shù)列.

一、數(shù)列(*)遞推與矩陣乘方對(duì)應(yīng)

將該數(shù)列系數(shù)寫成矩陣M=而an+1=則M與{an}的一次遞推對(duì)應(yīng);而

二、利用矩陣求通項(xiàng)公式

定理1(Hamilton-Cayley Theorem)設(shè)f(λ)為M的特征多項(xiàng)式,則f(M)=0.

例1已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析系數(shù)矩陣M=,M的特征多項(xiàng)式f(λ)=|λE-M|== (λ-4)2=0,所以λ1=λ2=4,M不可對(duì)角化.由定理1 有f(M)=(M-4E)2=0(E為單位矩陣),設(shè)B=M-4E,B2=0,由二項(xiàng)式定理:

因此,an=

評(píng)析若系數(shù)矩陣M的特征根λ1=λ2=λ0,則由定理1 和二項(xiàng)式定理,本例的一般結(jié)論是:Mn-1=

例2若數(shù)列{an} 滿足a1=1,8an+1an-16an+1+2an+5=0,求{an}的通項(xiàng)公式.

解析顯然an?=0,2,則an+1=其系數(shù)矩陣M的特征多項(xiàng)式:

所以λ1=-6,λ2=-12,由定理1:(M+6E)(M+12E)=0,記6A=M+12E,6B=-M-6E,有M=-6A-12B,AB=BA=0,A+B=E,An=A,Bn=B,故

評(píng)析若系數(shù)矩陣的特征根λ1?=λ2,則可構(gòu)造矩陣A、B滿足:(λ1-λ2)A=(M-λ2E),(λ1-λ2)B=(-M+λ1E) 由上述的推導(dǎo)過程,本例的一般結(jié)論:

例3基本列的通項(xiàng)公式再推導(dǎo):

(1) 等差數(shù)列:an+1=an+d

解析遞推關(guān)系可化為分式型,an+1=系數(shù)矩陣M==E+B,由二項(xiàng)式定理,Mn-1=(E+B)n-1=,所以an=a1+(n-1)d.

(2) 等比數(shù)列:

解析遞推關(guān)系可化為:an+1=系數(shù)矩陣,由對(duì)角陣運(yùn)算性質(zhì):Mn-1=所以an=a1qn-1.

(3) 等比差數(shù)列:an+1=qan+d(q?=1,d?=0)

解析遞推關(guān)系可化為系數(shù)矩陣由數(shù)學(xué)歸納法:所以

評(píng)析用矩陣方法非常簡(jiǎn)單地解決了三個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式,把握住本質(zhì),實(shí)現(xiàn)了“多題一解”.

三、利用矩陣求數(shù)列周期

課標(biāo)中強(qiáng)調(diào),數(shù)列是一類特殊函數(shù).而分式線性數(shù)列經(jīng)常具有周期,若是常數(shù)列,那么系數(shù)矩陣是數(shù)量陣.

定理2分式線性遞推數(shù)列的系數(shù)矩陣M,若有是周期為k的數(shù)列.

例4已知數(shù)列{an}滿足:則a2023=____.

解析系數(shù)矩陣由定理2,{an}的周期為3,a1=,a2=2,a3=-1,a4=

例5數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,若an+1=,則a2023=____.

解析,系數(shù)矩陣M=,由定理2,{an}的周期為4,a1=3,a2=a4=-2,a5=3,所以a2023=a3=

例6數(shù)列{an} 的首項(xiàng)a1=-2,an+1=則a2023=____.

解析系數(shù)矩陣M=由定理2,{an}的周期為6,a1=-2,a2=a4=a6=5,a7=-2,所以a2023=a1=-2.

思考矩陣M滿足什么條件時(shí),Mk=,設(shè)其為數(shù)量陣,則?a+d=0,類似的,可得到以下推論:

推論1若{an}滿足(*),當(dāng)a+d=0 時(shí),T=2,特別地,當(dāng)

推論2若{an}滿足(*),當(dāng)a2+ad+d2+bc=0,則T=3.

推論3若{an}滿足(*),當(dāng)a2+d2+2bc=0,則T=4,特別地,當(dāng)a=d,則a2+bc=0,T=4.

推論4若{an}滿足(*),當(dāng)a2+d2-ad+3bc=0,則T=6,特別地,當(dāng)a=d,則a2+3bc=0,T=6.

推論5若an+1=(k∈N*),則{an}是周期為k的數(shù)列.

“數(shù)列單元要以‘運(yùn)算’為一般理論,通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)和提出問題,通過運(yùn)算得出數(shù)列的取值規(guī)律,通過運(yùn)算就能發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.”[2]利用高數(shù)中的矩陣知識(shí),對(duì)分式線性遞推數(shù)列進(jìn)行嚴(yán)格而又充分的計(jì)算,就能發(fā)現(xiàn)這類數(shù)列的本質(zhì).在高觀點(diǎn)下理解高中數(shù)學(xué)更有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),讓其落地生根.