差異沉降下的拱形門徑向裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解研究1)

湯軼豐顧敏明 ,2) 程洪福 胡伏原

*(蘇州科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江蘇蘇州 215009)

?(蘇州市拙政園管理處（蘇州園林博物館），江蘇蘇州 215009)

拱形門是常見的石質(zhì)構(gòu)筑物結(jié)構(gòu)，而石灰?guī)r作為一種脆性石質(zhì)，其結(jié)構(gòu)中常分布著較多的節(jié)理與裂隙。由于城市地鐵建設(shè)與地下停車場的開挖，土體與石質(zhì)拱形門之間會發(fā)生一定的相對位移，而相對位移會帶來兩個(gè)拱腳之間的不均勻沉降，從而導(dǎo)致石質(zhì)拱形門整體應(yīng)力重分布。內(nèi)部劣化區(qū)域在重力場和外載荷應(yīng)力場作用下，會促使裂紋萌生、發(fā)展和整體穿透，最終可能導(dǎo)致拱形門的坍塌。而研究裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子是探究裂紋狀態(tài)及破壞機(jī)理的重要手段，能為裂紋的起裂擴(kuò)展研究提供重要參考，具有十分重要的意義。

目前對拱形構(gòu)件的裂紋研究主要為內(nèi)部弧面上所分布的裂紋。Li 等[1]指出拱形圍巖裂縫的存在對隧道在動力擾動下的穩(wěn)定性有顯著影響，不正確的挖掘會誘發(fā)裂隙等次生災(zāi)害。周磊等[2]研究了拱形隧道周邊裂紋的起裂、擴(kuò)展機(jī)制及隧道圍巖在圍壓載荷作用下的破壞形式。劉邦等[3]采用帶有拱肩裂紋的巖石隧道模型進(jìn)行了爆炸試驗(yàn)，分析了隧道拱肩Ⅰ/Ⅱ復(fù)合型裂紋在爆炸載荷下的起裂情況及擴(kuò)展規(guī)律，而Torres 等[4]對教堂磚石拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)支撐處的差異沉降是對拱形砌體結(jié)構(gòu)可用性和穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響的主要因素，可能導(dǎo)致拱形結(jié)構(gòu)的變形、開裂甚至坍塌等。因此，評估差異沉降對石質(zhì)拱形結(jié)構(gòu)的相關(guān)作用情況，是石質(zhì)拱形結(jié)構(gòu)裂紋狀態(tài)的主要關(guān)注點(diǎn)之一。

差異沉降作為構(gòu)筑物在使用期限內(nèi)常見的外力因素，往往對構(gòu)筑物的安全性有著十分嚴(yán)重的損害。馮玉林等[5]建立了連續(xù)梁橋邊墩精細(xì)化仿真模型，探明了邊墩不均勻沉降差與軌道幾何形位改變的軌道層間變形協(xié)調(diào)機(jī)理。王熠琛等[6]針對建筑沉降監(jiān)測分析的不足，提出了X–R統(tǒng)計(jì)控制圖法，結(jié)合盾構(gòu)施工鄰近古建筑項(xiàng)目，驗(yàn)證了該方法對沉降閾值控制能力的可行性。汪益敏等[7]通過改變軟土地基差異沉降等模型試驗(yàn)，探究了載荷作用下軟土地基拼接拓寬路堤受力和變形特征。文新鈞等[8]開展了拱腳沉降下3D 打印拱的失穩(wěn)研究，基于最小勢能原理推導(dǎo)了失穩(wěn)臨界載荷的解析表達(dá)式，并分析了拱腳沉降量對拱失穩(wěn)臨界載荷的影響。范錚燁等[9]通過構(gòu)建虛擬柱狀等效模型，采用分層總合方法，推導(dǎo)了樁基軸向變形及樁底沉降位移的理論解，建立了適用于任意層狀異性地層及載荷條件下樁基沉降位移的計(jì)算方法。蘭慶男等[10]嘗試結(jié)合Winkler 彈性地基梁理論與Boussinesq 解運(yùn)用于隧道豎向位移的公式計(jì)算，為縱向穿越軟硬突變土層隧道設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)?？梢?，目前對于差異沉降下的裂紋狀態(tài)研究較少，特別是對差異沉降下裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化情況。

求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法有三大類，分別為解析法、數(shù)值法和實(shí)測法。對于裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析法，多位學(xué)者在此方面進(jìn)行了大量研究。劉建等[11-12]根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論推導(dǎo)了各種接觸載荷下的應(yīng)力解，并基于權(quán)函數(shù)法得出了斷裂參數(shù)解析解。Hello[13]將Williams 級數(shù)與Ⅰ型、Ⅱ型的擴(kuò)展Westergaard–Sanford 復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，對二維裂紋尖端附近的應(yīng)力場表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)。Bahrami 等[14]基于Muskhelishvili 方法計(jì)算了鈍型V 形缺口的I 型漸近應(yīng)力場和位移場，并給出了考慮高階項(xiàng)的解析解。周博等[15]針對平面裂紋問題，闡述了擴(kuò)展有限元法的單元位移模式等特性，并基于最小二乘法建立了應(yīng)力強(qiáng)度因子位移外推法的計(jì)算公式。趙娜等[16]對含單裂隙巖體蠕變裂紋擴(kuò)展規(guī)律進(jìn)行了分析，推導(dǎo)了巖石試樣蠕變速率與變量之間的關(guān)系公式，并在傾角與長度變量下進(jìn)行數(shù)值模擬，得出了在傾角為30°時(shí)蠕變速率最大的結(jié)論。董卓等[17]利用權(quán)函數(shù)法對巴西盤預(yù)制裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行解析解的推導(dǎo)，結(jié)果表明圍壓和徑向載荷所帶來的應(yīng)力變化對兩種應(yīng)力強(qiáng)度因子都具有顯著影響。樊俊鈴[18]建立了用于計(jì)算共線裂紋和中心裂紋張開位移的近似公式，并利用權(quán)函數(shù)法建立帶中心裂紋的葉片應(yīng)力強(qiáng)度因子與其他因素的關(guān)系。張道明等[19]采用彈性斷裂力學(xué)Westergaard 法，給出了Ⅰ型裂紋應(yīng)力場的解析函數(shù)，并建立了裂紋尖端應(yīng)力場模型。

綜上可知，部分學(xué)者研究了拱形結(jié)構(gòu)在差異沉降下的結(jié)構(gòu)受力與變形特征，但未對其作用下的裂紋狀態(tài)進(jìn)一步分析。同時(shí)，另一部分學(xué)者對裂紋的斷裂狀態(tài)進(jìn)行了理論公式的推導(dǎo)，但未結(jié)合差異沉降作用以及整體結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行關(guān)聯(lián)性的解析解推導(dǎo)。本文主要針對拱形門內(nèi)側(cè)徑向裂紋，在差異沉降作用下其Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子難以公式化表達(dá)的問題進(jìn)行研究。本文解析解公式推導(dǎo)方法包括以下三個(gè)部分：結(jié)合拱形門結(jié)構(gòu)對稱特性和位移因素，構(gòu)建基本體系，通過力法計(jì)算式對拱形門半圓拱頂區(qū)域的內(nèi)力情況進(jìn)行計(jì)算；利用截面法對拱頂進(jìn)行截面彎曲正應(yīng)力與截面切應(yīng)力的分布表達(dá)；在此基礎(chǔ)上，將由裂紋深長比、深度比所計(jì)算出的權(quán)函數(shù)和裂紋截面應(yīng)力分布的乘積進(jìn)行積分，即得到裂紋Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解。通過ANSYS 數(shù)值模擬，將不同差異沉降值與徑向裂紋傾角對Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響與解析解進(jìn)行對比，驗(yàn)證了所提解析解的正確性。

1 差異沉降作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解

拱形門由半圓拱頂與兩個(gè)門柱組成，由于兩側(cè)柱底地基不均勻沉降的問題，兩個(gè)門柱底部易發(fā)生差異沉降，導(dǎo)致拱形門內(nèi)部應(yīng)力重分布。在差異沉降作用下，拱頂?shù)膹较蛄鸭y應(yīng)力場會發(fā)生改變，從而導(dǎo)致裂紋發(fā)生開裂、擴(kuò)展等現(xiàn)象。如圖1 所示，本文研究的拱形門裂紋分布在拱頂區(qū)域，H與R分別為門柱高度與半圓拱頂半徑，Δd為兩拱腳在差異沉降下的差值(以下簡稱為“差異沉降值”)，φ為裂紋與拱頂圓弧圓心連線與水平面所成傾角(φ∈[0°,90°]，以下簡稱為“傾角”)。

圖1 含徑向裂紋的拱形門Fig.1 An arched door with a straight crack

本文首先利用力法求出內(nèi)力分布情況，再利用截面法得到裂紋截面應(yīng)力分布，最后通過權(quán)函數(shù)法對Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解進(jìn)行推導(dǎo)，將差異沉降值、徑向裂紋傾角與裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立，其流程框架如圖2 所示。

圖2 裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算流程圖Fig.2 Flow chart of crack stress intensity factor (SIF) calculation

1.1 力法分析內(nèi)力分布

將拱形門簡化為桿件體，兩拱腳處視為固定支撐，即可知拱形門為超靜定結(jié)構(gòu)體，可以利用力法來計(jì)算其內(nèi)力。在沒有任何載荷作用的情況下，差異沉降即可視為支座移動，作為產(chǎn)生內(nèi)力的因素。根據(jù)拱形門結(jié)構(gòu)的對稱性，支座位移可以分解為正對稱與反對稱兩種狀態(tài)的疊加，如圖3所示。其中，正對稱結(jié)構(gòu)支座位移情況為剛性位移，結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，因此只需計(jì)算反對稱結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力。

圖3 正對稱與反對稱的疊加示意圖Fig.3 Superposition diagram of positive symmetry and negative symmetric

根據(jù)半結(jié)構(gòu)對稱原理，要使半結(jié)構(gòu)能等效代替原反對稱結(jié)構(gòu)的受力和變形狀態(tài)，關(guān)鍵在于被截開處按照原反對稱結(jié)構(gòu)上的位移條件及相應(yīng)的靜力條件設(shè)置對應(yīng)的支撐。原結(jié)構(gòu)受垂直向下的支座位移影響，因此半結(jié)構(gòu)需添加對應(yīng)的位移條件，如圖4(a)所示。由于反對稱結(jié)構(gòu)為奇數(shù)跨，屬于一次超靜定結(jié)構(gòu)，截開的桿件截面添加一個(gè)可動鉸支座作為基本體系，如圖4(b)所示。力法計(jì)算式為

圖4 半邊結(jié)構(gòu)與基本體系Fig.4 Semicircular structure and basic system

首先，根據(jù)一端固定一端鉸支座的情況，求柔度系數(shù)δ11可得

式中，E為彈性模量，I為慣性矩。已知Δ1c=Δd/2，將式（2）代入式（1），可得

以半圓拱頂?shù)膱A心為中心，建立極坐標(biāo)系，在該極坐標(biāo)系下，拱頂彎矩分布為

在該極坐標(biāo)下，拱頂剪力分布為

1.2 截面法分析應(yīng)力分布

由于拱形門有一定截面面積，而同一截面上的應(yīng)力并不一致，需要利用截面法對截面上的應(yīng)力分布做進(jìn)一步分析，截面示意圖如圖5 所示。

圖5 拱形門截面Fig.5 Arched door section

由截面彎曲正應(yīng)力公式σ=My/I可知（公式中y在本文中用x表示），正應(yīng)力與該截面彎矩M成正比，與慣性矩I成反比，正應(yīng)力沿截面高度成線性分布，因此截面正應(yīng)力分布為

將式（3）代入式（6），可得

由截面切應(yīng)力公式τ=/(Ib) 可 知（在 本文中用b(T2/4-x2)/2 表示），切應(yīng)力與截面剪力呈二次拋物線，其分布規(guī)律為

將式（3）代入式（8），可得

1.3 權(quán)函數(shù)法分析應(yīng)力強(qiáng)度因子

權(quán)函數(shù)法是一種高效、可靠的方法，被用來求解復(fù)雜情況下應(yīng)力場中裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子。只需權(quán)重函數(shù)在理論上確定，再將權(quán)重函數(shù)和裂紋表面應(yīng)力分布的乘積進(jìn)行積分，就可以計(jì)算出各種應(yīng)力載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。根據(jù)權(quán)函數(shù)法理論，裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式如式（10）和式（11）所示

式中，hI(u,a) 和hII(u,a) 分別為Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子與Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的權(quán)函數(shù)，表示單位集中力載荷作用于u點(diǎn)處后所誘導(dǎo)的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，u為應(yīng)力作用點(diǎn)到裂紋開口處中心點(diǎn)的距離，a為裂紋開口處中心點(diǎn)到裂紋尖端的深度。對于沿板厚單向變化的應(yīng)力分布情況，文獻(xiàn)[20]指出，在一維情形與二維情形下的裂紋，權(quán)函數(shù)的形式可用式（12）來表示

對于切應(yīng)力沿裂紋方向單向變化的情況，文獻(xiàn)[22]也指出，權(quán)函數(shù)可由式（13）來表示

本文中將u表示為T/2-x，并將式（7）和式（12）代入式（10）中，將式（9）和式（13）代入式（11），可得拱形門拱頂徑向裂紋在差異沉降作用下裂紋Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解分別如式（14）和式（15）所示

為對工程實(shí)踐進(jìn)行指導(dǎo)，利用泰勒展開式對式（14）和式（15）進(jìn)行簡化，簡化后解析解為

式（16）和式（17）近似公式簡化了積分項(xiàng)冪次，減少了積分項(xiàng)數(shù)，有效降低了運(yùn)算量，可用于工程實(shí)踐指導(dǎo)。

1.4 解析解參數(shù)化計(jì)算

將形狀參數(shù)（厚度T，柱高H，半圓拱頂半徑R等）；材料參數(shù)（彈性模量E）；權(quán)函數(shù)系數(shù)（）以及不同情況下的差異沉降值與傾角值代入式（14）和式（15），計(jì)算其對應(yīng)定積分，即可得出Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KI與Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KII的簡化解析式。其中Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KI的簡化形式為

式中，C1與C2分別為代入?yún)?shù)后的常系數(shù)。由式（18）和式（19）可知，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KI與傾角呈反比，與差異沉降值成正比。

Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KII的簡化形式為

式中，C3與C4分別為代入?yún)?shù)后的常系數(shù)。由式（20）和式（21）可知，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KII與傾角呈正比，與差異沉降值成正比。

2 拱形門ANSYS 數(shù)值模擬仿真

為了驗(yàn)證解析解公式的正確有效性，本文采用ANSYS 有限元軟件進(jìn)行拱頂徑向裂紋仿真實(shí)驗(yàn)，利用其自帶的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算模塊模擬數(shù)值結(jié)果。

本文將拱形門模型形狀參數(shù)設(shè)置為：圓拱半徑R為600 mm，T為200 mm，b為200 mm。拱形門材質(zhì)設(shè)為灰?guī)r，根據(jù)文獻(xiàn)[23]將灰?guī)r的彈性模量E設(shè)置為32 845 MPa，泊松比υ為0.307 7。含裂紋有限元模型、載荷和約束如圖6 所示。模型約束施加于左拱腳底面，為固定支撐，模型位移荷載施加于右拱腳底面，方向?yàn)榇怪毕蛳隆?/p>

圖6 含裂紋結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.6 Finite element model of cracked structure

在ANSYS 仿真軟件中，拱形門結(jié)構(gòu)建模采用Solid187 單元，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為23 842 個(gè)，單元數(shù)為13 663 個(gè)，如圖7(a)所示。通過“Semi-elliptic crack”模塊預(yù)埋半橢圓徑向裂紋（裂紋大小選取兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別為：（1）半橢圓裂紋長軸c為45 mm，短軸a為20 mm，裂紋深長比為0.44，深度比為0.1；（2）半橢圓長軸c為40 mm，短軸a為15 mm，裂紋深長比為0.375，深度比為0.075。裂紋面方向與拱形截面方向共面，并設(shè)置斷裂模式，再運(yùn)用ANSYS 提供的1/4 奇異單元生成裂紋尖端網(wǎng)格，并定義開裂面與開裂前緣，如圖7(b)和圖7(c)所示。在求解方案斷裂工具中選擇“SIFS 結(jié)果”模塊，并插入其中的“KI”和“KII”子模塊，在經(jīng)過數(shù)值模擬仿真之后，即可得到Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果，應(yīng)力強(qiáng)度因子云圖如圖7(d)所示。

圖7 拱形門網(wǎng)格劃分Fig.7 Meshing of arched door

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證解析解推導(dǎo)的正確性，本文將解析解結(jié)果與ANSYS 仿真結(jié)果進(jìn)行對比，以分析差異沉降值與傾角對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

3.1 差異沉降值 Δ d 與傾角 φ 對 KI 的影響分析

圖8 和圖9 分別 為裂紋深 長比a/c為0.44，a/T深度比為0.1 與裂紋深長比a/c為0.375，深度比a/T為0.075 時(shí)，在不同差異沉降值與傾角下利用式（14）所計(jì)算的Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解與在ANSYS 軟件中數(shù)值模擬解的對比?？芍ス靶伍T形狀因素外，差異沉降值與裂紋傾角均會對Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子產(chǎn)生影響。在差異沉降作用下，拱形門半圓結(jié)構(gòu)受到彎矩作用，正應(yīng)力沿中性軸對稱分布，截面裂紋處所受正應(yīng)力較大，發(fā)生Ⅰ型張拉開裂。當(dāng)傾角為定值時(shí)，KI隨差異沉降值增大而逐漸增大；當(dāng)差異沉降值為定值時(shí)，KI隨傾角φ的增大而減小。ANSYS數(shù)值模擬也顯示KI隨差異沉降值增大而逐漸增大、隨傾角φ的增大而減小的趨勢，與本文理論解計(jì)算結(jié)果趨勢一致。圖10 為在ANSYS 數(shù)值模擬中差異沉降值與傾角對KI的影響程度，可見差異沉降值對KI的影響程度較大，傾角對KI的影響程度較小。

圖8 不同傾角下差異沉降值對 KI 的影響趨勢（a/c=0.44，a/T=0.1）Fig.8 Influence of differential settlement on KI under different dip angles（a/c=0.44，a/T=0.1）

圖9 不同傾角下差異沉降值對 KI 的影響趨勢（a/c=0.375，a/T=0.075 ）Fig.9 Influence of differential settlement on KI under different dip angles（a/c=0.375，a/T=0.075 ）

圖10 差異沉降值與傾角對 KI 的影響三維圖Fig.10 3D diagram of the effect of difference settlement and dip angle on KI

3.2 差異沉降值 Δ d 與傾角 φ 對 KII 的影響分析

圖11 和圖12 分別為裂紋深長比a/c為0.44，a/T深度比為0.1 與裂紋深長比a/c為0.375，深度比a/T為0.075 時(shí)，在不同差異沉降值與傾角下利用式（15）所計(jì)算的Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解與在ANSYS 軟件中數(shù)值模擬解的對比。由不同差異沉降值下Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解與有限元數(shù)值模擬解的對比可知，除去拱形門形狀因素外，差異沉降值與裂紋傾角都會對Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子造成影響。在差異沉降作用下，拱形門結(jié)構(gòu)也同樣存在剪力，剪力產(chǎn)生的切應(yīng)力沿截面方向呈二次分布，從而導(dǎo)致Ⅱ型張拉開裂現(xiàn)象。在本文計(jì)算的解析解中，當(dāng)傾角為定值時(shí)，差異沉降值與KII為線性關(guān)系；當(dāng)差異沉降值為定值時(shí)，傾角與KII也為線性關(guān)系，這與ANSYS數(shù)值模擬結(jié)果一致。圖13 為在ANSYS 數(shù)值模擬中差異沉降值與傾角對KII的影響程度，可見差異沉降值與傾角對KII的影響程度都比較顯著。

圖11 不同傾角下差異沉降值對 KII 的影響趨勢（a/c=0.44，a/T=0.1 ）Fig.11 Influence of differential settlement on KII under different dip angles（a/c=0.44，a/T=0.1 ）

圖12 不同傾角下差異沉降值對 KII 的影響趨勢（ a/c = 0:375 ， a/T = 0:075 ）Fig. 12 Influence of differential settlement on KII under different dip angles（ a/c = 0:375 ， a/T = 0:075 ）

圖13 差異沉降值與傾角對 的影響三維圖KIIFig.13 3D diagram of the effect of differential settlement and dip angle on KII

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)了在差異沉降作用下，考慮到截面應(yīng)力分布的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解計(jì)算方法，并將解析解與有限元數(shù)值解對比，得出以下結(jié)論。

（1）差異沉降作用與裂紋傾角對Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子都有著顯著影響。隨著差異沉降值增大，裂紋截面應(yīng)力增大，導(dǎo)致Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子都增大。而傾角φ的變化對Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子產(chǎn)生不同影響：傾角與Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子成反比，與Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子成正比。

（2）傾角φ=0°時(shí)，Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KI值最大，最易發(fā)生Ⅰ型張拉開裂現(xiàn)象；傾角φ=90°時(shí)，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KII值最大，最易發(fā)生Ⅱ型滑移開裂現(xiàn)象。

（3）本文利用應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解與ANSYS數(shù)值仿真相互驗(yàn)證，證明了在差異沉降的工況下，拱形門徑向裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律具備普遍性。