彈性模量的發(fā)現(xiàn)歷程1)

張偉偉 馬宏偉 武 靜

(東莞理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，廣東東莞 523808)

彈性模量也被稱為楊氏模量，是固體力學(xué)中用于表征材料彈性變形的基本量，一般認(rèn)為英國(guó)著名的博物學(xué)家、力學(xué)家托馬斯·楊（Thomas Young,1773—1829）于1807 年首次提出了彈性模量的概念。其定義為在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力σ與應(yīng)變?chǔ)胖?。不過(guò)，彈性模量的發(fā)現(xiàn)并非由托馬斯·楊一人獨(dú)立完成的。早在17 世紀(jì)末，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1655—1705）在研究梁的撓曲線時(shí)就涉及到了彈性模量。1696 年，歐拉利用變分法推導(dǎo)梁撓曲線時(shí)，認(rèn)為梁彎矩與撓曲線曲率成正比，并將比例常數(shù)稱為“絕對(duì)彈性”(absolute elasticity)。托馬斯·楊于1807 年提出了彈性模量（the modulus of the elastic）的概念，并給出了“模重”和“模高”兩類彈性指標(biāo)描述材料的彈性模量。今天彈性模量的定義是納維（Claude-Louis Navier，1785—1836）提出的。1826 年，納維在分析梁變形及其強(qiáng)度時(shí)，區(qū)分了彈性模量（E）和截面慣性矩（I），從而將彈性模量從材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的混合體中解放出來(lái)，使得彈性模量真正成為描述材料性能的力學(xué)指標(biāo)。本文希望通過(guò)梳理彈性模量的發(fā)現(xiàn)歷程，探索力學(xué)概念在其發(fā)展過(guò)程中的內(nèi)在邏輯性。

1 托馬斯·楊之前彈性模量的研究

眾所周知，1676 年，胡克（Robert Hooke，1635—1703）給出了彈簧變形與力之間的關(guān)系，即胡克定律[1]

這里，F(xiàn)表示力，x表示彈簧變形量。k是表征彈簧彈性變形能力的常數(shù)，稱為勁度系數(shù)或彈性系數(shù)。由式（1）可知，k可以通過(guò)力F與彈簧變形x的比值求得。胡克發(fā)現(xiàn)彈簧的彈性性質(zhì)之后，就將這一性質(zhì)推廣到了固體材料中，他指出，具有彈性性質(zhì)的各類構(gòu)件都滿足式（1）的公式。但胡克并沒有對(duì)彈性模量這一概念進(jìn)行深究，首先涉及到彈性模量的是瑞士數(shù)學(xué)力學(xué)家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705），他在討論梁的彎曲變形中不自覺地用到了彈性模量。

17 世紀(jì)末期，萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibnitz,1646—1716）提出微積分后迅速在歐洲大陸產(chǎn)生了廣泛的影響，為了擴(kuò)展微積分的應(yīng)用范圍，許多科學(xué)家提出各種各樣的問(wèn)題來(lái)擴(kuò)展微積分的應(yīng)用領(lǐng)域。雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）提出了一個(gè)微積分應(yīng)用的力學(xué)問(wèn)題，他很可能是第一位涉及到彈性模量的數(shù)學(xué)力學(xué)家。題目如下[2]：如圖1(a)所示的懸臂梁，在其自由端作用一集中載荷P，求梁的撓曲線。

圖1 雅各布·伯努利的梁彎曲變形

雅各布錯(cuò)誤地以梁最下一層纖維變形作為梁的撓曲線進(jìn)行求解，這來(lái)自于馬略特對(duì)梁截面應(yīng)力分布的一種誤解。在雅各布之前的梁理論主要為伽利略（Galileo Galilei,1564—1642）和馬略特（Edme Mariotte,1620—1684）梁理論，但他們主要研究了梁的強(qiáng)度理論。在討論梁的破壞形式上，伽利略認(rèn)為梁截面上的力是均勻分布的，說(shuō)明伽利略對(duì)于梁的認(rèn)識(shí)還沒有中性層的概念，而馬略特認(rèn)為梁截面上的力沿著梁高度方向線性分布，他認(rèn)為梁的最上面纖維所受的力最大，最下面一層纖維所受的力為0，相當(dāng)于認(rèn)為中性層位于梁的最下面一層[3]。雅各布采用了馬略特的梁理論，他認(rèn)為梁在變形中，最下面一層纖維保持不變，向上各層纖維的變形量線性增加，最上面一層纖維變形量最大，如圖1(b)所示，設(shè)為[2]

雅各布認(rèn)為每一層的變形量乘以彈性系數(shù)m，可得到每一層纖維的受力，這些力也沿梁高線性分布，這樣可以求得梁截面上的合力為

雅各布認(rèn)為截面上的合力的作用中心在距離梁最下面2h/3 處，因此，合力對(duì)截面最下面產(chǎn)生的彎矩等于外力P在該截面產(chǎn)生的力偶矩，因此有

假定梁在變形過(guò)程中，平截面假設(shè)成立，參考微段ACFD變形后變?yōu)锳BFD，如圖1(b)所示，顯然，ΔBCA～ΔADO，因此有

將式（5）代入式（4），可得

現(xiàn)在，由《材料力學(xué)》知識(shí)可知[4-5]，梁彎曲時(shí)的曲率和彎矩滿足關(guān)系

其中，I為截面慣性矩，對(duì)于矩形截面有I=bh3/12，將其代入式（7），得

比較式（6）和式（8）可知，m就相當(dāng)于彈性模量，只不過(guò)雅各布以懸臂梁最下一層纖維為中性層，因此與彈性模量相差4 倍。雅各布也沒有對(duì)彈性模量進(jìn)行深入的討論，他更關(guān)心梁的變形，得到了梁變形與彎矩之間的關(guān)系為：彎矩與梁變形曲線的曲率成正比。

1696 年，雅各布·伯努利的弟弟，約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）以公開信的方式，向全歐數(shù)學(xué)家提出了著名的“最速降線問(wèn)題”，促成了一個(gè)新的學(xué)科-變分法的誕生。約翰的兒子，丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）建議歐拉（Leonhard Euler，1707—1783）（他是約翰的學(xué)生）采用變分法求解雅各布提出的梁變形問(wèn)題，他在給歐拉的一封信里說(shuō)道[2]：

由于歐拉沒有考慮小變形，因此分母上的y′消不掉，致使方程（9）非常復(fù)雜。歐拉采用級(jí)數(shù)積分求解，得到當(dāng)撓度很小的時(shí)候，C可通過(guò)式（10）求解

式中，yl是懸臂梁的最大撓度。如果考慮梁為小變形，忽略分子中的 3yl，可以得到梁的最大撓度為，《材料力學(xué)》教材[4-5]給出的結(jié)果為，可見歐拉的結(jié)果中，系數(shù)C就是抗彎剛度EI，歐拉把C稱為“絕對(duì)彈性”，認(rèn)為它是與材料的彈性性能以及梁截面形狀有關(guān)的量。這里可以看出，當(dāng)我們希望測(cè)試得到某種材料的彈性模量時(shí)，由于所制備的試樣一定具有某種幾何特征，如果不能剝離試樣的幾何特征，就永遠(yuǎn)不可能得到材料的彈性模量，這是提出彈性模量概念的主要困難。

除了研究梁變形中涉及到彈性模量外，在物體振動(dòng)中，許多科學(xué)家也涉及到了彈性模量。1748 年，意大利科學(xué)家里卡蒂(Giordano Riccati,1709—1790)認(rèn)為[6]：物體的彈性可以從它的振動(dòng)頻率推導(dǎo)出來(lái)。1782 年，他利用彎曲振動(dòng)測(cè)定了鋼相對(duì)于黃銅的彈性模量，這被認(rèn)為是測(cè)定彈性模量的第一個(gè)實(shí)驗(yàn)，他得到的結(jié)果為[7-8]

相對(duì)彈性模量巧妙地避免了試樣幾何特征的影響，從而得到了材料的彈性屬性。不過(guò)里卡蒂仍然沒有給出彈性模量的概念，只是將其稱為彈性性能（elasticities）。也有文獻(xiàn)提到，歐拉在1727 年的一篇文章中，給出了應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系[1]，其形式為σ=Eε，但缺少進(jìn)一步的詳細(xì)說(shuō)明，仍需要做進(jìn)一步的考證。

2 托馬斯·楊的工作

托馬斯·楊（Thomas Young，1773—1829）是英國(guó)著名的博物學(xué)家和科學(xué)家，21 歲就被選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。他在光學(xué)（雙縫干涉）、工程學(xué)（彈性模量）、生理學(xué)（視覺）、埃及學(xué)（破譯羅塞塔石碑和象形文字）等多個(gè)領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，被當(dāng)代英國(guó)傳記作家安德魯·羅賓遜（Andrew Robinson，1957—）稱為世界上最后一個(gè)無(wú)所不知的人。1801 年，他被任命為皇家學(xué)院的自然哲學(xué)教授，1801—1802 兩年時(shí)間內(nèi)，楊共開設(shè)了91 場(chǎng)講座，幾乎涵蓋了當(dāng)時(shí)所有的已知學(xué)科，他的講稿于1807 年被整理為《自然哲學(xué)和機(jī)械藝術(shù)講座》（A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts），楊氏模量的提出也被包含在其中。他這樣給出彈性模量的概念[9]：

“我們可以用同一物質(zhì)的某一列的重量來(lái)表示任何物質(zhì)的彈性，可以將其命名為其彈性模量(modulus of elasticity)，其重量是這樣的，任何物質(zhì)的增加都會(huì)使它以同樣的比例增加，因?yàn)樵黾拥闹亓繒?huì)使相同直徑的物質(zhì)的一部分因壓力而縮短。（We may express the elasticity of any substance by the weight of a certain column of the same substance,which may be denominated the modulus of its elasticity,and of which the weight is such,that any addition to it would increase it in the same proportion,as the weight added would shorten,by its pressure,a portion of the substance of equal diameter.）”

托馬斯·楊提供了兩種描述材料彈性模量的方法[10]。第一種描述是彈性模量的重量（the weight of modulus of elascity），假如有100 英寸長(zhǎng)的桿被重1000 鎊的重物壓縮時(shí)縮短1 英寸，則稱該桿彈性模量的重量為100 000 鎊。如果用今天的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，100 英寸的桿縮短1 英寸，相當(dāng)于應(yīng)變?yōu)?.01，如果1000 鎊表示重力，可見模量的重量可由重力除以應(yīng)變得到，即

在上述定義中，他所說(shuō)的“某一列的重量”應(yīng)該類似于如今我們稱的材料中的“纖維”，這樣就消除了利用壓縮試樣確定彈性模量時(shí)試樣面積的影響?，F(xiàn)在彈性模量的單位“帕斯卡”是1971年第14 屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)通過(guò)的，因此彈性模量的重量實(shí)際上并不是重量，它的單位是“鎊/平方英寸”，這在英國(guó)工程師Thomas Tredgold（1788—1829）所著的A Practical Essay on the Strength of Cast Iron,etc中也可以看到。另一種描述為彈性模量的高度（the height of modulus of elasticity），并給出了一系列加載條件下的彈性模量高度的計(jì)算方法[11]。

可以看出，在應(yīng)力、應(yīng)變等基本概念還不十分清晰時(shí)，托馬斯·楊定義的彈性模量在今天理解起來(lái)相當(dāng)晦澀。正如另一位托馬斯·楊的傳記作者亞歷克斯·伍德(Alex Wood,1879—1950)指出的那樣：“這個(gè)定義是晦澀難懂的”。瑞利勛爵(Lord Rayleigh,1842—1919)是19 世紀(jì)物理學(xué)的巨人之一，他經(jīng)常在他的科學(xué)論文中向楊致敬，同時(shí)也批評(píng)他的作品過(guò)于簡(jiǎn)潔而晦澀[9]。但托馬斯·楊清晰地給出了彈性模量的概念，并指出這是一種不依賴于試樣幾何尺寸的固有性質(zhì)，這與之前工程師們利用胡克定律把結(jié)構(gòu)剛度與彈性模量混為一談?dòng)兄举|(zhì)的區(qū)別，因此，人們也把彈性模量稱為楊氏模量（Young’s modulus），以紀(jì)念他在物體彈性變形方面的貢獻(xiàn)。此外，托馬斯·楊還指出了這一模量既適用于棒的壓縮也適用于桿的延伸，并且還適用于液體。他還特別強(qiáng)調(diào)了以下事實(shí)：胡克定律僅在物體保持彈性變形時(shí)適用，此后發(fā)生塑性變形就不再適用了。不過(guò)，我們今天所學(xué)的彈性模量的概念并不是托馬斯·楊給出的，而是由法國(guó)力學(xué)家納維（Claude-Louis Navier，1785—1836）于1826 年提出的。

3 納維的工作

納維完善彈性模量的概念，得益于19 世紀(jì)人們對(duì)應(yīng)力、應(yīng)變概念的認(rèn)知成熟，以及材料測(cè)試實(shí)驗(yàn)力學(xué)的充分發(fā)展。早在1705 年，雅克布·伯努利給出了材料纖維在拉伸作用下的變形描述，即每單位面積上的力（應(yīng)力）是每單位長(zhǎng)度變形量（應(yīng)變）的函數(shù)。歐拉于1752 年借用流體壓強(qiáng)的概念來(lái)理解固體材料內(nèi)部壓力，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕朗（Antoine Parent，1666—1716）于1713 年提出了剪應(yīng)力的概念[1]。1822 年，柯西（Augustin Cauchy，1789—1857）在給法國(guó)科學(xué)院的一篇論文中首次以概括的形式提出了材料內(nèi)部某一點(diǎn)的彈性條件，本質(zhì)上就是應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系。柯西認(rèn)為，應(yīng)力不僅可以用來(lái)預(yù)測(cè)材料的斷裂強(qiáng)度，同時(shí)還可以用于描述固體內(nèi)部任何一點(diǎn)的狀態(tài)（一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)），換句話說(shuō)，固體中的“壓力”很像液體或氣體中的“壓力”。它可以衡量構(gòu)成材料的原子和分子在外力作用下被擠在一起或被拉開的程度[12]?？挛鲗⒁稽c(diǎn)處的應(yīng)力屬性由一組3×3 的數(shù)組組成，可轉(zhuǎn)換為張量，并發(fā)展了各向同性固體的線彈性響應(yīng)理論。作為他在這一領(lǐng)域工作的一部分，柯西還引入了用位移導(dǎo)數(shù)表示應(yīng)變分量（3 個(gè)拉伸分量和3 個(gè)剪切分量）的幾何方程，由此明確了應(yīng)力和應(yīng)變的概念。

在19 世紀(jì)的前幾十年，大量的工程應(yīng)用論文得到了廣泛的傳播。德國(guó)實(shí)驗(yàn)力學(xué)家Franz Joseph Ritter von Gerstner（1756—1832）設(shè)計(jì)出了可同時(shí)測(cè)定力與變形曲線的實(shí)驗(yàn)裝置[13]，并對(duì)琴弦在受拉狀態(tài)下的“力–變形”曲線進(jìn)行了研究，如圖2 所示（該圖由Kurrer 依據(jù)Gerstner 的結(jié)果繪制），該結(jié)果說(shuō)明Gerstner 測(cè)定的軋制鋼的彈性模量為（換算為國(guó)際單位制）

圖2 鑄鐵拉伸時(shí)的力–變形曲線[14]

Gerstner 采用的單位為“Lower Austrian pounds per square inch”，換算成國(guó)際單位制，需要乘以系數(shù)0.0081，最終得到結(jié)果約為195 GPa，我們現(xiàn)在一般用210 GPa，大約小了7%。不過(guò)Gerstner 自己稱彈性模量為彈性力比率（elastic force ratio）。

這一時(shí)期，人們對(duì)應(yīng)力、應(yīng)變的概念逐漸清晰，相關(guān)實(shí)驗(yàn)成果也日益豐富，即將揭開彈性模量的面紗，而完成這一工作的正是法國(guó)著名力學(xué)家納維。1826 年，納維在分析梁變形及其強(qiáng)度時(shí)，區(qū)分了彈性模量（E）和截面慣性矩（I），對(duì)于矩形截面梁給出了抗彎剛度（納維用ε表示抗彎剛度）[15]

這里，納維采用u,v表示x,y軸，b和c分別表示矩形梁截面的寬度和高度。式（12）所描述的結(jié)果就是現(xiàn)在材料力學(xué)中講解的結(jié)果。其中，E為彈性模量，為矩形截面梁的截面慣性矩。要特別強(qiáng)調(diào)的是，納維將彈性模量E視為物質(zhì)常數(shù)，僅與材料有關(guān)而與結(jié)構(gòu)的幾何形狀無(wú)關(guān)（幾何部分用截面慣性矩來(lái)體現(xiàn)），同時(shí)納維還給出了彈性模量的現(xiàn)代定義，即

在納維的結(jié)構(gòu)理論中，彈性模量占有極為重要的地位，可依據(jù)彈性模量來(lái)概括材料的力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)。例如納維改變了實(shí)驗(yàn)測(cè)試方案，經(jīng)過(guò)大量的鍛造鐵實(shí)驗(yàn)，采用平均值作為材料的彈性模量，得到彈性模量為200 GPa 的結(jié)果。彈性模量終于走出了重重霧霾，在力學(xué)研究以及各種工程建設(shè)中發(fā)揮出重要作用。