一道拋物線定點(diǎn)考題的探究

張應(yīng)楷

摘要：通過多視角解決一道定點(diǎn)與定值問題，并據(jù)此研究了此類問題的一般化結(jié)論，發(fā)現(xiàn)其為富瑞吉定理的特殊形式.

關(guān)鍵詞：定點(diǎn)；定值；拋物線；面積

定點(diǎn)與定值問題是圓錐曲線中的?？紵狳c(diǎn)問題，常見的解題策略為從特殊到一般，即通過特殊化發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再在一般情況下進(jìn)行證明.在具體的證明過程中，常見的路徑是將幾何關(guān)系代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算獲得結(jié)論，再對(duì)結(jié)論進(jìn)行幾何化的解釋.本文中將從不同的視角對(duì)一道以拋物線為背景的定點(diǎn)問題進(jìn)行探究.

1 題目及分析

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，直線過拋物線C的焦點(diǎn)且與C交于A，B兩點(diǎn)，△HAB的面積的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

分析：本題第（1）問考查拋物線的基本性質(zhì)，其目的是獲得拋物線的方程，考查了焦點(diǎn)弦、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)；第（2）問考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，其核心要點(diǎn)在于EM⊥EN，可從向量、斜率等視角進(jìn)行解析.

2 解題方法呈現(xiàn)

對(duì)于第（1）問，有如下兩種方法.

由韋達(dá)定理，得y1+y2=2pt，且y1y2=-p2.由拋物線的定義，得焦點(diǎn)弦|AB|=x1+x2+p=t（y1+y2）+2p=2pt2+2p（也可通過弦長(zhǎng)公式求解）.

對(duì)于第（2）問，有如下三種方法.

方法一：基本量法.

由此可得y20+4ty0+4t-1=0，等價(jià)于4t（y0+1）+y20-1=0.令y0+1=0，且y20-1=0，計(jì)算可得y0=-1.

評(píng)注：方法一是對(duì)題干條件的直接使用，思維量較低.其求解思路是將原題干條件轉(zhuǎn)化為變量y1，y2間的關(guān)系，通過韋達(dá)定理實(shí)現(xiàn)消元.接下來介紹利用“雙根法”來簡(jiǎn)化韋達(dá)定理的應(yīng)用.

方法二：利用“雙根法”求解.

在方法一的基礎(chǔ)上，可令y2-4ty+4t-17=（y-y1）（y-y2）.

在上式中，令y=-y0可得（y1+y0）（y2+y0）=y20+4ty0+4t-17.后續(xù)同方法一.

評(píng)注：“雙根法”是回避韋達(dá)定理的利器，可有效地提升運(yùn)算效率.

方法三：平移齊次化，構(gòu)造斜率方程求解.

在題干中，EM⊥EN等價(jià)于kEM·kEN=-1，為此，可以考慮通過齊次化，構(gòu)建關(guān)于斜率k的方程，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求解.

評(píng)注：該方法的本質(zhì)是將圖形進(jìn)行平移，得到的“齊二次”可直接構(gòu)建關(guān)于斜率的方程.當(dāng)斜率滿足其他表達(dá)式時(shí)，特別是可用韋達(dá)定理求解時(shí)，利用該方法非常高效.

3 命題推廣

筆者嘗試了將原問題一般化，經(jīng)過探究，當(dāng)Q為任意點(diǎn)時(shí)，在拋物線C上不一定存在點(diǎn)E使得條件成立；但如下的逆向結(jié)論成立：設(shè)M（x0，y0）是拋物線C：y2=2px（p>0）上的一定點(diǎn)，A，B是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MA⊥MB，則直線AB恒過定點(diǎn)P（2p+x0，-y0）.

因?yàn)閥1≠y0，y2≠y0，所以（y1+y0）（y2+y0）+4p2=0，即

y1y2+（y1+y2）y0+y20+4p2=0.①

由上式可知，直線AB必過定點(diǎn)P（2p+x0，-y0），因此結(jié)論成立.

通過幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件，觀察點(diǎn)M（x0，y0）、拋物線C：y2=2px及定點(diǎn)P（2p+x0，-y0）三者的位置信息，可知：定點(diǎn)P在點(diǎn)M的法線（過點(diǎn)M且與點(diǎn)M處的切線垂直的直線）上.

證明：根據(jù)文[1]，拋物線C在點(diǎn)M處的切線l的方程為px-y0y+px0=0.

點(diǎn)M的法線為過點(diǎn)M且與點(diǎn)M處的切線垂直的直線，即為l′：y0x+py-x0y0-py0=0.

代入點(diǎn)P的坐標(biāo)驗(yàn)證，可知點(diǎn)P在l′上.結(jié)論成立.

該結(jié)論即為著名的富瑞吉定理：在圓錐曲線Γ上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作兩條互相垂直的射線與Γ交于點(diǎn)A，B，則直線AB過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)在過點(diǎn)P的法線上.

通過上述分析，也可利用待定系數(shù)法來解決原問題，過程略.

參考文獻(xiàn)：

［1］龍宇.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽廣東賽區(qū)選拔賽第9題的解法與探源[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2017（21）：7-8.