分數(shù)階Mackey-Glass方程的分支和控制

喬宗敏

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 合肥 230601)

時滯微分方程是具有時間滯后的微分方程, 被用于描述既依賴于當(dāng)前狀態(tài)又依賴于過去狀態(tài)的發(fā)展系統(tǒng),能準(zhǔn)確地刻畫實際問題.在流體力學(xué)、種群生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)及現(xiàn)代控制理論等領(lǐng)域中存在著大量的時滯微分方程,故對時滯系統(tǒng)模型進行研究有著一定的現(xiàn)實意義.分數(shù)微積分是普通微積分的推廣,在生物工程、電分析化學(xué)、粘彈性、熱傳導(dǎo)和經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,因此對分數(shù)階時滯微分方程的理論和應(yīng)用的研究,也受到了學(xué)者們的更多關(guān)注[1-5].

Mackey-Glass時滯微分方程[6]

(1)

Famer[7]研究了Mackey-Glass方程的混沌性態(tài), 當(dāng)τ>17時,該方程表現(xiàn)出混沌性,正Lyapunov指數(shù)隨著τ值的增加而增大,說明其混沌程度越來越高. Skubachevskii等[8]研究了方程(1)周期解的穩(wěn)定性.Wei[9]利用全局Hopf分支理論,證明方程(1)Hopf分支的存在性.

論文研究分數(shù)階Mackey-Glass微分方程

Dαx(t)=-cx(t)+af(x(t-τ)),

(2)

主要研究兩個問題:(1)系統(tǒng)在時滯參數(shù)和分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的影響下Hopf分支的存在性;(2)在不穩(wěn)定狀態(tài)下,討論非平凡平衡點控制策略.

1 預(yù)備知識

分數(shù)階導(dǎo)數(shù)主要有3種:Riemann-Liouville,Grunwald-Letnikov和Caputo導(dǎo)數(shù).論文采用Caputo導(dǎo)數(shù)的定義.

定義1Caputo導(dǎo)數(shù)[10]定義如下

Dαx(t)=Jm-αxm(t),α>0,

其中:m=[α]為第一個不大于α的整數(shù);xm(t)為x(t)的m階導(dǎo)數(shù).

Jβ是β階Riemann-Liouville積分算子,即

其中:Γ(·)是Gamma函數(shù).

引理1[10]分數(shù)階線性微分方程為

Dax(t)=Ax(t),x(0)=x0,

其中:x∈n;矩陣A∈n×n;0<αi<1,i=1,2,…,n是分數(shù)階導(dǎo)數(shù).則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是其中:λi是A的特征值.

引理2[11]設(shè)x(t)是上的可微函數(shù),則對于所有t≥t0,有

Dαx2(t)≤2x(t)Dαx(t),?α∈(0,1).

引理3[12-13]分數(shù)階時滯微分方程

2 穩(wěn)定性和Hopf分支分析

假設(shè)(H)a>c>0,b>0 ,則方程(2)具有唯一的正平衡點x0為

下面研究正平衡點的穩(wěn)定性和局部Hopf分支的存在性,方程(2)的線性化方程為

Dαx(t)=-cx(t)+af′(x0)x(t-τ),

特征方程為

λα+c-af′(x0)e-λτ=0,

(3)

定理1對分數(shù)階Mackey-Glass方程(2),以下結(jié)論成立:

當(dāng)τ>0時,如果iω(ω>0)是純虛根,則由(3)得

分離實部和虛部得

(4)

兩式平方相加得

解得

(5)

下面討論系統(tǒng)在τ0的分叉情況.令λk(τ)是特征方程的特征根,滿足λk(τk)=iω0.對(3)式兩邊關(guān)于τ求導(dǎo),得

結(jié)合已知條件λα+c-af′(x0)e-λτ=0,得

將λk(τk)=iω0代入得

從而得到

因此橫截條件成立,由Rouche’s定理和假設(shè)(H)知定理的結(jié)論(ii)成立.

3 平衡點的穩(wěn)定控制

Dαy(t)=-cy(t)+a(f(y(t-τ)+x0)-f(x0)).

設(shè)g(y(t-τ))=f(y(t-τ)+x0)-f(x0),有

Dαy(t)=-cy(t)+ag(y(t-τ)).

為了將系統(tǒng)穩(wěn)定控制在不穩(wěn)定的平衡點x0,論文設(shè)計狀態(tài)反饋控制器

Dαy(t)=-cy(t)+ag(y(t-τ))+u(t),

(6)

其中:u(t)=ky(t).控制參數(shù)k滿足定理2,就可以實現(xiàn)分數(shù)階Mackey-Glass方程(2)的穩(wěn)定控制.

定理2當(dāng)控制變量滿足k

g2(y(t-τ))=(f(y(t-τ)+x0)-f(x0))2≤|f′(ξ)|2y2(t-τ)≤y2(t-τ).

DαV(t)≤yDαy≤y(t)(-cy(t)+ag(y(t-τ))+ky(t))=

4 數(shù)值模擬

分數(shù)階時滯系統(tǒng)(1)具有唯一的正平衡x0,方程(1)表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為,可能導(dǎo)致混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生.在下面的數(shù)值模擬中分別取參數(shù)a=0.2,b=10,c=0.1,α=0.9,初值x0=1.5,系統(tǒng)唯一的正平衡x0=1,此時滿足定理1的(ii).參數(shù)代入(4)中計算得ω0=0.333 3,τ0= 5.933 4,因此,當(dāng)τ∈(0,τ0)時,正平衡點是漸近穩(wěn)定的,而當(dāng)τ∈(τ0,+∞)時,正平衡點不穩(wěn)定,如圖1所示.圖1(a)中取τ=4<τ0,圖1(b)中取τ=8>τ0,與定理1結(jié)果相符.

圖1 分數(shù)階Mackey-Glass方程的狀態(tài)圖

為了研究分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和時滯參數(shù)對分數(shù)階Mackey-Glass方程(2)的影響,利用最值法做出了分數(shù)階Mackey-Glass方程關(guān)于這兩個參數(shù)的分叉圖,如圖2所示.圖2(a)是方程關(guān)于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的分叉圖,參數(shù)選取為a=0.2,b=10,c=0.1,τ=28,當(dāng)分數(shù)階導(dǎo)數(shù)q>0.8時,方程(2)出現(xiàn)較復(fù)雜的現(xiàn)象.圖2(b)是方程關(guān)于時滯變量的分叉圖,參數(shù)選取為a=0.2,b=10,c=0.1,q=0.9,可以看出系統(tǒng)在τ0=5.933 4附近出現(xiàn)分叉,隨著τ的增加,出現(xiàn)周期震蕩,當(dāng)τ>18時系統(tǒng)進入混沌狀態(tài).圖2(c)中,選取分數(shù)階導(dǎo)數(shù)q∈[0.5,1]和τ∈[0,25],可以觀察方程分叉點的變化,隨著分數(shù)階導(dǎo)數(shù)q的增加,分叉點τ逐漸減小,從而方程(2)的穩(wěn)定區(qū)域變小.

圖2 分數(shù)階Mackey-Glass方程的分叉及與時滯參數(shù)的關(guān)系圖

在平衡點穩(wěn)定控制的數(shù)值模擬中,參數(shù)選取為a=0.2,b=10,c=0.1,α=0.9,τ=28,如果取控制參數(shù)k=-0.35,k

圖3 分數(shù)階Mackey-Glass方程在控制參數(shù)k=-0.35作用下的狀態(tài)圖

5 結(jié) 論