剖析不等式解法及應(yīng)用的易錯(cuò)點(diǎn)

■重慶市第一中學(xué)校 王 軍

不等式是高中數(shù)學(xué)代數(shù)板塊的重要組成部分,與方程,函數(shù)等知識聯(lián)系密切,在高考中也有著舉足輕重的地位。本文將從不等式的解法與不等式的應(yīng)用的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析,以期提升同學(xué)們的復(fù)習(xí)效率,規(guī)避易錯(cuò),提高解題速度和正確率。

一、不等式的解法

不等式的解法的易錯(cuò)點(diǎn)主要有:①系數(shù)需化為正數(shù);②重根的處理需采用“奇次穿偶次不穿”的方式。

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解1,當(dāng)x＜0時(shí),左右同乘x不等號方向會改變;錯(cuò)解2,在將除法改造為乘法時(shí),沒注意到不等式右邊是2 而不是0,當(dāng)右邊為0 時(shí)才能如此操作;錯(cuò)解1,2,3均沒有考慮分母不為0,且答案沒有寫成集合的形式。

正解:且x≠0?(-x-2)x≥0且x≠0?(x+2)x≤0且x≠0,所以-2≤x＜0,故所求不等式的解集為{x|-2≤x＜0}。

二、不等式的應(yīng)用

1.隱藏條件挖掘不足致錯(cuò)

例2若集合A={x|2|x|≥3},B={x|log2(2-x)＜0},則A∩B=( )。

錯(cuò)解：解得,對于集合B,由log2(2-x)＜0=log21,可得2-x＜1,即x＞1,所以B=(1,+∞),所以。故選B。

錯(cuò)因分析：忽視了對數(shù)函數(shù)的定義域,要時(shí)刻關(guān)注,率先保障每個(gè)結(jié)構(gòu)都有意義。

正解：對于集合B,真數(shù)為正,即2-x＞0,所以x＜2,由log2(2-x)＜0=log21,可得2-x＜1,即x＞1,所以B={x|1＜x＜2},所以。故選C。

例3若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為( )。

錯(cuò)解：由得(x-2)2+(y-3)2=4,所以直線y=x+b與圓(x-2)2+(y-3)2=4有2個(gè)公共點(diǎn),即直線與圓相交,則圓心(2,3)到直線y=x+b的距離,解得,。故選A。

錯(cuò)因分析：“由得(x-2)2+(y-3)2=4”這一步并非恒等變形,y的范圍發(fā)生了改變,需注意這個(gè)隱藏條件。

正解：由得(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),所以直線y=x+b與半圓(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3)有2個(gè)公共點(diǎn),作出直線與半圓的圖形,如圖1 所示。當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)(4,3)時(shí),b=3-4=-1;當(dāng)直線y=x+b與圓(x-2)2+(y-3)2=4相切時(shí),有,解得。由圖可知,當(dāng)直線y=x+b與曲線y=3-有2 個(gè)公共點(diǎn)時(shí),-1。故選B。

圖1

2.取等條件未驗(yàn)證致錯(cuò)

例4設(shè)x,y為實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,則的最大值為____。

錯(cuò)解：令2x+y=t,則4x2+y2+xy=(2x+y)2-3xy=t2-3xy=1,所以6+6xy=2(3xy+1)+4=2t2+4,所以,當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號。

錯(cuò)因分析：約束條件4x2+y2+xy=1對變量t的范圍有所限制,這是一個(gè)隱藏極深的條件,在換元時(shí)一定要思考新變元的范圍是否刻畫完整,最后要檢驗(yàn)基本不等式的等號能否取到。

3.分類討論考慮不全致錯(cuò)

例5解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1＜0。

錯(cuò)因分析：該解法討論不夠充分,首先,二次項(xiàng)系數(shù)含參,應(yīng)討論a是否為0;其次,討論開口方向,再討論根的大小,上面遺漏了的情況。

正解：分以下幾類情況討論:

(1)當(dāng)a=0時(shí),由ax2-(a+1)x+1＜0?-x+1＜0?x＞1,即解集為(1,+∞)。

含參不等式分類討論在高考中常出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸題的第一問中,通常按如下程序推進(jìn):討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0→討論開口方向→討論根的個(gè)數(shù)(判別式Δ)→討論根的大小,以及根與定義域端點(diǎn)的關(guān)系。

注:本文系重慶市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度立項(xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn)及案例研究”(課題批準(zhǔn)號:K23ZG1070110)的階段性研究成果之一。