高考數(shù)學(xué)試題中的線性規(guī)劃問題
——以2023年高考數(shù)學(xué)全國甲、乙卷有關(guān)試題為例

■江西省南昌市新建區(qū)第二中學(xué) 金 矗

線性規(guī)劃是基于運(yùn)籌學(xué)背景下的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用,基本原理是利用線性約束條件求線性目標(biāo)函數(shù)的最值。高中數(shù)學(xué)關(guān)于線性規(guī)劃的知識(shí)出現(xiàn)在不等式章節(jié)中,并且每年高考試題中均有對此部分內(nèi)容的考查。本文以2023年高考數(shù)學(xué)全國甲、乙卷中線性規(guī)劃試題為載體,簡要分析試題的命制特點(diǎn)及解題思路,以便有效促進(jìn)和提高同學(xué)們對該部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)效率。

一、線性規(guī)劃在求最值問題中的應(yīng)用

例1(2023年全國乙卷理14,文15)若x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為____。

解析：依題意作出可行域,如圖1中的陰影部分。由目標(biāo)函數(shù)z=2x-y得y=2xz,其中z取最大值時(shí),其幾何意義表示直線系y=2x-z在y軸上截距取最小值。平移直線y=2x,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知,當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),z取最大值。聯(lián)立解得即A(5,2),代入目標(biāo)函數(shù)得zmax=2×5-2=8。

圖1

故答案為8。

例2(2023年全國乙卷文11)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則xy的最大值是( )。

解法1：令x-y=k,則x=k+y,代入原式化簡得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0。因?yàn)橹本€x-y=k與圓有公共點(diǎn),所以Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化簡得k2-2k-17≤0,解得,故x-y的最大值是。

解法3：由x2+y2-4x-2y-4=0,可得(x-2)2+(y-1)2=9。設(shè)x-y=k,則圓心(2,1)到直線x-y=k的距離d=,解得,所以x-y的最大值為。

故選C。

點(diǎn)評(píng):線性規(guī)劃不僅僅是一類題型,更是一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。抓住“可行域及目標(biāo)函數(shù)”不放松,從不同角度思考目標(biāo)函數(shù)所具有的幾何意義,可以靈活處理相關(guān)的一類問題。

二、線性規(guī)劃在含參問題中的應(yīng)用

例3(2023 年全國甲卷文/理23 節(jié)選)已知f(x)=2|x-a|-a,a＞0。若曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求a的值。

解析：依題意可得f(x)=畫出f(x)的圖像,如圖2所示,則f(x)與坐標(biāo)軸圍成△OAD和△ABC,其中,O(0,0),D(0,a),C(a,-a),所以|AB|=a。

點(diǎn)評(píng):此類問題要進(jìn)行針對性的分析,解題的核心思想是明晰參數(shù)所代表的圖形表示的幾何意義,進(jìn)而使用線性規(guī)劃的方法進(jìn)行求解。這類問題有一定的難度,因?yàn)閰?shù)不僅可以出現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)中,還可以在約束條件內(nèi),故需具體問題具體分析。

三、線性規(guī)劃在求面積問題中的應(yīng)用

例4(2023 年全國乙卷文/理23 節(jié)選)已知f(x)=2|x|+|x-2|,在直角坐標(biāo)系xOy中,求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積。

解析：作出不等式組

表示的平面區(qū)域,如圖3中的陰影△ABC。

圖3

聯(lián)立解得A(-2,8);

易知B(0,2),D(0,6)。

點(diǎn)評(píng):線性規(guī)劃在求面積問題中的應(yīng)用是有通法可循的。繪制可行域、確定平面圖形,根據(jù)題意進(jìn)行適當(dāng)拆分計(jì)算出圖形面積,進(jìn)而求出相關(guān)量。

線性規(guī)劃問題在社會(huì)發(fā)展、生產(chǎn)生活等方面有著重要應(yīng)用。作為不等式的應(yīng)用,線性規(guī)劃問題背后蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想,解決問題的過程中數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)有效落實(shí)。由于線性規(guī)劃與函數(shù)、不等式等知識(shí)有著密切聯(lián)系,題目綜合性強(qiáng),且在概率、數(shù)列等知識(shí)模塊中有著廣泛應(yīng)用,所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)該部分知識(shí)時(shí)存在一定的困難。因此,同學(xué)們在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃問題時(shí),一定要注重知識(shí)的聯(lián)系與拓展。通過對上述典型例題的分析,引導(dǎo)同學(xué)們從多角度、多層次、多維度分析解題思路,從而提升解題技巧。