發(fā)展幾何直觀　促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

羅勇

摘要：新課標(biāo)在課程目標(biāo)下的“核心素養(yǎng)的內(nèi)涵”在初中階段的主要表現(xiàn)中，將幾何直觀列為九個表現(xiàn)之一，并對幾何直觀的內(nèi)涵進(jìn)行了詳細(xì)闡述。在初中數(shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，可以從發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象、認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)、運(yùn)用數(shù)學(xué)對象三個方面入手，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；新課標(biāo)；深度學(xué)習(xí)

幾何直觀主要指的是運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。在圖形的性質(zhì)學(xué)習(xí)中，主要體現(xiàn)為能夠感知各種幾何圖形及其元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)。幾何直觀有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。本文將以北師大版數(shù)學(xué)教材八年級下冊“平行四邊形的性質(zhì)”探究為例，闡述如何在圖形的性質(zhì)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

一、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象

具體分析及實(shí)施建議如下：

教師出示生活中的平行四邊形圖片。

問題1：你能在圖中找到平行四邊形嗎？

目標(biāo)分析：從實(shí)際背景或數(shù)學(xué)背景中抽象圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象，關(guān)注共性，分辨差異，并能用畫圖、語言描述等方式表達(dá)。

教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立畫出（描出）平行四邊形。

學(xué)生行為及分析：將視覺轉(zhuǎn)化為觸覺，通過描圖，體會平行四邊形由四條邊組成，且對邊互相平行。

教師引導(dǎo)學(xué)生說出圖片中的平行四邊形（語言描述）。如，停車位施劃的實(shí)線圍成一個平行四邊形。

學(xué)生行為及分析：將直觀感覺轉(zhuǎn)化為語言表達(dá)，提煉圖形的特征（平行四邊形是由四條邊首尾順次連接組成的，且兩組對邊互相平行）。

問題2：你能說說什么樣的四邊形是平行四邊形嗎？為什么這樣認(rèn)為？

目標(biāo)分析：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注合適的類別，用準(zhǔn)確的語言描述研究對象的概念，提升抽象能力。

學(xué)生行為及分析：語言表達(dá)，嘗試給出定義。學(xué)生說出的結(jié)果可能有很多種，如兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。有的學(xué)生甚至?xí)f不全，如邊平行的四邊形是平行四邊形。教師應(yīng)先肯定學(xué)生得出的結(jié)論，然后追問原因，把學(xué)生抽象思考的過程暴露出來。然后，說明采用“兩組對邊分別平行”作為定義條件的原因，讓學(xué)生理解“將圖形之間的關(guān)系特殊化”是得到新的類（平行四邊形）的原因，也因此了解“屬+種差”定義新類的合理性。學(xué)生經(jīng)歷條件逐步完備、語言逐漸精練的過程，使幾何直觀從基于操作經(jīng)驗的感悟向基于概念的推理過渡。

問題3：請你用直尺和三角板畫出一個平行四邊形，你想怎樣畫？請參考三角形的表達(dá)方式記錄這個平行四邊形。

目標(biāo)分析：理解圖形作為一個整體，內(nèi)部的元素有相應(yīng)的位置關(guān)系，用符號與元素對應(yīng)標(biāo)記出來。文字表達(dá)、符號表達(dá)、圖形表達(dá)相互對應(yīng)。根據(jù)符號表達(dá)能畫出圖形，根據(jù)圖形能寫出符號表達(dá)，并能在轉(zhuǎn)換的過程中用自然語言解釋。在基于概念的層面上體會幾何直觀。

教師引導(dǎo)學(xué)生利用直尺和三角板畫出平行四邊形。

學(xué)生行為及分析：直尺可以畫直線（線段），三角板可以畫特殊角，結(jié)合后可畫出平行線段，從而畫出三角形。學(xué)生先確定畫圖的依據(jù)（定義），然后設(shè)計畫圖的程序（先后順序），從推理和操作的角度體會平行四邊形的定義，從中獲得研究圖形的經(jīng)驗。學(xué)生畫出的圖形可能位置不同，形狀不同，大小不同，這是概念外延的表現(xiàn)，都符合其認(rèn)知規(guī)律。

教師引導(dǎo)根據(jù)給出的符號表達(dá)畫出圖形，再根據(jù)給出的圖形寫出它的符號表達(dá)，并用自然語言解釋。

學(xué)生行為及分析：在三種表達(dá)的轉(zhuǎn)換中，體會對應(yīng)關(guān)系。結(jié)合三個不同的角度認(rèn)識圖形。

問題4：圖1中有幾個圖形是平行四邊形？請找到并表示出來。

目標(biāo)分析：形成基于概念的幾何直觀，能用推理的方式說明數(shù)學(xué)對象。

學(xué)生行為及分析：找到平行四邊形，并用概念說明。辨析并應(yīng)用概念，能從數(shù)學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)幾何對象，并能說出原因。

問題5：回顧研究平行四邊形定義的學(xué)習(xí)過程，我們經(jīng)歷了什么？對你學(xué)習(xí)其他圖形會有什么啟發(fā)？

目標(biāo)分析：重新梳理研究的歷程，了解思考形成的過程，體會其合理性，并引導(dǎo)學(xué)生對自己的思考過程再思考，提升思維水平。

學(xué)生行為及分析：梳理研究的過程，用交談的方式展現(xiàn)思考的過程，并從其他同學(xué)的談話中獲益，了解同一個問題的不同思考角度，獲得思考提純（對認(rèn)知的認(rèn)知）的經(jīng)驗。

數(shù)學(xué)對象的產(chǎn)生主要有兩類，一是從現(xiàn)實(shí)世界中產(chǎn)生，二是從數(shù)學(xué)問題中產(chǎn)生。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圖形時，幾何直觀主要建立在以直觀感受（觸摸）、測量、剪拼等經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，屬于直觀思維層面，而在初中的學(xué)習(xí)中逐漸過渡到抽象思維層面。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象—描述和形成概念—辨析概念的過程。

二、認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)

下面是學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)相關(guān)內(nèi)容（平行四邊形對邊相等、對角相等）的不同教學(xué)設(shè)計方案。

方案一：根據(jù)定義畫一個平行四邊形，觀察它除了“兩組對邊分別平行”外，其邊之間還有什么關(guān)系？角之間還有什么關(guān)系？度量一下，和你的猜想一致嗎？為什么？上述的探究經(jīng)歷了怎樣的過程？你有什么收獲？你能設(shè)計更好的探究過程嗎？為什么不探究邊和角之間的關(guān)系或鄰角之間的關(guān)系呢？

方案二：請度量給定的平行四邊形紙片，邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？角之間有什么數(shù)量關(guān)系？根據(jù)你的度量，能得到怎樣的猜想？請證明你的猜想。

方案三：用剪刀沿著平行四邊形紙片的對角線剪開，得到兩個三角形，動手操作，體會三角形與平行四邊形的關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？根據(jù)你的操作，能得到怎樣的猜想？請證明你的猜想。

方案四：請借助等腰三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，探索平行四邊形的性質(zhì)。

比較四種方案我們會發(fā)現(xiàn)：方案一問題脈絡(luò)清晰，展現(xiàn)了探究的全景，留給學(xué)生探究、思考和交流的空間較大，方便學(xué)生探索；引導(dǎo)學(xué)生歸納認(rèn)識的過程及認(rèn)識方法，并鼓勵提出質(zhì)疑。方案二、方案三細(xì)致指導(dǎo)學(xué)生的操作探究活動，問題準(zhǔn)確，目標(biāo)清晰，學(xué)生思考的空間顯現(xiàn)得有些局促，細(xì)節(jié)突出，有宏觀不夠清晰的感覺。方案四鼓勵學(xué)生在已有的探究圖形性質(zhì)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，設(shè)計探究方案，開展探索；對學(xué)生要求高，學(xué)生獨(dú)立完成的可能性較小，需要合作學(xué)習(xí)。針對不同的學(xué)情，教師可以設(shè)計不同的探究方案，可彈性處理，達(dá)到教學(xué)目的即可。

在證明過程中，學(xué)生可能會出現(xiàn)幾種不同的思路：基于操作經(jīng)驗的直觀（沿著對角線剪平行四邊形紙片，連接對角線）；基于概念推理的直觀（全等三角形能轉(zhuǎn)移邊、角，要出現(xiàn)全等三角形，則連接對角線）；基于概念推理+圖形直觀（我們曾把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，得到內(nèi)角和為360°，嘗試將四邊形對邊、對角相等問題轉(zhuǎn)化為三角形的關(guān)系問題，故連接對角線）。回顧探究過程，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)問題的起點(diǎn)都是平行四邊形的概念，由此認(rèn)識到平行四邊形性質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)是平行四邊形的概念。在學(xué)生經(jīng)歷證明之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生尋找證明思路產(chǎn)生的原因，體會基于概念的幾何直觀對思路產(chǎn)生的影響。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)對象

例題：如圖2，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)。

求證： AE=CF。

數(shù)學(xué)對象分析：由條件可知，數(shù)學(xué)對象有?ABCD，由圖形直觀可得，數(shù)學(xué)對象還應(yīng)該有四邊形BEDF，△AED和△CFB。

數(shù)學(xué)對象元素及關(guān)系分析：在?ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，AB[?]CD，AD[?]BC；在四邊形BEDF中，∠DEB=∠DFB=90°，DF[?]BE；在△AED與△CFB中，∠AED=∠CFB=90°。

數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系分析：（1）在?ABCD與四邊形BEDF之間，有AE=AB-BE，CF=CD-DF；（2）在?ABCD與△AED，△CFB之間，AD，BC，∠A，∠C是共有元素； （3）觀察可知△AED≌△CFB，AE與CF是對應(yīng)邊。

由此可產(chǎn)生下面的思路：

一是考慮到?ABCD與四邊形BEDF的位置關(guān)系，由AE=AB-BE，CF=CD-DF，只要證明AE=CF，即證明四邊形BEDF是平行四邊形即可。

二是?ABCD與△AED，△CFB之間，AD，BC，∠A，∠C是共有元素，AE，CF是△AED和△CFB的邊，只要證明△AED≌△CFB即可。

數(shù)學(xué)對象作為一個整體在復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中出現(xiàn)，其中包含的元素是若干數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，數(shù)學(xué)對象的作用主要是傳遞關(guān)系，理解數(shù)學(xué)對象（基本圖形）在問題中的地位和作用，會有助于學(xué)生找到解決問題的思路，厘清問題的本質(zhì)。在解決問題時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回答這樣幾個問題：問題中有哪些數(shù)學(xué)對象（基本圖形）？每個對象中有哪些元素？它們之間有什么關(guān)系？數(shù)學(xué)對象之間有什么關(guān)系？

在圖形的性質(zhì)教學(xué)中，教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生圍繞體現(xiàn)整體性和結(jié)構(gòu)性的學(xué)習(xí)主題，深刻經(jīng)歷幾何直觀的形成過程，不斷反思、比較、總結(jié)，有目的、有意識地培養(yǎng)思考習(xí)慣，提升思考能力。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）