無關初始條件的預設有限時間容錯控制

程鴻展,李小華,劉 輝

(遼寧科技大學 電子與信息工程學院, 遼寧 鞍山 114051)

在工業(yè)系統(tǒng)控制中, 一旦系統(tǒng)傳感器出現(xiàn)故障, 就會導致系統(tǒng)性能不穩(wěn)定. 因此, 制定適當?shù)目刂品桨敢韵齻鞲衅鞴收系挠绊?就顯得尤為重要[1-3]. 有限時間控制可提高系統(tǒng)的收斂速度,使系統(tǒng)具有魯棒性[4-6], 預設性能控制可改善系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能[7-9]. 研究人員將二者優(yōu)點相結合,提出了多種預設有限時間控制方案[10-13]. 文獻[10]提出了一種有限時間性能函數(shù), 能使系統(tǒng)既有良好的暫態(tài)性能, 又有較快的收斂速度. 文獻[11]針對航天器姿態(tài)穩(wěn)定問題, 提出了一種自適應預設有限時間容錯控制方案.文獻[12]針對有執(zhí)行器故障的多個無人機組成的系統(tǒng), 提出了一種自適應預設性能有限時間分散控制, 使系統(tǒng)中的每架無人機在有限時間內均能跟蹤各自的參考軌跡, 且跟蹤誤差能被預設性能函數(shù)約束. 但是, 這些研究均是初始條件已知的情況下進行的, 而當初始條件未知時, 傳統(tǒng)預設性能控制就難以奏效. 針對該問題,文獻[13]提出了一種預設性能控制方案,使預設性能函數(shù)的選擇與初始條件無關.

由于測量噪聲、建模誤差和建模簡化等原因, 很多工業(yè)系統(tǒng)模型中存在未建模動態(tài), 它會降低閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能, 甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定. 因此,研究人員考慮未建模動態(tài)對系統(tǒng)性能的影響, 提出了一些處理未建模動態(tài)的有效方法[14-16]. 該文擬將與無關初始條件的預設性能控制與傳統(tǒng)的有限時間控制相結合, 設計容錯控制器,以提升系統(tǒng)的魯棒性.

1 預備知識

考慮一類具有未建模動態(tài)的純反饋系統(tǒng), 該系統(tǒng)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

定義 1[2]若第i(i=1,2,…,n)個傳感器在Tf時刻對變量xi(t)進行測量時出現(xiàn)故障, 則得到反饋信號為

Xi(t)=ρi(t)xi(t),?t>Tf,

(5)

其中:傳感器的失效因子為ρi(t), 0<ρi(t)≤1.

(6)

假設3[17]對不確定動態(tài)擾動Δi(·),存在未知光滑非負非線性函數(shù)φi1(·)及φi2(·),有

(7)

假設4[17]若系統(tǒng)(1)的未建模動態(tài)為指數(shù)穩(wěn)定的實際輸入狀態(tài),則存在Lyapunov函數(shù)V(z)滿足

α1(|z|)≤V(z)≤α2(|z|),

(8)

(9)

其中:α1(·),α2(·)及μ(·)均為K∞類函數(shù);c0和p0均為已知常數(shù), 且c0>0,p0>0.

2 無關初始條件的預設性能控制

在傳統(tǒng)的預設性能控制中,要求被約束量e1(t)滿足以下條件

-ζ(t)

(10)

其中:預設性能函數(shù)ζ(t)=(ζ0-ζ∞)e-lt+ζ∞;設計參數(shù)ζ0>ζ∞>0,l>0.在預設性能控制中, 需根據(jù)e1(0)選擇ζ(t), 滿足|e1(0)|<ζ(0).然而, 對于初始值e1(0)未知的系統(tǒng), 傳統(tǒng)的預設性能控制難以應用.

為了解決該問題, 文獻[13]構造了一種新的預設性能函數(shù)ζ1(t), 其表達式為

ζ1(t)=(ζ0-ζ∞)e-l1(t-Tf)+ζ∞,

(11)

其中:預設定時間Tf>0; 設計參數(shù)ζ0>ζ∞>0,l1>0.

文獻[13]通過雙曲正切函數(shù)將e1(t)映射至σ1(t),σ1(t)變?yōu)?/p>

σ1(t)=tanh(e1(t)),

(12)

其中:e1(t),σ1(t)均為有界函數(shù), 二者在原點附近有近似線性關系,且|σ1(t)|<1.

文獻[13]構造一個間接約束函數(shù)ζ2(t),使σ1(t)滿足

-ζ2(t)<σ1(t)<ζ2(t),t≥0,

(13)

其中

(14)

(15)

其中:M≥1,τ≥0,α0≥1,αTf>0.

注1α*(t)是一個光滑函數(shù), 文獻[10]已經(jīng)證明. 因此, 易知ζ2(t)也是一個光滑函數(shù).

注2為了用預設性能函數(shù)約束σ1(t), 則σ1(0)須滿足-ζ2(0)<σ1(0)<ζ2(0).選擇M≥1, 則可知ζ2(0)≥1, 且|σ1(t)|<1對于任意e1均成立.

注3間接約束函數(shù)ζ2(t)選擇的依據(jù)是:t≥Tf時, 用ζ2(t)約束σ1(t)等價于用ζ1(t)約束e1(t),式(14)中的ζ2(t)就是據(jù)此構造的.

根據(jù)雙曲正切函數(shù)的映射關系和間接約束函數(shù),得到定理1.

定理1若式(13)成立, 則當t≥Tf時, 有-ζ1(t)

證明由式(12)～(13),可得

-ζ2(t)

(16)

當t≥Tf時, 由式(14)～(15), 可得

ζ2(t)=tanh(ζ1(t))>0.

(17)

故有

-ζ1(t)

(18)

3 無關初始條件的預設性能有限時間容錯控制器的設計

定義如下坐標變換

(19)

(20)

注4由假設1～2可知, 存在正常數(shù)b滿足

(21)

該文無關初始條件的預設性能有限時間容錯控制器的具體設計步驟如下.

步驟1根據(jù)式(19)～(20), 可得

(22)

選取Lyapunov函數(shù)為

(23)

其中:ψ為處理未建模動態(tài)而引入的動態(tài)信號[19];β1,λ為正的設計參數(shù). 對式(23)求導后, 結合文獻[19]中的引理1,可得

(24)

(25)

(26)

根據(jù)文獻[19]中的引理2, 可得

(27)

根據(jù)文獻[19]中的引理1和式(8),可得

(28)

根據(jù)式(28)及假設3, 有

(29)

(30)

(31)

根據(jù)文獻[19]中的引理2, 可得

(32)

將式(26)～(27), (32)代入式(24), 可得

(33)

(34)

定義函數(shù)

(35)

考慮到F1(Z1)包含未知非線性函數(shù), 故采用RBFNN逼近F1(Z1), 則有

(36)

(37)

其中:設計參數(shù)ai>0(i=1,2,…,n).將式(37)代入式(34), 可得

(38)

(39)

(40)

其中:Γ1>0,β1>0,l1>0.將式(39)～(40)代入式(38), 可得

(41)

步驟i(i=2,3,…,n-1) 根據(jù)式(20), 有

(42)

其中

(43)

選取Lyapunov函數(shù)為

(44)

對Vi求導且整理得

(45)

(46)

根據(jù)假設1及三角不等式, 可得

(47)

(48)

(49)

根據(jù)式(46), (48)～(49), 可得

(50)

定義函數(shù)

(51)

使用Young’s不等式和RBFNN處理κiFi(Zi),可得

(52)

(53)

(54)

(55)

其中:τi>0,βi>0,li>0.

將式(54)～(55)代入式(53), 可得

(56)

步驟n根據(jù)式(20), 有

(57)

其中

(58)

選取Lyapunov函數(shù)為

(59)

對Vn求導并整理,可得

(60)

經(jīng)與步驟i相似的推導, 可得

(61)

定義函數(shù)

(62)

利用Young’s不等式處理κnFn(Zn),可得

(63)

(64)

(65)

(66)

其中:Γn>0,βn>0,ln>0.將式(65)～(66)代入式(64), 可得

(67)

至此,無關初始條件的預設性能有限時間容錯控制器的設計完畢. 根據(jù)上面的設計, 可給出如下定理2.

定理2對系統(tǒng)(1), 如果選取控制律為式(39), (54),(65), 自適應律為式(40), (55),(66), 則系統(tǒng)輸出能在預設的有限時間內達到性能約束效果, 系統(tǒng)所有信號均能在有限時間內收斂至平衡點附近的鄰域.

證明(1) 有限時間穩(wěn)定性.選取系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

V=Vn.

(68)

(69)

將式(69)代入式(67), 可得

(70)

其中

(71)

其中:K1=min{2γci},i=1,2,…,n.將式(71)代入式(70),可得

(72)

(73)

(74)

將式(73)～(74)代入式(72), 可得

(75)

(76)

根據(jù)式(75)～(76),可得

(77)

(78)

根據(jù)式(70)～(78),可得

(79)

根據(jù)文獻[8]中的定義1、定理1及式(77)～(79)可知, 系統(tǒng)(1)滿足實際有限時間穩(wěn)定判據(jù), 則可知停息時間

(80)

自此,定理2證明完畢.

4 仿真分析

該文對文獻[17]中的單連桿機械臂系統(tǒng)進行仿真分析, 該系統(tǒng)的數(shù)學描述如下

(81)

其中:x1和x2分別表示連桿的位置和速度,g=9.8m·s-2,轉軸到質心的距離l=1 m, 阻尼系數(shù)D=2 N·m·s·rad-1, 伺服電機的轉動慣量J=1 kg·m2, 物體質量m=2 kg,z為未建模動態(tài),Δ1=zx1,Δ2=zx2sinx1.

傳感器的2個故障狀態(tài)分別為

(82)

圖1 系統(tǒng)故障狀態(tài)變量X1(t)和正常狀態(tài)變量x1(t)

由圖1可知,系統(tǒng)在傳感器故障時仍具有較強的鎮(zhèn)定性能.由圖2可知,系統(tǒng)狀態(tài)是有界穩(wěn)定的. 由圖3可知,無論初始狀態(tài)是否在預設性能函數(shù)的范圍, 系統(tǒng)輸出均能滿足預設性能要求. 由圖4可知,在不同初始狀態(tài)下,控制輸入均合理. 因此,該文設計的控制器具有可行性.

圖2 系統(tǒng)故障狀態(tài)變量X2(t)和正常狀態(tài)變量x2(t)

圖3 不同初始狀態(tài)的系統(tǒng)輸出

圖4 不同初始狀態(tài)的控制輸入

5 結束語

該文研究了一類具有未建模動態(tài)和傳感器故障的非線性系統(tǒng)的預設性能有限時間容錯控制問題,解決了傳統(tǒng)預設性能控制中控制效果依賴系統(tǒng)初值的問題,避免了傳感器故障時系統(tǒng)性能出現(xiàn)大幅下降的情況,對于未建模動態(tài)有較好的抑制效果. 該文設計的無關初始條件的預設性能有限時間容錯控制器,能使系統(tǒng)所有信號在傳感器故障時均有界, 系統(tǒng)輸出能在給定時間內滿足預設性能要求.仿真結果表明:該文控制器具有可行性.