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    深研細(xì)究 實(shí)現(xiàn)教學(xué)至簡

    2023-11-17 06:02:03于淼紅
    數(shù)學(xué)之友 2023年15期
    關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)化思想解題教學(xué)

    于淼紅

    摘 要:好的試題往往具有良好的教學(xué)導(dǎo)向作用,教師應(yīng)挖掘典型好題的育人功能,盤活好題資源,開發(fā)試題的教學(xué)功效,拓寬學(xué)生的思考視角,提高教學(xué)效能,使學(xué)生將知識融會貫通,輕松地學(xué)數(shù)學(xué),實(shí)現(xiàn)教學(xué)至簡.

    關(guān)鍵詞:至簡教學(xué);轉(zhuǎn)化思想;解題教學(xué)

    1 深研課標(biāo),細(xì)品教材

    數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu),是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.在教學(xué)設(shè)計(jì)之前,教師應(yīng)該認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn),深入研讀教材,揣摩教材編寫意圖,體會教材如何承載課程目標(biāo),過程中不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識本身,而且要思考知識背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì),包括數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉和數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn).在此基礎(chǔ)上,靈活地、創(chuàng)造性地使用教材.本節(jié)課意圖在深入理解教材的基礎(chǔ)上用教材進(jìn)行教學(xué).

    例題:(人教版八上62頁習(xí)題) 在△ABC中,AD為角平分線,∠ABC=2∠ACB,求證:AB+BD=AC.

    2 在情境引學(xué)中將思維由淺表引向深入

    數(shù)學(xué)是一門訓(xùn)練思維,提升能力的學(xué)科.“解法開放”是全國各地歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題的特色之一.但只要認(rèn)真探索這些數(shù)學(xué)試題,均能發(fā)現(xiàn)隱藏其中的“共性”,即試題大都回歸數(shù)學(xué)本源,注重通性通法,凸顯數(shù)學(xué)能力的考察.

    方法探究一(核心思想一:轉(zhuǎn)換,造等角——出等腰)

    在平面幾何中,相等的角有著重要價值,相等的角可以聯(lián)想到等腰三角形,可以聯(lián)想到角平分線,可以構(gòu)造全等,可以構(gòu)造相似等.二倍角問題又是平面幾何中的一個常見問題,也是一個難點(diǎn)問題,所以當(dāng)二倍角出現(xiàn)時我們可以把二倍角轉(zhuǎn)化成相等的角,利用相等的角去解決問題.

    已知條件∠ABC=2∠ACB是解題的關(guān)鍵.現(xiàn)在我們來研究一下,如何處理二倍角問題.

    方法1:延等腰:延長CB至D,使得BD=AB,可以得到∠D=∠C=∠BAD,通過這組等角我們得到兩個等腰三角形和一個斜A相似.

    方法2:截等腰:在BC邊上取點(diǎn)D,連接AD,使得AD=CD,得到∠C=∠CAD,∠B=∠ADB,這樣通過這組等角我們可以得到兩個等腰三角形.

    方法3:作角平分線:做△ABC的角平分線BD,得到∠CBD=∠C=∠ABD,通過這組等角我們得到一個等腰三角形,一個角平分線,一個斜A相似.

    方法4:翻折:把直線CB沿AC翻折得到直線CD,設(shè)CD交BA延長線于D,得到∠B=∠BCD,∠ACB=∠ACD,這樣通過這組等角我們可以得到一個等腰三角形和一個角平分線.

    總結(jié):關(guān)于二倍角問題,上面介紹了四種添加輔助線的方法,主要目的都是為了構(gòu)造相等的角,進(jìn)而推出角平分線、等腰三角形等,然后再利用相關(guān)的性質(zhì)探求解題途徑.由于種種原因,學(xué)生的思維往往處于沉睡狀態(tài).數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要努力尋求問題之間的連接點(diǎn)、生長點(diǎn),循序漸進(jìn),形成自然聯(lián)系的整體,為思考鋪路,為探究引航,不斷喚醒和激活思維,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí),讓學(xué)生建立“屬于自己”的知識結(jié)構(gòu)、思維方式和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

    例題賞析

    例1 在△ABC中,AD為角平分線,∠ABC=2∠ACB,求證:AB+BD=AC.

    方法1:延等腰:如圖7,延長AB至E,BE=BD,連接DE,△ADE≌△ADC,AE=AC,所以AC=AB +BD.

    方法2:截等腰:在AC邊上截取AE=AB,則△ABD≌△AED,易得BD=DE=CE,所以AC=AB + BD.

    方法3:作角平分線:過B做BE平分∠ABC交AD于E,EF平行BC交AC于F,導(dǎo)角得BD=BE,易證△ABE≌△AFE,所以AB=AF,易得CF=BE,所以AC=AB+BD.

    方法4:翻折:把直線CB沿AC翻折得到直線CE,AE∥BC,得到∠ABC=∠BCE,∠ACB=∠ACE,易得AB=CE=AE,在AC上取點(diǎn)F,在AD上取點(diǎn)G,使得AF=AE、BG=BD,△BGA≌△CFE,所以BD=BG=CF,所以AC=AB+BD.

    通過這一道教材習(xí)題,聚焦基本圖形,深入引導(dǎo)學(xué)生挖掘基本圖形中隱含的數(shù)學(xué)知識.這一過程在學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上,利用問題引導(dǎo)學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程,通過從特殊到一般、從具體到抽象的引導(dǎo)過程激發(fā)學(xué)生深度思考,促進(jìn)高階思維的發(fā)生.

    3 探究研學(xué),激發(fā)思維

    專題探究課應(yīng)注重層層深入、揭示問題的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生思維深入發(fā)展.蘇聯(lián)教育家霍姆林斯基說:“只有讓學(xué)生在認(rèn)知過程中感受自己的智力,體會到創(chuàng)造的愉快,才能激發(fā)學(xué)生高昂持久的興趣.”本節(jié)課通過有效設(shè)置問題變化情境,精心設(shè)計(jì)探究過程,有效組織探究活動,引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)有序地對模型本質(zhì)進(jìn)行探究.

    例2 如圖12,在△ABC中,∠B=2∠C,求線段AB、BD與CD的數(shù)量關(guān)系.

    方法1:延等腰:延長CB至E,使得BE=AB,得到∠E=∠C=∠BAE,易得DE=CD,所以AB+BD=CD.

    方法2:截等腰:在BC邊上取點(diǎn)E,連接AE,使得AE=CE,得到∠C=∠CAE,∠B=∠AEB,所以BD=DE,AB=AE=CE,所以AB+BD=CD.

    方法3:作角平分線:過B做BE平分∠ABD交AD于E,EF∥BC交AC于F,在線段AF上取點(diǎn)G,AE=EG,可證△BDE≌△CHF,△ABE≌△EFG,所以BD=CH,AB=EF=DH,所以CD=AB+BD.

    方法4:翻折:把直線CB沿AC翻折得到直線CE,AE∥BC,得到∠B=∠BCE, ∠ACB=∠ACE,易得BD=CF,AB=DF,所以CD=AB+BD.

    高階思維的發(fā)生需要問題的驅(qū)動.如何從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)設(shè)置問題,開展有效的思維活動?如何通過問題引導(dǎo),讓學(xué)生在解決問題的過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法?如何讓學(xué)生體會到習(xí)題課中的思維升華,通過類比、拓展實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)造,生成數(shù)學(xué)知識,積累基本經(jīng)驗(yàn),基于以上思考,本節(jié)課的問題引導(dǎo)從特殊到一般,從方法類比到圖形構(gòu)造.在問題引導(dǎo)中溯源問題本質(zhì),在思想方法的感悟中探求新知,讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成、鞏固和深化的過程.

    方法探究二:(核心思想二:導(dǎo)特殊)

    有一些二倍角的問題中往往隱藏了某種特殊,可以是隱藏特殊三角形,特殊角,特殊關(guān)系,需要我們導(dǎo)角把特殊找到,然后根據(jù)特殊解決問題.

    例題賞析

    例3 如圖17,在△ABC中,AD為高線,BD=2,CD=3,∠BAD=2∠C,求線段AD的長度.

    解析:如圖,設(shè)∠ACB=x,則∠BAD=2x,∠CAD=90°-x,∠BAC=90°+x,導(dǎo)出AC為△ABD的外角平分線,所以過C做CE⊥AB于E,所以CE=CD=3,勾股定理得BE=4,得到∠B的正切值,所以AD=1.5.

    總結(jié):本題就是通過導(dǎo)角得到一個特殊條件:AC為角平分線,然后利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)解決問題.

    例4 如圖19,在△ABC中,D、E分別在AB、AC邊上,AD=CD,∠CDE=60°,∠ADE=2∠BCD,BD=3,DE=5,求線段CE的長度.

    解析:如圖設(shè)∠BCD=x,則∠ADE=2x,∠ACD=60°-x,∠ABC=60°+x,所以∠ACB=60°,得到特殊角∠ACB,延長DE至F,使得DF=CD,連接CF,在BC邊上截取DG=DB,可證△CFE≌ △CDG,所以BD=DG=EF=3,DE=5,∠F=60°,△CEF可得CE=7.

    綜上所述,處理二倍角問題的思想主要是:一是造相等,構(gòu)造出相等的角,利用等角處理問題;二是導(dǎo)特殊,導(dǎo)出特殊關(guān)系,利用特殊關(guān)系解決問題.

    4 培養(yǎng)遷移能力,訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維

    學(xué)習(xí)遷移是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中把之前學(xué)習(xí)的知識或解決問題的能力自覺地應(yīng)用到新知識的學(xué)習(xí)和實(shí)際問題的解決中.通過學(xué)習(xí)遷移能力的培養(yǎng),可以有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,優(yōu)化思維品質(zhì),為學(xué)生終身發(fā)展打好能力基礎(chǔ).

    例5 在△ABC中∠C=60°,D、E分別在BC、AC上,AD=AB,AE=EB.

    (1) 求證∠ADE=30°.

    (2) 點(diǎn)M在CB的延長線上,DM=AE,AM=c,AD=b,DE=a,試確定a、b、c的數(shù)量關(guān)系.

    解析:(1) [對稱法]α,α+60°,60°-2α.

    [法1]中垂線GEF,[369△AGF],兩個α,AF=2AG=AB=AD,△AED和△AEF全等[SAS],兩個30°.

    [法2]F、B關(guān)于AC對稱,正△ADF,△ADE和△FDE全等[SSS],兩個30°.

    (2) [等邊轉(zhuǎn)換與角度轉(zhuǎn)換]

    [法1]∠EBA=∠EAB=60°-α,∠ABD=∠ADB=60°+α,∠DBE=2α ∠EDC=90°-α,作BN=BE,則DE=EN=α,DN=MB=n [美人魚相似]△NDE∽△NEB[AA],a2=n(n+2m).

    [雙勾股]c2-b2=(n+m)2-m2=n(n+2m),故a2=c2-b2.

    [法2]正△AMN,[對頂點(diǎn)O]兩個θ,兩個黃色三角形全[SAS]正△DNE,Rt△ADN,c2=a2+b2.

    5 深度反思,內(nèi)化思想

    反思1:通過本節(jié)課可以看出,活動內(nèi)容只是探究的一個載體,經(jīng)過探究活動,學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)、找出其中的數(shù)學(xué)規(guī)律,從而帶動思維能力的發(fā)展.筆者通過對課堂探究教學(xué)的嘗試與反思,意識到探究教學(xué)不是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的機(jī)械重復(fù),而是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的重置與延伸.

    反思2:熟練解題模型,提煉解題規(guī)律.解體模型是指教師在解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一些結(jié)論性認(rèn)識,具體指一般化程度較高的結(jié)論或圖形.G·波利亞認(rèn)為,解決一個問題之后,要善于去總結(jié)一個模型,并井然有序地儲備起來,以后才可以隨時支取它去解決類似的問題,進(jìn)而提高自己的解題能力.如本題解決二倍角問題用到的幾個基本模型.教師不僅要熟悉一些常見的解題模型,還要在解題教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉解題規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生良好的解題直覺,啟迪學(xué)生思考方向,進(jìn)而順利解決問題.

    反思3: 著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過:“與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化.”意思是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)應(yīng)該是形成自己的數(shù)學(xué)思想和方法,學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待事物,學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決問題.因此我們的教學(xué),不應(yīng)該僅僅是一節(jié)課做完這一題及其變式就了結(jié).我們還應(yīng)做好梳理總結(jié)工作,反思本節(jié)課中問題的解決路徑、運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識和思想方法.除了課后反思這一重要環(huán)節(jié),教師還需要引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的核心處深度思考、深切體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的滲透.這便是學(xué)生從數(shù)學(xué)的知識學(xué)習(xí)走向數(shù)學(xué)思維化學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路.

    反思4:好的試題往往具有良好的教學(xué)導(dǎo)向作用,深研細(xì)究試題的內(nèi)涵并盤活類似的學(xué)習(xí)資源,能開發(fā)試題的教學(xué)功效,拓寬學(xué)生的思考視角,提高教學(xué)效能,使學(xué)生將知識融會貫通,輕松地學(xué)數(shù)學(xué),實(shí)現(xiàn)教學(xué)至簡.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 王眉燕.滲透數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2017(13):55-56.

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