指數(shù)、對數(shù)和冪的比較大小問題

■朱 梅

指數(shù)、對數(shù)和冪的代數(shù)式的比較大小問題,是高考中的?？键c,高考主要以選擇題的形式出現(xiàn),考查指數(shù)、對數(shù)、冪的基本運算,以及相關(guān)的基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用。

一、單調(diào)性法

例1已知則a,b,c的大小關(guān)系是( )。

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

分析:根據(jù)題設(shè)條件,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮處理,分別確定參數(shù)a,b的取值范圍,在此基礎(chǔ)上確定參數(shù)c的取值范圍,從而得到a,b,c的大小關(guān)系。

解:因為0,所以-1lne=1,所以b>1。又0

綜上分析,可得b>c>a。應(yīng)選A。

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),以及冪函數(shù)的單調(diào)性比較代數(shù)式的大小,首先要觀察代數(shù)式形式的異同,底數(shù)相同時,可考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,指數(shù)相同時,可考慮冪函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)都不相同時,可分析代數(shù)式的大致范圍,進(jìn)行比較大小。比較代數(shù)式的大小的兩個思路:一是判斷出各個數(shù)值所在的區(qū)間(一般是三個區(qū)間(-∞,0),(0,1),(1,+∞)),二是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。

二、媒介法

例2若a=log23,b=log34,c=log45,則a,b,c的大小關(guān)系是( )。

A.a

分析:根據(jù)題設(shè)條件,通過對數(shù)式的合理放縮處理,引入中間值作為媒介進(jìn)行過渡處理,合理“串聯(lián)”起各參數(shù)a,b,c所對應(yīng)的關(guān)系式與對應(yīng)“媒介值”之間的大小關(guān)系,進(jìn)而加以正確分析與判斷。

三、數(shù)形結(jié)合法

例3已知x,y,z均為大于0 的實數(shù),且2x=3y=log5z,則x,y,z的大小關(guān)系正確的是( )。

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

分析:根據(jù)題設(shè)條件,將所求問題轉(zhuǎn)化為三個函數(shù)與對應(yīng)直線的交點的橫坐標(biāo)的關(guān)系,作出函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合法確定x,y,z的大小關(guān)系。

解:依題意可知x,y,z均為大于0的實數(shù),所以2x=3y=log5z>1。

所求問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=3x,y=log5x與直線y=t>1 的交點的橫坐標(biāo)的關(guān)系,從而可比較x,y,z的大小。

作出函數(shù)y=2x,y=3x,y=log5x,以及直線y=t>1 的圖像,如圖1所示。

圖1

結(jié)合圖像可知,其橫坐標(biāo)的關(guān)系為z>x>y。應(yīng)選C。

利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行代數(shù)式的比較大小時,通過觀察相應(yīng)的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,畫出對應(yīng)的函數(shù)圖像,觀察函數(shù)圖像的交點位置,從而確定所給指數(shù)、對數(shù)、冪的大小關(guān)系。

四、特殊值法

例4已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( )。

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

分析:根據(jù)題設(shè)條件,利用特殊值法,選取特殊值b=2,代入相應(yīng)的關(guān)系式,合理作差比較,從而結(jié)合對數(shù)運算,排除不滿足特殊值的選項,進(jìn)而得到正確的結(jié)果。

解:令b=2,則a=log5(2b+3b)=log513,c=log3(5b-2b)=log321,此時ac-b>0,也即|a-c|>|bc|,排除C、D。

特殊值法是“小題小做”的重要策略,利用特殊值法進(jìn)行合理排除,是一種常見的解題方法,這種方法既可以提高解題速度,又能提高解題的準(zhǔn)確性。

五、引入?yún)?shù)法

分析:根據(jù)題設(shè)條件中的不定方程引入?yún)?shù),結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的互化,可得對應(yīng)代數(shù)式的指數(shù)冪形式,利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小關(guān)系,從而得到三個代數(shù)式的大小排序。

當(dāng)題目條件中出現(xiàn)連等式時,可通過引入?yún)?shù)把連等式設(shè)為一個常數(shù),利用指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化,進(jìn)行大小比較。利用此方法解決問題的關(guān)鍵是熟悉指數(shù)、對數(shù)運算公式,以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用。

1.(多選題)已知log3a>log3b,則下列不等式一定成立的是( )。

2.(多選題)已知函數(shù)m(x)=2x,h(x)=3x,且m(a)=h(b),則下列式子可能成立的是( )。

A.a<0,b>0

B.a

C.a=b

D.0

提示:在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)m(x)和h(x)的圖像(圖略)。結(jié)合圖像得,當(dāng)m(a)=h(b)時,a,b的關(guān)系可能為a