真三軸卸荷條件下砂巖力學(xué)特性和剪切變形帶預(yù)測(cè)模型

王 澤，李文璞, ，馮國(guó)瑞 , ，杜佳慧，郝瑞卿

(1.太原理工大學(xué) 安全與應(yīng)急管理工程學(xué)院,山西 太原 030024；2.礦山巖層控制及災(zāi)害防控山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 太原 030024；3.山西省煤基資源綠色高效開發(fā)工程研究中心,山西 太原 030024；4.太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院,山西 太原 030024)

開采挖掘是地下工程的重要作業(yè)之一，其產(chǎn)生的卸載作用會(huì)對(duì)周圍巖石產(chǎn)生擾動(dòng)，引起巖石力學(xué)特性變化。而巖石在實(shí)際地下開挖中處于三向不等壓狀態(tài)[1]，中間主應(yīng)力會(huì)對(duì)巖石性質(zhì)產(chǎn)生影響。2 者綜合作用，會(huì)使巖石表現(xiàn)出復(fù)雜的變形和強(qiáng)度規(guī)律，引發(fā)的地質(zhì)災(zāi)害更具有瞬時(shí)性和破壞性。因此，中間主應(yīng)力效應(yīng)[2-3]和卸荷作用[4]是巖石力學(xué)重要的研究?jī)?nèi)容。

在開展中間主應(yīng)力的研究中，常通過2 類試驗(yàn)進(jìn)行：一是控制主應(yīng)力變化[5-6]，二是控制應(yīng)力不變量變化[7-10]。在控制主應(yīng)力的試驗(yàn)中，通過設(shè)置不同中間主應(yīng)力來研究其對(duì)巖石力學(xué)行為的直接影響。陳國(guó)慶等[11]對(duì)紅砂巖試樣開展不同中間主應(yīng)力條件下加載試驗(yàn)，借助聲發(fā)射和高速攝像設(shè)備分析裂紋擴(kuò)展規(guī)律。蔣長(zhǎng)寶等[12]通過真三軸試驗(yàn)研究中間主應(yīng)力對(duì)頁(yè)巖力學(xué)和滲透特性的影響。許多學(xué)者通過開展卸載試驗(yàn)，研究卸載對(duì)巖石力學(xué)特性的影響。趙光明等[4]開展不同中間主應(yīng)力巖石卸載試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)卸載面受中頻中幅擾動(dòng)容易形成小裂紋發(fā)育。李兆霖等[13]通過開展真三軸卸載試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)卸載條件下巖石內(nèi)部破裂特征更加復(fù)雜，破裂面表面積變大。劉婕等[14]開展花崗巖真三軸加載和卸載破壞試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)卸荷條件下花崗巖脆性指數(shù)更高。白鑫等[15]建立考慮加卸載煤巖損傷的煤巖滲透率模型，發(fā)現(xiàn)在卸荷作用下，瓦斯?jié)B透率呈“V”型發(fā)展趨勢(shì)。但是以上研究集中于試驗(yàn)現(xiàn)象和規(guī)律，沒有建立中間主應(yīng)力、卸載作用與巖石應(yīng)力狀態(tài)和變形破壞之間的聯(lián)系。

在理論分析中，本構(gòu)模型和局部剪切理論可合理描述巖石受力演化行為，反映巖石受力發(fā)展過程，有利于理解中間主應(yīng)力和卸載的作用。VERMEER 等[16]通過開展常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)，推導(dǎo)和分析了理想塑性模型、硬化模型、硬化-軟化模型以及循環(huán)加卸載模型。殷有泉等[17]強(qiáng)調(diào)彈性參數(shù)隨著塑性變形的發(fā)展而變化(彈塑性耦合)，需要在流動(dòng)法則中考慮相關(guān)變化，并由此推廣出廣義塑性流動(dòng)法則。尤明慶[18]通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)圍壓增加可以使裂隙面間的摩擦力增加，減少剪切滑移，從而提高彈性模量。夏才初等[19]建立彈黏塑性本構(gòu)模型，考慮卸荷路徑下大理巖變形隨時(shí)間的變化規(guī)律。周輝等[20]建立彈塑性耦合模型，考慮非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，建立剪脹角隨圍壓和內(nèi)變量變化的關(guān)系。而局部剪切理論先后由HADAMARD[21]、THOMAS[22]、HILL[23]以及MANDEL[24-25]建立發(fā)展。通過該理論建立局部剪切變形帶發(fā)展過程，確定變形帶角度。李國(guó)琛[26]探究變形帶分叉的力學(xué)條件。呂璽琳等[27]通過應(yīng)用非共軸本構(gòu)模型，發(fā)現(xiàn)中間主應(yīng)力比超過0.2 局部應(yīng)變會(huì)影響巖土的峰值強(qiáng)度。CHEMENDA 等[28-30]考慮巖石擴(kuò)容特性，分析偏平面的應(yīng)力狀態(tài)，得到相關(guān)本構(gòu)模型，探究屈服面和包絡(luò)線之間的關(guān)系，預(yù)測(cè)巖石變形帶角度。楊忠平等[31]將剪切過程分為3 個(gè)階段：剪密階段、線性增加階段和應(yīng)變硬化階段，并分析相應(yīng)階段的能量演化。許多學(xué)者也發(fā)現(xiàn)，中間主應(yīng)力和卸載作用對(duì)變形帶的角度有影響[32-34]。因此，需要構(gòu)建考慮中間主應(yīng)力和卸載作用的本構(gòu)模型和剪切變形帶發(fā)展模型，與巖石應(yīng)力狀態(tài)和變形破壞建立聯(lián)系，明確2 者的作用機(jī)制。

筆者通過開展不同中間主應(yīng)力下砂巖加載和卸載試驗(yàn)并進(jìn)行相關(guān)理論分析，深入探討中間主應(yīng)力和卸載作用對(duì)巖石變形特性、強(qiáng)度特征以及剪切變形帶角度的影響作用。分析偏平面上偏應(yīng)力和偏應(yīng)變，對(duì)比不同條件下應(yīng)力Lode 角和應(yīng)變Lode 角演化規(guī)律，確定考慮中間主應(yīng)力和卸載影響的屈服函數(shù)，建立包含三應(yīng)力不變量的硬化模型。結(jié)合分叉理論，推導(dǎo)出不同條件下的剪切變形帶角度，與實(shí)際變形帶角度對(duì)比，驗(yàn)證模型的合理性，最后分析中間主應(yīng)力和卸載對(duì)變形破壞的影響。以上研究，有利于控制實(shí)際工程中巖石的穩(wěn)定性，便于預(yù)測(cè)開采挖掘條件下巖石剪切變形帶角度，保障了工程安全穩(wěn)定高效發(fā)展。

1 試樣設(shè)備及試驗(yàn)方案

1.1 試驗(yàn)設(shè)備

本試驗(yàn)采用重慶大學(xué)自主研發(fā)的“多功能真三軸流固耦合試驗(yàn)系統(tǒng)”[35]，如圖1 所示。多功能真三軸流固耦合試驗(yàn)系統(tǒng)主要由框架式機(jī)架、真三軸壓力室、加載系統(tǒng)、內(nèi)密封滲流系統(tǒng)、控制和數(shù)據(jù)測(cè)量、采集系統(tǒng)及聲發(fā)射監(jiān)測(cè)系統(tǒng)等組成。真三軸壓力室內(nèi)部可放置多種尺寸立方體試樣，最大可達(dá)200 mm×200 mm×200 mm。在壓力室的3 個(gè)主應(yīng)力方向上均設(shè)置一對(duì)獨(dú)立的加載系統(tǒng)。加載系統(tǒng)采取兩向剛性和一向柔性或剛性加載方式，盡量避免端部摩擦效應(yīng)。3 個(gè)主方向可以提供的最大壓力分別為6 000、6 000和4 000 kN。本試驗(yàn)中以Y方向施加最大主應(yīng)力σ1，以X方向施加中間主應(yīng)力σ2，Z方向施加最小主應(yīng)力應(yīng)力σ3。試件變形由高精度位移傳感器配合采集卡監(jiān)測(cè)和記錄。

圖1 多功能真三軸流固耦合試驗(yàn)系統(tǒng)[35]Fig.1 True triaxial fluid-solid coupling experiment system[35]

1.2 試驗(yàn)方案

為保證試樣內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性質(zhì)均勻性，避免試樣之間因離散型而產(chǎn)生較大的試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)所需砂巖巖樣均取自重慶市北碚區(qū)同一塊完整且勻質(zhì)的砂巖，密度為2 261 kg/m3，單軸抗壓強(qiáng)度為48.60 MPa。對(duì)所取砂巖塊進(jìn)行切割，加工成100 mm×100 mm×100 mm、無明顯缺陷的正方體試件，并用磨床對(duì)端面進(jìn)行打磨，保證試件表面光滑且無明顯裂隙，不平行度和不垂直度均小于0.02 mm。

為研究不同中間主應(yīng)力和卸載作用對(duì)砂巖的力學(xué)特性和剪切變形帶影響機(jī)制，開展了中間主應(yīng)力分別為30、40、50、60、70 MPa 的加載試驗(yàn)和卸載試驗(yàn)(圖2)。表1 為不同中間主應(yīng)力試驗(yàn)下對(duì)應(yīng)的初始應(yīng)力條件σ3i、σ2i、σ1i(i為預(yù)加載試驗(yàn)階段對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力初始應(yīng)力條件)。試驗(yàn)分為預(yù)加載(圖2 中A 部分)及正式加載和卸載試驗(yàn)(圖2 中B 部分)。預(yù)加載試驗(yàn)中，分別將3 個(gè)方向的主應(yīng)力施加至σ3i、σ2i、σ1i，并保持不變，加載速率均為1 kN/s。正式加載試驗(yàn)中，在最大主應(yīng)力方向以1.28 kN/s 加荷，直至砂巖試樣破壞；正式卸載試驗(yàn)中，在最大主應(yīng)力方向以1.28 kN/s 加荷、在最小主應(yīng)力方向以0.16 kN/s 單面卸荷，直至砂巖試樣破壞。

表1 不同中間主應(yīng)力試驗(yàn)的初始應(yīng)力條件Table 1 Initial stress conditions for different in termediate principal stress tests MPa

圖2 應(yīng)力路徑示意Fig.2 Stress path diagram

2 力學(xué)特性

2.1 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

筆者引入偏剪切應(yīng)力(τσ)和偏剪切應(yīng)變(εs)來分析砂巖的變形規(guī)律。圖3(a)、(b)為不同中間主應(yīng)力加載和卸載條件下巖樣最大主應(yīng)力隨最大主應(yīng)變的演化曲線，圖3(c)、(d)為不同中間主應(yīng)力加載和卸載條件下巖樣偏剪切應(yīng)力隨偏剪切應(yīng)變的演化曲線。由圖3 可知，砂巖試樣在經(jīng)歷彈性段后進(jìn)入應(yīng)變硬化階段，隨著中間主應(yīng)力增加，不同曲線的斜率呈現(xiàn)增加趨勢(shì)，應(yīng)變硬化程度增加。在σ1–ε1關(guān)系曲線中，峰值處的最大主應(yīng)力均隨中間主應(yīng)力增加而增加；在τσ–εs關(guān)系曲線中，加載條件下峰值處的偏剪切應(yīng)力隨著中間主應(yīng)力增加而增加，而在卸載條件下，偏剪切應(yīng)力僅在σ2=70 MPa 下有較大提升，其余中間主應(yīng)力的偏剪切應(yīng)力增幅很小。這反映出在一定范圍內(nèi)中間主應(yīng)力對(duì)巖樣強(qiáng)度的增強(qiáng)和卸載對(duì)強(qiáng)度的減弱作用。巖石是否發(fā)生破壞主要是由其內(nèi)部抗剪切能力決定的。在加載試驗(yàn)中，巖樣受到中間主應(yīng)力約束，一定程度上會(huì)增加巖石延性，內(nèi)部可以承受的剪切應(yīng)力增加；在卸載試驗(yàn)中，雖然巖石整體延性增加，但受泊松效應(yīng)[3]影響，最小主應(yīng)力方向更易發(fā)生膨脹，萌生張拉裂隙，導(dǎo)致巖石更容易發(fā)生局部破壞。因此，巖石試樣在屈服階段主要通過偏剪切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度分析。

圖3 不同中間主應(yīng)力條件下巖樣應(yīng)力–應(yīng)變關(guān)系Fig.3 Stress and strain relationship curves for rock samples under different intermediate principal stress conditions

圖4 為不同中間主應(yīng)力加載和卸載條件下砂巖試樣體積應(yīng)變?chǔ)臯隨偏剪切應(yīng)變的變化曲線。在試驗(yàn)初期，加載和卸載條件下砂巖試樣體積應(yīng)變及其增加速率均隨著偏剪切應(yīng)變?cè)黾佣黾?。定義最大壓縮點(diǎn)為巖石體積應(yīng)變由壓縮轉(zhuǎn)化為膨脹的值(第1 個(gè)極值點(diǎn)處)，而非整個(gè)曲線的最大值點(diǎn)處。在加載條件下，隨著中間主應(yīng)力增加，體積應(yīng)變由膨脹逐漸變?yōu)閴嚎s，最大壓縮點(diǎn)先增加后趨于平穩(wěn)。σ2為30 MPa 時(shí)，試樣發(fā)生膨脹，體積應(yīng)變先減小后趨于平穩(wěn)。而σ2為40 MPa 時(shí)，試樣膨脹程度減小，體積應(yīng)變達(dá)到最大壓縮點(diǎn)后趨于平穩(wěn)。σ2在50～70 MPa 時(shí)，試樣轉(zhuǎn)為壓縮，體積應(yīng)變開始增加，但是中間主應(yīng)力對(duì)后續(xù)體積應(yīng)變?cè)黾拥挠绊懖⒉伙@著。卸載條件下巖樣在最大壓縮點(diǎn)之后均呈膨脹趨勢(shì)，表明卸載作用會(huì)在一定程度上減弱中間主應(yīng)力作用。

圖4 不同中間主應(yīng)力條件下巖樣體積應(yīng)變曲線Fig.4 Volume strain curves for rock samples under different intermediate principal stresses

圖5 為不同中間主應(yīng)力加載和卸載條件下巖樣偏剪切應(yīng)變隨時(shí)間的演化規(guī)律。將偏剪切應(yīng)變的發(fā)展過程分為3 個(gè)階段：平穩(wěn)增加階段、陡增階段和快速增加階段。由圖5 可知，在平穩(wěn)增加階段，砂巖試件偏剪切應(yīng)變及其增長(zhǎng)速率隨中間主應(yīng)力增加呈現(xiàn)減小趨勢(shì)。加載條件下，當(dāng)σ2>40 MPa、偏剪切應(yīng)變達(dá)到0.8%左右時(shí)，偏剪切應(yīng)變會(huì)發(fā)生陡增，陡增階段增幅在0.7%左右，隨后進(jìn)入快速增加階段。對(duì)比圖3，陡增發(fā)生在試樣屈服后、應(yīng)力跌落前，此時(shí)由剪切應(yīng)力主導(dǎo)的裂紋擴(kuò)展迅速，宏觀裂紋快速發(fā)展，出現(xiàn)陡增現(xiàn)象。而卸載條件下，試樣的偏剪切應(yīng)變?cè)?.7%左右均發(fā)生陡增，比加載條件下提前了0.1%，陡增起始點(diǎn)位于試樣屈服前。綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)卸載作用使裂紋貫通提前發(fā)生，巖樣內(nèi)部剪切應(yīng)變發(fā)展迅速。陡增現(xiàn)象反映出砂巖試樣內(nèi)部發(fā)生破壞是從局部變形開始，隨后不斷累積，形成剪切變形帶。但是，在加載條件下，σ2為30、40 MPa 時(shí)巖樣陡增程度較低，而在圖4 中此條件下的擴(kuò)容現(xiàn)象最為明顯。這表明局部變形和整體變形并不是統(tǒng)一的。根據(jù)RUDNICKI 等[36]研究，發(fā)現(xiàn)變形帶不僅會(huì)形成擴(kuò)容帶，還會(huì)形成壓縮帶。

圖5 不同中間主應(yīng)力條件下巖樣偏應(yīng)變變化曲線Fig.5 Variation of deflective strain in rock samples under different intermediate principal stress conditions

2.2 峰值處Lode 角演化規(guī)律

圖6 為加載和卸載條件下巖樣峰值處應(yīng)力Lode角和應(yīng)變Lode 角隨不同中間主應(yīng)力的演化規(guī)律。試驗(yàn)中巖樣應(yīng)力狀態(tài)可以通過主應(yīng)力空間進(jìn)行分解，在π 平面或者偏平面上進(jìn)行分析。引入第二和第三偏應(yīng)力不變量，建立與Lode 角的關(guān)系(式(1))，并得到應(yīng)力Lode 角和應(yīng)變Lode 角表達(dá)式為

圖6 不同中間主應(yīng)力條件下巖樣Lode 角演化規(guī)律Fig.6 Evolution of Lode angle in rock samples under different intermediate principal stress conditions

式中，θσ為應(yīng)力Lode 角；θε為應(yīng)變Lode 角；σ1、σ2、σ3分別為最大主應(yīng)力、中間主應(yīng)力和最小主應(yīng)力；ε1、ε2、ε3分別為最大主應(yīng)變、中間主應(yīng)變和最小主應(yīng)變；sij、sjk、ski為應(yīng)力偏張量，sij=σij-σmδij，σm為靜水壓力，σm=(σ1+σ2+σ3)/3，δij為克羅內(nèi)克符號(hào)，當(dāng)i=j時(shí)，δij=1，當(dāng)i≠j時(shí)，δij=0。

在加載和卸載條件下，應(yīng)力Lode 角隨中間主應(yīng)力增加而增加，而卸載作用會(huì)促進(jìn)應(yīng)力Lode 角增加。文獻(xiàn)[10]研究表明，θσ在-30°～30°時(shí)，峰值應(yīng)力逐漸減小。因此，中間主應(yīng)力大小和卸載作用對(duì)巖樣強(qiáng)度的影響與應(yīng)力Lode 角有關(guān)。在加載試驗(yàn)中，巖樣應(yīng)變Lode 角隨中間主應(yīng)力增加變化并不顯著，表明中間主應(yīng)力對(duì)偏平面上應(yīng)變演化方向影響較小。而卸載試驗(yàn)中，隨著中間主應(yīng)力增加，卸載作用對(duì)應(yīng)變Lode 角影響越來越大，并會(huì)使相同中間主應(yīng)力下的應(yīng)變Lode 角增加。表2 為不同中間主應(yīng)力條件下加載和卸載試驗(yàn)中巖樣應(yīng)力Lode 角和應(yīng)變Lode 角差值的絕對(duì)值?？梢园l(fā)現(xiàn)，卸載作用對(duì)應(yīng)力Lode 角的影響相對(duì)比較固定，最大影響角度與最小影響角度僅相差了1.81°；而對(duì)應(yīng)變Lode 角的影響隨著中間主應(yīng)力增加，角度差值也呈現(xiàn)增加趨勢(shì)，反映出最小主應(yīng)力卸載會(huì)影響巖樣內(nèi)部變形方向，引起裂紋擴(kuò)展方向改變。綜上所述，中間主應(yīng)力和卸載作用反映出巖石內(nèi)部應(yīng)力Lode 角和應(yīng)變Lode 角的變化。應(yīng)力Lode 角表征了巖石屈服特性，需要建立相關(guān)屈服函數(shù)來表征。而應(yīng)變Lode 角在一定程度上表征了巖石內(nèi)部裂隙演化方向。因此，需要分析砂巖變形局部化。

表2 巖樣應(yīng)力Lode 角和應(yīng)變Lode 角差值的絕對(duì)值Table 2 Absolute values of stress Lode angle and strain Lode angle differences in rock samples

2.3 強(qiáng)度準(zhǔn)則

結(jié)合3.1 和3.2 節(jié)相關(guān)內(nèi)容可知：在強(qiáng)度準(zhǔn)則中引入剪切應(yīng)力和應(yīng)力Lode 角是十分重要的。同時(shí)，ALEXANDRE 等[30]發(fā)現(xiàn)，靜水壓力對(duì)屈服面上的包絡(luò)線形狀也會(huì)產(chǎn)生影響。本文對(duì)Mohr–Coulomb 準(zhǔn)則[37]、Drucker–Prager 準(zhǔn)則[38]以及修正Lade 準(zhǔn)則[39]進(jìn)行分析，驗(yàn)證靜水壓力、剪切應(yīng)力和應(yīng)力Lode 角對(duì)砂巖峰值強(qiáng)度的影響。

Mohr–Coulomb 準(zhǔn)則以其簡(jiǎn)單的形式廣泛應(yīng)用于顆粒膠結(jié)材料，其表達(dá)式如式(6)所示。M–C 準(zhǔn)則考慮了巖石內(nèi)部的內(nèi)摩擦角和黏結(jié)力，但是由于該準(zhǔn)則沒有考慮中間主應(yīng)力的影響，使其在真三軸條件下的應(yīng)用受到了限制。

式中，?為內(nèi)摩擦角；c為黏結(jié)力。

Drucker–Prager 準(zhǔn)則中同樣含有內(nèi)摩擦角和黏結(jié)力的相關(guān)參數(shù)，其表達(dá)式如式(7)所示。在真三軸壓縮試驗(yàn)中，D–P 準(zhǔn)則得到了廣泛的應(yīng)用，但是準(zhǔn)則中并沒有考慮應(yīng)力Lode 角的影響，從而無法很好地考慮卸載作用。

式中，α為內(nèi)部摩擦系因數(shù)；k為黏結(jié)力的系數(shù)。

修正Lade 準(zhǔn)則是由Lade 準(zhǔn)則發(fā)展而來的。LADE 等[40]引入應(yīng)力張量第一、第三不變量建立了Lade 準(zhǔn)則，如式(8)所示。

式中，Pa為大氣壓力；m和η1為材料常數(shù)；I1為第一應(yīng)力不變量；I3為第三應(yīng)力不變量。

Lade 準(zhǔn)則中包含了3 個(gè)參數(shù)，其中m和η1的求解較為復(fù)雜。EWY[39]將m設(shè)為0，獲得了剪切應(yīng)力與I1的線性關(guān)系，并且考慮了具有黏結(jié)力或非零抗拉強(qiáng)度的材料的內(nèi)部特性，將3 個(gè)參數(shù)的求解進(jìn)行簡(jiǎn)化。修正Lade 準(zhǔn)則如下：

修正Lade 準(zhǔn)則中并沒有直接與剪切應(yīng)力和應(yīng)力Lode 角等偏應(yīng)力不變量相關(guān)的參數(shù)建立聯(lián)系，但是I1、I2、I3可以通過σm、J2、θσ進(jìn)行表征。將式(16)代入到3 個(gè)主應(yīng)力不變量，可以用偏應(yīng)力不變量表示3 個(gè)主應(yīng)力不變量，如式(17)～(19)所示。

因此，修正Lade 準(zhǔn)則是考慮了3 個(gè)主變量(σm、J2、θσ)的影響作用，故可以很好地刻畫復(fù)雜應(yīng)力路徑下的巖石強(qiáng)度特性。且當(dāng)σ2=σ3時(shí)，修正Lade 準(zhǔn)則可以和M–C 準(zhǔn)則進(jìn)行吻合，便于推廣應(yīng)用。

圖7 為M–C 準(zhǔn)則、D–P 準(zhǔn)則和修正Lade 準(zhǔn)則在偏平面上不同靜水壓力的屈服面。M–C 準(zhǔn)則的屈服面在偏平面上是一個(gè)不規(guī)則的六邊形，表明其線性特征。而D–P 準(zhǔn)則在偏平面上為圓形，其偏應(yīng)力不受應(yīng)力Lode 角的影響。修正Lade 準(zhǔn)則在偏平面上為圓角三角形狀，應(yīng)力Lode 角在-30°～30°時(shí)，偏應(yīng)力不斷減小，在-30°～0°減小速率較快，10°～30°時(shí)，減小速率較慢，這與文獻(xiàn)[9]的規(guī)律一致。

圖7 不同靜水壓力下不同強(qiáng)度準(zhǔn)則在偏平面上的屈服面Fig.7 Yield surfaces of different strength criteria in the bias plane at different hydrostatic pressures

獲得巖樣峰值處對(duì)應(yīng)的最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力值，分別通過3 個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行擬合分析。M–C 準(zhǔn)則對(duì)加載試驗(yàn)和卸載試驗(yàn)擬合，R2分別為0.005 和0.227，擬合效果很差。D–P 準(zhǔn)則對(duì)加載試驗(yàn)和卸載試驗(yàn)擬合，R2分別為0.963 和0.668，相應(yīng)擬合曲線如圖8所示。

圖8 試驗(yàn)數(shù)據(jù)和D–P 準(zhǔn)則的擬合曲線Fig.8 Fitted curve of experimental data and D-P criterion

由常規(guī)三軸試驗(yàn)測(cè)得試驗(yàn)砂巖的黏結(jié)力c=16.3 MPa，內(nèi)摩擦角?=34.2°，計(jì)算所得27+η=48.369。表3 為不同試驗(yàn)通過修正Lade 準(zhǔn)則計(jì)算通過計(jì)算不同試驗(yàn)下的平均值，可以得到與(27+η)的平均誤差：加載試驗(yàn)為0.746%，卸載試驗(yàn)為1.193%。擬合曲線如圖9 所示。試驗(yàn)結(jié)果與修正Lade 準(zhǔn)則重合度好，可以較好反映砂巖巖樣在加載和卸載試驗(yàn)下的強(qiáng)度特性和變化規(guī)律。

表3 不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過修正Lade 準(zhǔn)則計(jì)算的Table 3 values calculated by the modified Lade

表3 不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過修正Lade 準(zhǔn)則計(jì)算的Table 3 values calculated by the modified Lade

圖9 試驗(yàn)數(shù)據(jù)和修正Lade 準(zhǔn)則的擬合曲線Fig.9 Fitted curves for experimental data and modified Lade criterion

3 剪切變形帶角度分析

分析最小主應(yīng)力方向卸載對(duì)巖樣的局部變形影響，需要將修正Lade 準(zhǔn)則轉(zhuǎn)化為屈服函數(shù)，構(gòu)建巖樣本構(gòu)方程，再進(jìn)行局部剪切分析，得到剪切變形帶角度預(yù)測(cè)模型，與實(shí)際變形帶角度進(jìn)行對(duì)比，確定中間主應(yīng)力和卸載的影響。

3.1 考慮三應(yīng)力不變量的硬化模型

將本構(gòu)關(guān)系假定為與速率無關(guān)的固體標(biāo)準(zhǔn)形式。其中，應(yīng)變?cè)隽繌埩坑蓮椥院退苄詰?yīng)變?cè)隽繌埩拷M成：

彈性增量可以通過廣義胡克定律與應(yīng)力增量聯(lián)系：

其中，D為彈性剛度矩陣，聯(lián)立式(20)和(21)，可得

考慮到巖樣在屈服前，會(huì)進(jìn)入應(yīng)變硬化階段。進(jìn)入屈服后，屈服面不會(huì)發(fā)生改變，需要在屈服函數(shù)中引入相應(yīng)的塑性應(yīng)變。VERMEER 等[16]研究發(fā)現(xiàn)，用等效塑性應(yīng)變比采用塑性功的方式更加有效。屈服函數(shù)S1和η由巖石內(nèi)部參數(shù)內(nèi)摩擦角和黏結(jié)力決定。內(nèi)摩擦角隨著試驗(yàn)的進(jìn)行，不斷上升達(dá)到最大值。而在峰前，黏結(jié)力變化很小，在峰后黏結(jié)力開始下降，與巖石的殘余應(yīng)力關(guān)系緊密。筆者主要考慮峰值及峰值前的巖樣力學(xué)特性，因此，將內(nèi)摩擦角與等效塑性應(yīng)變相關(guān)聯(lián)，黏結(jié)力保持定值c。此時(shí)屈服函數(shù)f為

式中，S1和η中的內(nèi)摩擦角?由??代替[41]，??的摩擦硬化經(jīng)驗(yàn)關(guān)系如圖10 所示，??的正弦見式(26)?？梢园l(fā)現(xiàn)，內(nèi)摩擦角隨著等效塑性應(yīng)變的增加而增加，到達(dá)峰值(此時(shí)εˉp=εf)后，內(nèi)摩擦角保持不變。

圖10 內(nèi)摩擦角與等效塑性應(yīng)變的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系Fig.10 Empirical relationship between internal friction angle and equivalent plastic strain

在非相關(guān)流動(dòng)法則中，引入塑性勢(shì)函數(shù)。通過將屈服函數(shù)中的內(nèi)摩擦角用剪脹角(ψ)進(jìn)行替換，從而描述巖石發(fā)生的擴(kuò)容現(xiàn)象。同樣地，在實(shí)際巖樣加載中，ψ也會(huì)隨著等效塑性應(yīng)變的增加而變化。通常，ψ用ψ*進(jìn)行替換，ψ*也是通過等效塑性應(yīng)變進(jìn)行量化。塑性勢(shì)函數(shù)為

通過流動(dòng)法則，塑性應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

其中，dλ為非負(fù)的乘數(shù)。通過式(27)將3 個(gè)主應(yīng)變?cè)隽糠謩e求解，代入式(25)可得

為了求解dλ，引入一致性條件，即df=0，具體為

將式(22)、(29)代入式(32)中，可得

化簡(jiǎn)可得

其中，h為硬化模量，其內(nèi)部含有衡量材料的硬化參數(shù)，表達(dá)式為

展開屈服函數(shù)和塑性勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)力張量的偏導(dǎo)數(shù)，可以得到d的具體計(jì)算式為

其中，E為彈性模量；v為泊松比；m、n均為求解中的過程值：

將式(29)和(34)代入式(22)，得到本構(gòu)方程為

由于剪脹角ψ*與等效塑性應(yīng)變關(guān)系的難以確定，并且為了簡(jiǎn)化最終求解過程，采用相關(guān)流動(dòng)法則，使該本構(gòu)關(guān)系中的剪脹角ψ*與內(nèi)摩擦角??相等，即認(rèn)為屈服函數(shù)和塑性勢(shì)函數(shù)相同。此時(shí)本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為

式中，E為單位矩陣。

3.2 剪切變形帶預(yù)測(cè)模型的建立

對(duì)于巖石，在加載和卸載試驗(yàn)過程中，持續(xù)的變形會(huì)突然發(fā)生改變，進(jìn)一步發(fā)生的變形會(huì)集中在狹長(zhǎng)的變形帶中[41]。圖11 為巖石在試驗(yàn)過程中產(chǎn)生的理想剪切變形帶。變形帶方向是帶的方向與最小主應(yīng)力方向的夾角ξ。在分析變形帶角度ξ時(shí)，將塑性勢(shì)關(guān)系式從本構(gòu)關(guān)系中獨(dú)立，尋找屈服函數(shù)和塑性勢(shì)函數(shù)非偏應(yīng)力部分，進(jìn)行變形帶角度計(jì)算。

圖11 剪切變形帶示意Fig.11 Schematic diagram of the shear deformation band

根據(jù)RUDNICKI[42]的分析，塑性應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

進(jìn)一步結(jié)合HADAMARD 和THOMAS[21-22]的分析，可以得到摩擦因數(shù)μ和擴(kuò)容系數(shù)β的相關(guān)表達(dá)式，即

通過RUDNICKI 等[36]的研究，得到變形帶法向方向和最小主應(yīng)力夾角θRR，表達(dá)式為

式中，α對(duì)于判斷變形帶的特性具有重要作用，當(dāng)α≥1 時(shí)，此時(shí)變形帶角度為0°，形成了擴(kuò)容帶；而α≤-1 時(shí)，此時(shí)變形帶角度為90°，形成了壓縮帶[42]。需要注意，這里的擴(kuò)容帶和壓縮帶不是表征巖樣是否發(fā)生擴(kuò)容現(xiàn)象，而是表征變形帶本身的特性；s2為第二偏應(yīng)力不變量。通過建立應(yīng)力Lode 參數(shù)與應(yīng)力Lode 角的關(guān)系，可以推導(dǎo)出為

將式(44)～(47)以及式(50)代入式(49)，考慮相關(guān)流動(dòng)法則下μ與β相等，可以得到最終α的表達(dá)式為

其中，角度ζ定義為

3.3 剪切變形帶角度變化規(guī)律分析

將式（40）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可以得到

顯然，塑性應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

其中，需要將屈服函數(shù)轉(zhuǎn)化為3 個(gè)偏應(yīng)力不變量的形式，再對(duì)每個(gè)不變量進(jìn)行求解。將偏應(yīng)變突增時(shí)的相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果代入式（51）和式（52），可以獲得不同中間主應(yīng)力的加載和卸載試驗(yàn)下巖樣的α和θRR，通過θRR可以得到變形帶角度ξ，如圖12 所示。由于巖石的變形帶不是一個(gè)平面，而是一個(gè)不規(guī)則曲面，變形帶角度隨著變形帶的發(fā)展，其角度不是一個(gè)定值。因此，這里的試驗(yàn)值指變形帶初始產(chǎn)生時(shí)傾角[43-44]。筆者通過對(duì)巖石初始斷裂角做切線，獲得變形帶角度的試驗(yàn)值，并繪制在圖12（b）中。無論是加載試驗(yàn)還是卸載試驗(yàn)，參數(shù)α均小于0，變形帶表現(xiàn)出壓縮性質(zhì)。在本試驗(yàn)的中間主應(yīng)力范圍內(nèi)，隨著中間主應(yīng)力增加，參數(shù)α先增加后趨于平穩(wěn)，說明巖樣形成的變形帶隨中間主應(yīng)力增加向擴(kuò)容變形帶發(fā)展，但是中間主應(yīng)力同時(shí)又存在約束作用，會(huì)限制其發(fā)展。在卸載試驗(yàn)中，當(dāng)中間主應(yīng)力達(dá)到60 MPa 后，參數(shù)α下降，表明中間主應(yīng)力的約束作用占據(jù)主導(dǎo)地位，使變形帶向壓縮變形帶方向發(fā)展。由圖12（b）可知預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比較接近，變形帶角度預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果良好。變形帶角度ξ隨著中間主應(yīng)力增加而減小，在中間主應(yīng)力達(dá)到60 MPa 后，趨于穩(wěn)定并有小幅增加。而卸載作用，會(huì)使在同一中間主應(yīng)力下巖樣變形帶角度減小，使變形帶更容易向擴(kuò)容變形帶發(fā)展，但隨著中間主應(yīng)力增加，變形帶角度減小幅度減少，因此中間主應(yīng)力增加也會(huì)抑制卸載的作用。綜上所述，卸載作用會(huì)影響變形帶發(fā)展方向，最終影響到破壞面狀態(tài)；而中間主應(yīng)力作用較為復(fù)雜，它既會(huì)促進(jìn)變形帶向擴(kuò)容帶發(fā)展，也會(huì)對(duì)其發(fā)生約束作用。因此，需要在更廣的σ2范圍內(nèi)對(duì)中間主應(yīng)力作用進(jìn)行分析。

圖12 不同中間主應(yīng)力加載和卸載條件下砂巖的α和變形帶角度ξFig.12 Variation values α and deformation band angles ξ for sandstone under loading and unloading tests with different intermediate principal stresses

4 結(jié)論

(1)隨著中間主應(yīng)力增加，峰值處偏剪切應(yīng)力增加，而卸載條件下偏剪切應(yīng)力增幅較?。粠r樣最大壓縮點(diǎn)先增加后趨于平穩(wěn)，達(dá)到最大壓縮點(diǎn)后，加載條件下巖樣體積應(yīng)變由膨脹逐漸變?yōu)閴嚎s，而卸載條件下均發(fā)生膨脹趨勢(shì)；巖樣偏剪切應(yīng)變發(fā)生陡增，卸載條件下陡增提前。

(2)隨著中間主應(yīng)力增加，峰值處巖樣應(yīng)力Lode角增加。卸載條件下應(yīng)力Lode 角和應(yīng)變Lode 角均比加載條件下的大，且2 個(gè)條件下Lode 角的差值隨中間主應(yīng)力增加而增大。

(3)用等效塑性應(yīng)變描述內(nèi)摩擦角隨試驗(yàn)進(jìn)行的變化，考慮非相關(guān)流動(dòng)法則：內(nèi)摩擦角與剪脹角不相等，從而建立包含三應(yīng)力不變量的硬化模型。引入模型，結(jié)合局部剪切分析，獲得變形帶角度預(yù)測(cè)模型，對(duì)比角度試驗(yàn)值和預(yù)測(cè)值，發(fā)現(xiàn)變形帶角度預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果良好。

(4)隨著中間主應(yīng)力增加，變形帶角度先減小隨后趨于穩(wěn)定；而卸載作用會(huì)減小變形帶角度，并隨著中間主應(yīng)力的增加，角度減小幅度下降。以上研究有利于對(duì)實(shí)際工程中巖石變形帶發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)，保證工程安全高效進(jìn)行。