指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的“有緣相聚”

■向光榮

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)都是基本初等函數(shù),它們常常在一個(gè)題目中“相聚”。

一、“相聚”在求值問(wèn)題中

評(píng)注:分段函數(shù)的求值問(wèn)題,應(yīng)注意各段函數(shù)中自變量的取值范圍。

二、“相聚”在定義域問(wèn)題中

故A∩B=(-5,0]。

評(píng)注:若二次根式有意義,則被開(kāi)放數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù);若對(duì)數(shù)有意義,則真數(shù)應(yīng)大于0。

三、“相聚”在值域問(wèn)題中

例3已知函數(shù)f(x)=1+log2x,g(x)=2x。 若F(x)=f[g(x)]·g[f(x)],則F(x)在x∈[1,4]上的值域?yàn)開(kāi)___。

因?yàn)閒(x)=1+log2x,g(x)=2x,所以函數(shù)F(x)=f[g(x)]·g[f(x)]= (1 + log22x)·21+log2x=2(1+x)·2log2x=2x(1+x)=2x2+

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x∈[1,4]時(shí),F(x)為增函數(shù),所以F(x)的最大值為F(4)=40,F(x)的最小值為F(1)=4,所以F(x)在x∈[1,4]上的值域?yàn)閇4,40]。

評(píng)注:求二次函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的值域,應(yīng)注意二次函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性。

四、“相聚”在邏輯問(wèn)題中

例4“l(fā)nx>lny”是的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

評(píng)注:若p?q,且q?/p,則p是q的充分不必要條件。

五、“相聚”在比較大小問(wèn)題中

例5已知f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)=ex+x3+x,若a=,則a,b,c的大小關(guān)系為_(kāi)___。(用“<”連接)

因?yàn)楫?dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=ex+x3+x,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以a=f(-log35)=f(log35),b=f(-log53)=f(log53)。

又0

評(píng)注:對(duì)數(shù)值比較大小的四種方法:化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性;作差或作商法;借助中間量(0或1);化同真數(shù)后利用圖像比較。

六、“相聚”在方程問(wèn)題中

例6已知函數(shù)f(x)是定義在[1,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意x∈[1,+∞),均有f[f(x)-log2x]=1。若關(guān)于x的方程4f(x)-a·2f(x)+1=0有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

令f(x)-log2x=t,則f(x)=log2x+t,所以函數(shù)f(t)=log2t+t。

因?yàn)閒(x)是定義在[1,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意x∈[1,+∞),均有f[f(x)-log2x]=1,所以f(t)是定義在[1,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且f(1)=1,所以t=1,所以f(x)=log2x+1,且f(x)≥f(1)=1。

令2f(x)=m,則m∈[2,+∞)。

評(píng)注:函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],若方程a=f(x)有解,則m≤a≤n。

七、“相聚”在奇偶性問(wèn)題中

例7已知函數(shù)是R 上的奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=____。

評(píng)注:若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=0恒成立。