基于“金屬絲+小環(huán)”案例的點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析方法1)

于紅軍孫 毅 ,2) 陳立群

*(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

?(哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）理學(xué)院，廣東深圳 518055)

點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)中概念較為抽象的內(nèi)容。在點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析中，動(dòng)點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式是分析問題的主要工具。形象化的處理有助于學(xué)生理解相關(guān)概念和理論。目前許多國內(nèi)理論力學(xué)教材采用小環(huán)在運(yùn)動(dòng)金屬絲上運(yùn)動(dòng)的案例討論絕對速度、相對速度和牽連速度的關(guān)系，同時(shí)也直觀地引入牽連點(diǎn)的概念。這個(gè)“金屬絲+小環(huán)”的案例很早就引入理論力學(xué)教材，例如在19 世紀(jì)中葉的法國教材[1-2]。茹科夫斯基在19 世紀(jì)末莫斯科大學(xué)的講義中，對這個(gè)案例進(jìn)行了精細(xì)化的幾何處理[3]。在我國理論力學(xué)教學(xué)界有廣泛影響的翻譯教材[4]采用該案例較為通俗易懂的敘述，這種處理被我國早期理論力學(xué)教材[5-7]所采用，并在后續(xù)版本中沿用。已經(jīng)有學(xué)者指出，“金屬絲+小環(huán)”案例的這種處理不夠嚴(yán)格[8]。

目前采用的分析方法大致有兩類，即基于動(dòng)系運(yùn)動(dòng)方程的分析方法和基于牽連點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的分析方法[9-10]?；趧?dòng)系運(yùn)動(dòng)方程的分析方法在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上較為流暢，且并不需要深入探究合成運(yùn)動(dòng)的許多幾何學(xué)上的概念。但從求解問題的角度來看，這些概念，如牽連點(diǎn)的幾何學(xué)性質(zhì)及其與動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上的關(guān)系等，都是理解分析問題、尤其是工程問題的重要環(huán)節(jié)。

1 “金屬絲+小環(huán)”案例的速度分析解析

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在相對運(yùn)動(dòng)中的相對軌跡為曲線AB，如圖1 所示。為了容易理解，設(shè)想AB為一金屬線，動(dòng)參考系即固定在此線上，而將動(dòng)點(diǎn)看成是沿金屬線滑動(dòng)的一極小圓環(huán)。在瞬時(shí)t，動(dòng)點(diǎn)與曲線AB上的點(diǎn)M1重合，點(diǎn)M1也稱為該瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。經(jīng)過極短的時(shí)間間隔 Δt后，動(dòng)參考系A(chǔ)B運(yùn)動(dòng)到新位置A'B'；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M′（圖1），而曲線AB上的點(diǎn)M1則隨動(dòng)系運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處。

圖1 “金屬絲+小環(huán)”矢量關(guān)系圖

由圖1 中的幾何關(guān)系，有

式中通過引入牽連點(diǎn)M1，建立了動(dòng)點(diǎn)絕對運(yùn)動(dòng)與相對運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系。以 Δt除式（1）兩端，并令 Δt →0，取極限，得

根據(jù)速度的定義，式（2）左端為動(dòng)點(diǎn)M在瞬時(shí)t的絕對速度，右端第一項(xiàng)為動(dòng)點(diǎn)M在瞬時(shí)t的牽連速度。問題的關(guān)鍵是分析式（2）右端第二項(xiàng)與相對速度的關(guān)系。

傳統(tǒng)的處理如下[11-12]，設(shè)是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔 Δt的相對運(yùn)動(dòng)軌跡，則動(dòng)點(diǎn)的相對速度為

當(dāng) Δt →0 時(shí)，曲線A'B'趨近于曲線AB，故有

式（3）和式（4）表明式（2）右端第二項(xiàng)即為相對速度，因此得到速度合成定理。

盡管上述分析導(dǎo)出了速度合成定理，但仍存在兩個(gè)需要進(jìn)一步闡述的問題。

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由于相對運(yùn)動(dòng)和絕對運(yùn)動(dòng)是在不同參考系中來描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要建立二者之間的關(guān)系，需要將點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)映射到定參考系中，而曲線AB正是t瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡在定參考系中的映射。由于動(dòng)參考系相對于定參考系運(yùn)動(dòng)，不同瞬時(shí)其相對運(yùn)動(dòng)軌跡在定參考系中的映射也在變化，因此直接斷定式（3）成立不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

（2）式（4）的推導(dǎo)過程

2 “金屬絲+小環(huán)”案例速度分析的完善

由于金屬絲就是動(dòng)點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡，因此相對運(yùn)動(dòng)方程可用定義在金屬絲上的弧坐標(biāo)來表示

由于弧坐標(biāo)是定義在軌跡上的代數(shù)量，因此在不同參考系下其運(yùn)動(dòng)方程具有相同的形式。

相對速度可以寫為

兩端同時(shí)除以 Δt并利用式(7)，可以得到

將式（8）與式（1）～式（4）相結(jié)合，就完成了對點(diǎn)的速度合成定理的完整推導(dǎo)。

3 “金屬絲+小環(huán)”案例的加速度合成定理推導(dǎo)

尚未發(fā)現(xiàn)在教材中采用“金屬絲+小環(huán)”案例來推導(dǎo)加速度合成定理，相關(guān)的研究論文也比較少見。唐紅春等[13]試圖將相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)獨(dú)立開來分別推導(dǎo)，但這只有當(dāng)動(dòng)系做平移時(shí)才嚴(yán)格成立。本文在推導(dǎo)速度合成定理的基礎(chǔ)上，較為嚴(yán)格地給出了加速度合成定理的表達(dá)式。動(dòng)點(diǎn)M（小環(huán)）在t瞬時(shí)的絕對加速度為

式（11）與式（10）的差表示的是牽連速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)與牽連加速度的差異，即

式（10）中的相對速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可表示為

式中右側(cè)第一項(xiàng)表示的是相對速度大小變化引起的相對速度變化，第二項(xiàng)表示的是動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系上位置變化引起的相對速度變化，第三項(xiàng)表示的是動(dòng)系上一點(diǎn)的基矢量隨動(dòng)系在定系內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起的相對速度變化。

相對加速度的定義為動(dòng)系下動(dòng)點(diǎn)的加速度，即

將式（15）映射到定系中，注意(s)=et(s,t)，故相對加速度可表示為

若保持s不變，則et(s,t) 可以看成是固連在動(dòng)系上的基矢量，它對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以表示為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與該基矢量的矢量積[14]，式（14）中的第三項(xiàng)可表示為

式（17）表示的是動(dòng)系的旋轉(zhuǎn)造成的相對速度矢量方向在定系下變化對應(yīng)的加速度。

將式（12）～式（14）、式（16）和式（17）代入式（9），可以獲得絕對加速度的表達(dá)式為

其中aC為科氏加速度，其表達(dá)式為

根據(jù)上述推導(dǎo)，可以更加清晰地了解科氏加速度對應(yīng)的物理量，便于直觀理解。

4 討論

采用“金屬絲+小環(huán)”案例推導(dǎo)點(diǎn)的速度合成定理和加速度合成定理，除了幾何直觀性的特點(diǎn)外，還有以下兩點(diǎn)值得借鑒。

（1）通過引入牽連點(diǎn)M1，建立了Δt時(shí)間間隔內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)與相對運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系。這一分析方法突出了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的物理概念，也幫助讀者對牽連點(diǎn)有更深入的理解。

（2）“金屬絲+小環(huán)”雖然只是一個(gè)案例，但完全可以推廣到動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系作任意運(yùn)動(dòng)的情況。只要把動(dòng)點(diǎn)看做小環(huán)，動(dòng)點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡看做金屬絲即可。事實(shí)上，這種通過輔助幾何模型來求解問題的方法在點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析中是經(jīng)常使用的。