基于數(shù)學軟件應(yīng)用的高等數(shù)學教學改革研究*

程琨 （景德鎮(zhèn)陶瓷大學信息工程學院）

高等數(shù)學是高等院校理工科一門重要的基礎(chǔ)理論課程，其內(nèi)容豐富，理論嚴謹，應(yīng)用廣泛，影響深遠。李克強總理在2018 年1 月3 日的國務(wù)院常務(wù)會議上指出：“數(shù)學是我國科學研究的重要基礎(chǔ)。無論是人工智能還是量子通信等，都需要數(shù)學等基礎(chǔ)學科作有力支撐。我們之所以缺乏重大原創(chuàng)性科研成果，卡脖子就是卡在基礎(chǔ)學科上?！盵1]然而，由于高等數(shù)學課程具有知識點多、難度大、理論抽象等特點，導致學生的學習和教師的教學壓力都較大。例如，學生在初高中的數(shù)學學習中，所面對的往往是離散的、有限的、線性的問題。而高等數(shù)學課程中所處理的往往是連續(xù)的、無限的、非線性的問題。這就需要學生的思維認知有從有限到無限、從離散到連續(xù)的轉(zhuǎn)換。此外，高等數(shù)學中的分類與整合、劃歸與轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程等數(shù)學思維也是學生學習的一大障礙。以上原因?qū)е潞芏鄬W生在學習的過程中產(chǎn)生了畏難的情緒，對高等數(shù)學這門課程毫無興趣。然而，作為其他專業(yè)課的基礎(chǔ)，高等數(shù)學的重要性不言而喻。學生若無法理解高等數(shù)學的思維，即使在考試中僥幸過關(guān)，在后續(xù)其他專業(yè)課程的學習中依然會暴露出根基不牢固的缺陷。因此，如何提高學生的學習興趣和加強數(shù)學思維能力一直是當今高等數(shù)學教學改革的重要課題。近年來，許多學者也對其進行了行之有效的探討。[2-4]

近年來，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，涌現(xiàn)出一大批優(yōu)秀的數(shù)學軟件，例如Matlab、GeoGebra、Mathematica、Maple 等。這些軟件在解決許多實際的數(shù)學問題中發(fā)揮著重要的作用。同時，利用這些軟件的信息化和可視化功能對高等數(shù)學教學進行輔助，可以極大地引發(fā)學生的學習興趣以及培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。此外，這些軟件強大的編程和計算功能也能幫助學生解決更多實際的數(shù)學問題。

本文將基于GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學軟件，對高等數(shù)學的信息化和可視化教學進行探究。對比這兩款軟件，其側(cè)重點各有不同。GeoGebra 作為一款優(yōu)秀的動態(tài)幾何軟件，它最大的特點在于可以動態(tài)地演示高等數(shù)學中的許多定義，例如極限、定積分、級數(shù)等。從而在學生的腦海中刻畫這些定義，加強對這些概念的理解和推廣。Matlab 作為一款專業(yè)的工程數(shù)學軟件，其強大的計算功能可以幫助學生擺脫復雜的計算。同時，其強大的編程功能可以幫助學生利用抽象的知識去解決復雜的數(shù)學問題。

一、數(shù)學軟件簡介

本節(jié)將簡單介紹GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學軟件。此外，由于兩款軟件的側(cè)重點不同，我們還將其進行簡單的對比，以得出在不同場景下兩者如何取舍。

（一）GeoGebra 軟件簡介

GeoGebra 是一套包含處理幾何、代數(shù)、微積分等功能的動態(tài)數(shù)學軟件。它是由奧地利數(shù)學家Markus Hohenwarter 以及其開發(fā)團隊，為了讓全世界的校園都可免費使用動態(tài)數(shù)學軟件而共同開發(fā)的。GeoGebra 的軟件名是由“Geo”+“Gebra”組成，其意思為幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）。該軟件具有開源、體積小、動態(tài)可視化等優(yōu)點，并且相較于其他數(shù)學軟件，GeoGebra 的操作比較容易上手。因此，GeoGebra 在中小學和大學的數(shù)學教學中得到了廣泛的應(yīng)用。[5-7]

GeoGebra 的軟件界面分為代數(shù)區(qū)和繪圖區(qū)，其代數(shù)功能和動態(tài)幾何作圖功能可以幫助學生對高等數(shù)學中的各種對象（點、線、面、方程）有直觀理解。此外，在繪圖區(qū)任意空白處點擊可以構(gòu)建一個數(shù)值的滑動條，通過拖動滑動條可以使得研究對象產(chǎn)生直觀的動態(tài)變化。借助此軟件，我們可以設(shè)計極限、定積分等定義里面一系列動態(tài)過程，例如，數(shù)列動態(tài)逼近、定積分的細分求和、圖形的相交旋轉(zhuǎn)等。以上種種優(yōu)點，有利于加強學生對于概念的理解以及激發(fā)學生的學習研究興趣。此外，作圖生成的“ggb”文件非常小巧（幾十Kb 至一百Kb），可以嵌入PPT 中。該軟件也有豐富的教學資源，教師可以方便地加以利用。

（二）Matlab 軟件簡介

Matlab 軟件是美國MathWorks 公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，其名稱是由“Matrix”“Laboratory”兩個單詞組合而成，意為矩陣實驗室。作為一款專業(yè)的工程類數(shù)學軟件，它將矩陣計算、數(shù)值分析、非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模與仿真和科學數(shù)據(jù)可視化等一系列強大的功能集成在一個視窗環(huán)境中，為科研、工程設(shè)計等眾多科學領(lǐng)域提供了強大的幫助。Matlab 的強大功能在此我們不進行過多贅述，讀者可以參考專業(yè)書籍。[8]

在高等數(shù)學的教學中，我們可以將Matlab 有效合理地融入其中。[9-11]一方面，這可以幫助學生省去一些煩瑣的計算，另一方面，其引導了學生學習一款實用軟件、練習了編程技巧和提高了利用高數(shù)知識解決實際問題的能力。

（三）兩款軟件對比

兩款軟件各有優(yōu)點，并無孰優(yōu)孰劣之分，我們需要在不同的場景下合理地選擇不同的軟件。例如，在高等數(shù)學的許多概念教學中，可以借助GeoGebra 對定義進行動態(tài)化、直觀化的表述。而當涉及一些復雜的計算，例如微分方程的求解等，Matlab 強大的計算以及仿真模擬功能可以幫助我們快速得出結(jié)果并對其進行分析。

二、GeoGebra 在高等數(shù)學教學中的具體應(yīng)用

（一）GeoGebra 融入定積分的教學過程

定積分是學生正式進入積分學的學習，而要使得學生了解定積分的本質(zhì)，幾何直觀圖形的展示是必不可少的。在此，教師可以利用GeoGebra 軟件來生動講述有關(guān)內(nèi)容。這不僅能讓同學們感悟到積分學的魅力，而且能了解到GeoGebra 功能的強大。

案例1：定積分定義的幾何動態(tài)展示

我們以∫01x3dx這 一 積 分 為 例 子。首 先，在GeoGebra 軟件中輸入函數(shù)f（x）x3，并把[0,1]區(qū)間等分成n份，其中n設(shè)置成滑動條。分別計算其即上積分與即下積分。觀察到隨著n的增大，兩者都會越來越逼近曲邊三角形的面積，圖1 和圖2 分別表示在分割n=10 和n=100 情形下，上積分、下積分與曲邊三角形面積的關(guān)系。

圖1 n=10 的情形

圖2 n=100 的情形

借助這個例子，學生可以很直觀地理解定積分思想，即分割、求和、取極限，從而理解定積分的定義。

（二）GeoGebra 融入Fourier 級數(shù)的教學過程

作為高等數(shù)學的重點和難點之一，F(xiàn)ourier 級數(shù)在光學、電學、聲學等都有極為廣泛的應(yīng)用。利用GeoGebra 來刻畫動態(tài)的逼近過程，一方面能讓學生認識到Fourier 級數(shù)的主要思想，另一方面也能讓學生體會到數(shù)學之美。

案例2：函數(shù)展開成Fourier 級數(shù)。

為例：首先在GeoGebra 軟件中輸入該函數(shù)，設(shè)置滑動條n，在代數(shù)區(qū)輸入變量A=序列（f(x)((cos(nx)/(π)),-π,π),n,0,N）以 及B= 序 列（f(x)((sin(nx)/(π)),-π,π),n,1,N）。最后，根據(jù)Fourier 級數(shù)的展開表達式，我們可以輸入系數(shù)AO=(( 元素(A,1)/(2))，AX= 序列((元素(A,n+1)cos(nx),n,1,N)以及BX=序列((元素(B,n)sin(nx),n,1,N)，則F(x)=AO+總和(AX)+總和(BX)。通過移動滑動條，學生可以觀察到取Fourier 級數(shù)的有限項逼近到函數(shù)的動態(tài)過程，見圖3 和4。學生容易發(fā)現(xiàn)，該級數(shù)的前n項和隨著n的增大，越來越接近給定的函數(shù)f(x)。并且在f(x)的間斷點處，級數(shù)的和為，此即為Dirichlet 定理的結(jié)論。

圖3 Fourier 級數(shù)取前10 項的情形

圖4 Fourier 級數(shù)取前100 項的情形

三、Matlab 在高等數(shù)學教學中的具體應(yīng)用

常微分方程是高等數(shù)學中最體現(xiàn)微積分價值的一部分。諸多的實際問題都可以利用數(shù)學建模來轉(zhuǎn)化成常微分方程求解，并解釋實際問題所體現(xiàn)的客觀現(xiàn)象。常微分方程在很多實際問題上是很難求出解析解的，因此如何利用好Matlab 來求數(shù)值解顯得更為重要。

案例3：（導彈追擊問題）假設(shè)導彈A 距離正在以最大速度行駛的船艦B 1km 處,且船艦勻速向前行駛而導彈頭始終指向船艦，一段時間過后，最終將其擊落。不妨考慮船艦以2km/h 的最大速度直線勻速行駛，而導彈速度始終為10km/h。求解船艦在相距導彈1km 時需要多久才能擊落船艦以及此時船艦?zāi)苄旭偠噙h。

解：建立直角坐標系，可以假定導彈A 位于原點處，船艦B 位于（1,0）處。設(shè)在T 時刻導彈位于坐標中的點M(x(T),y(T))處，此時船艦B 位于點N(1,2T)處。由條件容易得到微分方程：。

結(jié)合初始條件并利用Matlab 求解，其代碼如下：

syms y(x);

g=1/5.*sqrt(1+diff(y,x,1).^2);

f=(1-x).*diff(y,x,2);

Dy = diff(y,x);

cond = [y(0)==0, Dy(0)==0];

ySol= dsolve(f==g, cond);

ySol = simplify(ySol)

ezplot(ySol(2),[-0.1,1.1])

title(' ');

hold on

plot([1,1],ylim,‘m—’);

text(0.3,0.04,‘導彈軌跡’;,‘FontSize’,14);

text(0.78,0.02,‘船艦軌跡’,‘FontSize’,14);

由上述程序可求得方程的解為

其 軌 跡 如 圖5 所 示。將x=1 代 入，利 用Matlab 計 算 出y的 值，得 出y(1)=0.2083。從 而T=y(1)/2=0.1042h，這表明了在大約6 分鐘后擊落，而此刻船艦行駛了208.3m。

圖5 導彈軌跡的二維圖

四、結(jié)語

本文介紹了GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學軟件在高等數(shù)學教學改革中的應(yīng)用。讓學生對高等數(shù)學充滿興趣并且能扎實掌握并熟練運用高數(shù)知識一直是高等數(shù)學教學改革的重要目的之一。然而，在高等數(shù)學的傳統(tǒng)課堂教學中，往往是教師利用黑板或者PPT 灌輸式地將理論、知識、證明技巧等傳授給學生。借助GeoGebra 和Matlab 這兩款數(shù)學軟件，教師可以將高等數(shù)學中的很多概念通過數(shù)形結(jié)合的方法形象直觀地呈現(xiàn)給學生，加強學生對概念的理解并激發(fā)學習興趣。結(jié)合近年來的網(wǎng)絡(luò)教學經(jīng)驗，這兩款軟件更適合線上線下混合使用模式。教師在線上對軟件的使用做了具體的演示，學生在線下可以利用軟件豐富的網(wǎng)絡(luò)資源鞏固和拓展所學到的知識。將數(shù)學軟件引入高等數(shù)學教育的課堂后，也對教師提出了更高的要求。教師必須熟練地使用GeoGebra、Matlab、Mathematica 等數(shù)學軟件，并將其有機地融入教學中。只有這樣，才能把傳統(tǒng)的“教師主宰性”課堂轉(zhuǎn)換為師生探究型課堂，從而提高教學質(zhì)量以及推動高等數(shù)學課堂的現(xiàn)代化發(fā)展。