小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“比較”運(yùn)用研究

周建東

比較是通過將兩類具有相同或相似屬性的事物進(jìn)行對比，進(jìn)而分析事物的異同，認(rèn)識規(guī)律。運(yùn)用比較的方法，可以防止知識之間的相互干擾，把表面形式相似、容易彼此混淆的知識區(qū)分清楚，加深理解[1]。烏申斯基說過：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)”[2]。比較是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常用方式和手段之一，它能激起學(xué)生主動地、深入地、有質(zhì)量地、有指向地研習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維由表及里、由淺入深。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要敏銳把握合適時(shí)機(jī)，引領(lǐng)學(xué)生展開比較，讓學(xué)生在比較中辯明說清、辨析明義，把握本質(zhì)、入腦入心。

一、在知識生長之處比較——發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，內(nèi)驅(qū)引入

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也指出，“要關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)?！盵3]教師要在知識生長之處引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)比較，讓學(xué)生在強(qiáng)烈的內(nèi)心驅(qū)動下發(fā)現(xiàn)新舊知識存在的關(guān)聯(lián)，自然綻放新知。如筆者在教學(xué)蘇教版五年級上冊“認(rèn)識公頃”時(shí)，是這樣來展開比較的：

知識點(diǎn)1：我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些面積單位，你能從小到大有序地說說嗎？

生：……

知識點(diǎn)2：這些面積單位的大小是如何規(guī)定的？

生1：邊長是1 厘米的正方形，面積是1 平方厘米；

生2：邊長是1 分米的正方形，面積是1 平方分米；

生3：邊長是1 米的正方形，面積是1 平方米。

知識點(diǎn)3：觀察平方厘米、平方分米、平方米這三個(gè)面積單位，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生4：面積單位通常都是以一個(gè)正方形的大小來規(guī)定的；

生5：面積單位跟正方形的邊長有關(guān)，邊長越大面積單位越大；

生6：正方形的長度都是10 倍的關(guān)系在變大；

生7：我發(fā)現(xiàn)，邊長是多少長度的正方形，面積單位就是1 平方多少。

知識點(diǎn)4：你能根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，自己創(chuàng)造一些更大的面積單位嗎？出示圖1：

圖1

邊長是（ ）的正方形，面積是1（ ）。

學(xué)生通過比較，思維頓開，在1 平方米的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出了更大的面積單位：“邊長是10 米的正方形，面積是1 平方十米”“邊長是100 米的正方形，面積是1 平方百米”“邊長是1000 米的正方形，面積是1 平方千米……”，此時(shí)，教師指出：“1 平方百米就是1 公頃，公頃就是今天要學(xué)習(xí)的新的面積單位?！?/p>

上述教學(xué)中，教師緊緊抓住知識生長之處讓學(xué)生比較發(fā)現(xiàn)之間的脈絡(luò)延展，讓學(xué)生自己創(chuàng)造一些更大的面積單位，學(xué)生在強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望的驅(qū)動下，自然引入新知“公頃”。

二、在分層探究之后比較——揭示規(guī)律，建立模型

教師要在學(xué)生探究的各個(gè)環(huán)節(jié)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生比一比、想一想、說一說，讓知識在比較中破繭而出。如教學(xué)蘇教版三年級下冊“求整體的幾分之一”，筆者是這樣來逐步深入組織學(xué)生展開比較的：

第一層次：改變數(shù)量之后的比較。探究“一籃蘑菇共6 個(gè)，1/3 是黑蘑菇，黑蘑菇有多少個(gè)？”，從“這籃蘑菇的1/3 是黑蘑菇”，想到把這籃蘑菇平均分成3 份，黑蘑菇就是1 份，由此產(chǎn)生用圓片代替蘑菇來分一分得到結(jié)果，或者用整數(shù)除法“6 ÷ 3”算出一份是幾個(gè)的想法。接著把一籃蘑菇的個(gè)數(shù)改為9 個(gè)，求黑蘑菇的個(gè)數(shù)。教師在學(xué)生獨(dú)立思考、實(shí)物操作、分?jǐn)?shù)理解探究解決問題的基礎(chǔ)上出示圖2 和圖3：

圖2

圖3

同樣是這籃蘑菇的1/3，為什么每份黑蘑菇的個(gè)數(shù)不相同呢？此時(shí)，學(xué)生的思維就聚焦到這籃蘑菇的總個(gè)數(shù)上，求黑蘑菇的個(gè)數(shù)也就是平均分為若干份后求每份是多少個(gè)，每份的個(gè)數(shù)與總個(gè)數(shù)有關(guān)。雖然兩次都是求這籃蘑菇的1/3 是多少個(gè)，但由于組成整體的個(gè)數(shù)不同，所以整體的1/3 的個(gè)數(shù)不同。

第二層次：一份數(shù)的比較。此時(shí)，教師又出示圖4 和圖5：

圖4

圖5

現(xiàn)在這籃蘑菇的總個(gè)數(shù)都是6 個(gè)，為什么每份黑蘑菇的個(gè)數(shù)不一樣呢？學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)自然而然就指向平均分的份數(shù)即題中的分?jǐn)?shù)，雖然整體包含的蘑菇個(gè)數(shù)相同，但把整體平均分的份數(shù)不同，所以每份的個(gè)數(shù)就不同。

第三層次：整體比較。將上述解決的問題的過程同時(shí)用圖6、圖7、圖8出示：

圖6

圖7

圖8

圖9

教師總結(jié)：都是求的什么？你有什么體會？學(xué)生在比較中概括得出了問題的共同點(diǎn)：都是求一個(gè)整體的幾分之一是多少，體會到解決這類問題要抓住題中整體包含的數(shù)量和分?jǐn)?shù)，關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)的意義，把整體的數(shù)量平均分成幾份，數(shù)量關(guān)系也就顯而易見了。

上述教學(xué)中，在分層探究之后，學(xué)生有目的、有針對性地進(jìn)行了三次比較，在比較中發(fā)現(xiàn)求整體的幾分之一的規(guī)律，主動而又深刻地建模，為后續(xù)求整體的幾分之幾打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、在變式遞進(jìn)之中比較——體驗(yàn)過程，感悟深化

變式可以加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能和思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變”中“不變”的本質(zhì)，同時(shí)還可以讓學(xué)生探索“不變”中的“變”的規(guī)律，讓學(xué)生在變式中觸摸思維的脈搏[4]。如蘇教版六年級上冊“解決問題的策略”，在學(xué)生完成練習(xí)題“1 張桌子和4 把椅子的總價(jià)是2700 元，椅子的單價(jià)是桌子的1/5，桌子和椅子的單價(jià)各是多少？”后，抓住關(guān)鍵信息適時(shí)進(jìn)行了兩次變式比較：

變式一：“椅子的單價(jià)是桌子的1/5”還可以怎樣說？（椅子與桌子價(jià)格的比是1∶5、桌子的價(jià)格是椅子的5 倍。）換成這些說法后，什么變了？什么沒變？（表述兩種量關(guān)系的形式變了，但假設(shè)的依據(jù)不變、假設(shè)后的數(shù)量也不變。）

變式二：“1 張桌子和4 把椅子的總價(jià)是2700 元”變式為“王叔叔帶了3000 元，買了1 張桌子和4 把椅子后，還剩300 元”，怎么解決？“王叔叔帶了2400 元去買1 張桌子和4 把椅子，還差300 元”，又該怎么解決？這樣改編后，什么變了？什么沒變？（總量沒有變，數(shù)量關(guān)系不變。）上述變式比較中，緊扣假設(shè)的依據(jù)、假設(shè)的數(shù)量關(guān)系，將假設(shè)策略的運(yùn)用不斷向深處探尋。

教師要找準(zhǔn)脈絡(luò)、掐準(zhǔn)“穴位”，在變式中即時(shí)組織學(xué)生展開深入比較，讓學(xué)生在比較中明晰運(yùn)用假設(shè)策略解決實(shí)際問題的題型結(jié)構(gòu)，確定解題思路，感受假設(shè)的策略對于解決特定問題的價(jià)值，增強(qiáng)解決問題的策略意識，進(jìn)一步發(fā)展分析、綜合的推理能力。

四、在混淆出錯(cuò)之時(shí)比較——突出重點(diǎn)，指向本質(zhì)

對一些相似或相近的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生或是依葫蘆畫瓢照搬照用，或是審題不清分析草率，經(jīng)常會出現(xiàn)混淆。教師要在學(xué)生混淆出錯(cuò)之時(shí)，指引學(xué)生采用多種方法進(jìn)行比較，找到錯(cuò)誤癥結(jié)，規(guī)整思路，主動尋求正確的方法。如以蘇教版六年級上冊“列方程解稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”為例。筆者在教學(xué)中，有針對性地出示一組典型題“建造一座污水處理池實(shí)際投資比原計(jì)劃節(jié)約10%，1.節(jié)約了4.8 萬元，原計(jì)劃投資多少萬元？2.實(shí)際投資43.2 萬元，原計(jì)劃投資多少萬元？3.建造一座污水處理池實(shí)際投資是原計(jì)劃的90%，實(shí)際節(jié)約了4.8 萬元，原計(jì)劃投資多少萬元？”讓學(xué)生自主解答。在反饋交流中，對第一小題用“解：設(shè)原計(jì)劃投資x 元。x- 10%x= 4.8”。錯(cuò)誤方法解答的學(xué)生人數(shù)果然不少。此時(shí)，筆者讓學(xué)生先將兩小題仔細(xì)比較，再將第一和第三小題比較，可以讀一讀、圈一圈、畫一畫、說一說等，從題目本身和解題思路兩方面比較之后再來辨析下定論。學(xué)生用自己的方法進(jìn)行了兩次細(xì)致地比較，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的癥結(jié)在于沒有抓住題中的已知量理解意思，并根據(jù)題意從已知量出發(fā)分析等量關(guān)系，已知量表示的意思相同，但等量關(guān)系不一定相同。教師在學(xué)生比較交流反饋之時(shí)，相機(jī)出示圖示，從理解題意、畫線段圖、分析等量關(guān)系等方面比較。

上述教學(xué)中，教師著力于混淆出錯(cuò)處濃墨重彩引導(dǎo)學(xué)生用多種方法比較，在比較中突出重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，條分縷析、明白透徹，指向本質(zhì)、提升思維[3]。

五、在思維定式之際比較——豐富提升，融會貫通

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，知識遷移是一種重要的學(xué)習(xí)方法[4]。但也因?yàn)樾屡f知識的遷移，學(xué)生容易產(chǎn)生思維定式，對學(xué)習(xí)新知識產(chǎn)生零遷移甚至是負(fù)遷移，造成新盲點(diǎn)。如果沒有厘清這些新盲點(diǎn)，學(xué)生容易對新知識，甚至是對原本的舊知識產(chǎn)生模棱兩可的認(rèn)知。此時(shí)，教師如能在知識的新盲點(diǎn)上巧用比較策略，通過對比幫助學(xué)生掃清知識的盲點(diǎn)，將有助于他們建立起清晰的知識體系，為提高思維的靈活性奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)[5]。

如在教學(xué)蘇教版六年級上冊“比例尺”時(shí)，例題及隨后練習(xí)呈現(xiàn)的均是縮小比例尺，易于使學(xué)生造成思維定式，簡單地認(rèn)為，所有比例尺化簡后的前項(xiàng)都為“1”。于是在學(xué)完縮小比例尺后，筆者出示了“一個(gè)精密零件長2 毫米，把它繪在圖紙上長10 厘米，求這幅圖的比例尺”一題。絕大部分學(xué)生認(rèn)為結(jié)果是1∶50。筆者以錯(cuò)誤結(jié)果為資源，讓學(xué)生說說對1：50 的理解：“圖上1 厘米，表示實(shí)際50 厘米；圖上距離是實(shí)際距離的1/50；實(shí)際距離是圖上距離的50 倍。”筆者追問：“這個(gè)比例尺符合實(shí)際情況嗎？題中的圖上距離與實(shí)際距離比較哪個(gè)大呢？它是圖形的縮小還是放大呢？”而后，再讓學(xué)生結(jié)合比例尺的意義去審題、去理解：題中的圖上距離應(yīng)是實(shí)際距離的50 倍，原來是受縮小比例尺的思維定式影響，習(xí)慣性地認(rèn)為比例尺的前項(xiàng)通常為1，混淆、顛倒了題中的圖上距離和實(shí)際距離，本題是一個(gè)放大比例尺，結(jié)果應(yīng)為50∶1。至此，再讓學(xué)生深入比較兩種比例尺的聯(lián)系和區(qū)別，在追根究底中使學(xué)生理解到都是根據(jù)比例尺的意義——用圖上距離∶實(shí)際距離，關(guān)鍵是要正確審題，搞清題中的圖上距離和實(shí)際距離；同時(shí)，它們又有區(qū)別：縮小比例尺的比值都小于“1”，而放大比例尺的比值都大于“1”。

學(xué)生在比較中巧妙地化解了思維定式的負(fù)遷移，有效地提升了思維層次，深刻地把握了知識的實(shí)質(zhì)。

六、在回顧反思之間比較——完備建構(gòu)，優(yōu)化思路

教師要引導(dǎo)學(xué)生在回顧反思中比較，可以把相同的知識點(diǎn)放在一起進(jìn)行比較，那么就可以更好地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)前經(jīng)驗(yàn)，喚醒以前的知識結(jié)構(gòu)，并把新的知識結(jié)構(gòu)融入舊的知識結(jié)構(gòu)之中，形成一種全新的完備知識結(jié)構(gòu)。如筆者在教學(xué)蘇教版六年級上冊“解決問題的策略”時(shí)，在引入、揭示和感受假設(shè)策略之后，引導(dǎo)學(xué)生在兩個(gè)層次的回顧反思中比較。

第一層次：回顧例題的解題過程，是怎樣假設(shè)的？這些假設(shè)具有什么共同特征？假設(shè)在解決這道例題時(shí)起到什么作用？讓學(xué)生初步體會到假設(shè)是解決問題的一種策略。

第二層次：回顧以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，曾運(yùn)用假設(shè)的策略解決過哪些問題？

生1：計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的除法，把除數(shù)當(dāng)作整十?dāng)?shù)試商；

生2：估算時(shí)把接近整百或整十的數(shù)看作整百數(shù)或整十?dāng)?shù)，估算出大致的結(jié)果；

生3：已知兩個(gè)數(shù)的和與差，假設(shè)兩個(gè)數(shù)同樣多，分別求出這兩個(gè)數(shù)；

生4：在列方程解決實(shí)際問題時(shí)，設(shè)未知數(shù)時(shí)用到了假設(shè)策略；

……

教師引導(dǎo)比較：“這些運(yùn)用假設(shè)的策略解決問題的過程有什么共同點(diǎn)？”“假設(shè)策略對解決這些特定問題具有什么價(jià)值？”“以后再遇到一個(gè)復(fù)雜或者陌生問題時(shí)，你會怎樣想呢？”學(xué)生在比較中直指學(xué)習(xí)目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)假設(shè)策略是一種重要且常用的解決問題的策略，可以運(yùn)用在不同的地方，假設(shè)策略的表現(xiàn)形式靈活多樣，既可以用圖形來表達(dá)，也能用線段表達(dá)，還能在計(jì)算中表達(dá)。這些解決問題的過程，實(shí)際上都是通過假設(shè)把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的過程。

學(xué)生在兩個(gè)層次的回顧反思比較中，充分體驗(yàn)和感受了假設(shè)策略的價(jià)值，增進(jìn)了策略運(yùn)用意識，豐富完備了假設(shè)策略的建構(gòu)，優(yōu)化了解決問題的思路，提升了思維力和學(xué)習(xí)力。

數(shù)學(xué)會因?yàn)楸容^而深刻，因?yàn)楸容^而豐富。比較是推動學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向?qū)嵸|(zhì)、走向深入、走向智慧的方法[6]?？傊?，在課堂教學(xué)中，教師要善于捕捉良機(jī)，引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會比較、主動比較、善于比較，在比較中學(xué)習(xí)，在比較中提升。