五年級“因數(shù)和倍數(shù)”易錯題分析及教學(xué)改進(jìn)

楊錫鵬

［摘 要］五年級“因數(shù)和倍數(shù)”一課的主要知識點(diǎn)包括認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)的含義，求一個數(shù)的因數(shù)的方法，求一個數(shù)的倍數(shù)的方法等。過多關(guān)注數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，會容易忽視用數(shù)學(xué)概念解決問題的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生解題出現(xiàn)錯誤。分析學(xué)生的易錯點(diǎn)，在“因數(shù)和倍數(shù)”一課中采用基于生活情境的例題，以提高學(xué)生的審題和解決問題能力。

［關(guān)鍵詞］因數(shù)和倍數(shù)；易錯題；教學(xué)改進(jìn)

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0069-03

蘇教版教材五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”一課中包含三個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)的含義，掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法，掌握求一個數(shù)的倍數(shù)的方法等。教師在教學(xué)因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識時，一般分三個層次開展教學(xué)活動：第一層次是用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，讓學(xué)生用乘法算式表示自己的拼法；第二層次是借助“4×3=12”這個乘法算式向?qū)W生說明“哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)”；第三層次是讓學(xué)生根據(jù)另外兩個乘法算式說出“哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)”。教師在教學(xué)求一個數(shù)的因數(shù)的方法時，通過例題“找出36的所有因數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三個階段：第一階段是明白哪兩個數(shù)的乘積是36，那這兩個數(shù)都是36的因數(shù)；第二階段是探索如何不重復(fù)、不遺漏地找出36的所有因數(shù)，可以依次列舉積是36的乘法算式，也可以從1開始依次用36去除每一個數(shù)；第三階段是引導(dǎo)學(xué)生用集合圖表示36的所有因數(shù)。教師在教學(xué)求一個數(shù)的倍數(shù)的方法時，通過例題“用列舉的方法找出3的倍數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷兩個階段：第一階段是理解3和某一個自然數(shù)（不為0）相乘所得的積就是3的倍數(shù)，按照從小到大的順序排列3的倍數(shù)，后面還要加上省略號；第二階段是用集合圖按從小到大的順序表示3的倍數(shù)。

可以發(fā)現(xiàn)，無論是教材的編排還是教師的教學(xué)活動，都做到了邏輯嚴(yán)謹(jǐn)和條理清晰。可是，學(xué)生在完成“因數(shù)和倍數(shù)”的作業(yè)時還是出現(xiàn)了大量錯誤。對此，筆者梳理了部分易錯題，并通過分析錯誤原因來找到教學(xué)改進(jìn)的方法。

一、易錯題梳理（見表1）

二、錯例分析

師（出示第1題）：這道題目要算什么？

生1：找3的倍數(shù)和9的倍數(shù)。

師：題目說了要在什么范圍內(nèi)嗎？

生2：100以內(nèi)的數(shù)。

師：是的，審題要仔細(xì)，要看清楚題目中的所有要求。那么你知道3的倍數(shù)和9的倍數(shù)有哪些嗎？

生3：3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18、21、24、27；9的倍數(shù)有9、18、27、36、45、54、63、72、81。

師：要在100以內(nèi)的數(shù)中找，3的倍數(shù)和9的倍數(shù)還有哪些？請列完整。

生4：3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45……99；9的倍數(shù)有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。既是3的倍數(shù)又是9的倍數(shù)的數(shù)有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。我還發(fā)現(xiàn)了既是3的倍數(shù)又是9的倍數(shù)的數(shù)其實(shí)都是9的倍數(shù)。

師（出示第2題）：這道題目問的是什么？

生5：這道題目就是問96的因數(shù)有哪些。

生6：我們就用96分別除以2、3和5，看看有沒有余數(shù)。如果沒有余數(shù)，就是答案了。

師：接下去怎么做？

生7：96÷2=48，96÷3=32，96÷5=19……1，所以用1號車或2號車正好可以裝完。

師：像你這樣做真簡單?。槭裁纯梢赃@樣做？

生7：我們找一個數(shù)的因數(shù)時，既可以去想哪兩個數(shù)相乘的積是96，也可以用96除以1、2、3……的數(shù)。題目已經(jīng)說了1號車載質(zhì)量2噸，2號車載質(zhì)量3噸，3號車載質(zhì)量5噸，用96分別除以2、3和5更方便。

師（出示第3題）：能讀懂這道題目的意思嗎？

生8：題目要我們判斷產(chǎn)品個數(shù)為78、94、86、87、82、80的籮筐中哪兩只籮筐里的產(chǎn)品是徒弟加工的。

師：應(yīng)該怎么解決呢？

生9：根據(jù)“師傅的產(chǎn)量是徒弟的2倍”，得出師傅的產(chǎn)量一定是雙數(shù)。我發(fā)現(xiàn)題目的6個數(shù)中只有一個數(shù)是單數(shù)，所以87那筐肯定是徒弟的。

師：你是根據(jù)2的倍數(shù)確定了87那筐是徒弟的，那么徒弟還有一個籮筐的產(chǎn)品個數(shù)怎么確定呢？

生9：這就要靠計算了。根據(jù)“每只籮筐都標(biāo)明了產(chǎn)品的個數(shù)：78、94、86、87、82、80”，可以計算出師傅和徒弟加工的產(chǎn)品總個數(shù)是78+94+86+87+82+80=507（個），又根據(jù)“師傅的產(chǎn)量是徒弟的2倍”，這道題目就變成了和倍問題，可以算出徒弟的產(chǎn)量是507÷（2+1）=169（個）。因此，徒弟的另一個籮筐的產(chǎn)品個數(shù)是169-87=82（個）。我們要選擇“87”和“82”這兩個答案。

通過以上的師生對話發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決問題時經(jīng)常出現(xiàn)思維卡殼現(xiàn)象，不能用因數(shù)和倍數(shù)的數(shù)學(xué)知識來解決問題，這往往是由于教師缺乏用因數(shù)和教學(xué)解決問題，原因有三。

第一，從數(shù)學(xué)知識的角度看，本節(jié)課中教師要落實(shí)三個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的教學(xué)，既要幫助學(xué)生體會本節(jié)課中的因數(shù)和倍數(shù)與以前的因數(shù)和倍數(shù)是不同的，又要學(xué)生在探究活動中掌握求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法，因此本節(jié)課的教學(xué)時間較為緊張。

第二，從解決問題的角度看，缺少運(yùn)用因數(shù)和倍數(shù)的知識解決實(shí)際問題的機(jī)會，會導(dǎo)致學(xué)生缺乏用因數(shù)和倍數(shù)的知識解決問題的能力。同時，學(xué)生的審題能力較弱，當(dāng)題目中有較多條件時，學(xué)生不能顧及每個數(shù)學(xué)信息。

第三，從作業(yè)練習(xí)的角度看，相應(yīng)的練習(xí)要讓學(xué)生在豐富的情境中解決問題，但教師布置的作業(yè)與例題基本相同，情境不夠豐富。只有創(chuàng)設(shè)豐富的作業(yè)套餐，設(shè)計不同難度的基礎(chǔ)題、提高題和拓展題等，才能滿足不同學(xué)生的發(fā)展需求。同時，教師設(shè)計的作業(yè)中要有豐富的背景素材，讓學(xué)生在真實(shí)情境中解決問題，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

三、教學(xué)改進(jìn)

一節(jié)數(shù)學(xué)概念課，教師既要幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，又要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問題。如何統(tǒng)籌安排數(shù)學(xué)概念與解決問題的教學(xué)呢？這就需要教師精心地設(shè)計課堂中的教學(xué)活動，精選課堂中的例題和習(xí)題，幫助學(xué)生在學(xué)以致用中鞏固數(shù)學(xué)概念，提升解決問題的能力。

第一環(huán)節(jié)：暴露已有學(xué)情，建立因數(shù)和倍數(shù)概念

師：你知道什么是因數(shù)，什么是倍數(shù)嗎？

師：用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，每排擺幾個，擺了幾排？請你先畫出示意圖，再用4個算式表示。

師：如4×3=12這個乘法算式中，4和3都是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)，12是3的倍數(shù)。又如12÷2=6這個除法算式中，2和6都是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)，12是6的倍數(shù)。

師：根據(jù)6×2=12，你能說出哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)嗎？根據(jù)12÷3=4呢？

【設(shè)計意圖：美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷操作或活動階段、過程階段、對象階段和圖示階段等四個階段。本課教學(xué)中，活動階段是讓學(xué)生通過活動初步體會因數(shù)和倍數(shù)的含義，辨析本單元中的因數(shù)和倍數(shù)與之前學(xué)習(xí)過的區(qū)別；過程階段是學(xué)生對活動進(jìn)行思考，在思維內(nèi)化和壓縮中抽象出因數(shù)和倍數(shù)概念的特征；對象階段是學(xué)生通過抽象過程認(rèn)識了因數(shù)和倍數(shù)的概念后，就要模仿著去說出乘法和除法算式中誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)；圖示階段是學(xué)生在學(xué)習(xí)中進(jìn)一步完善因數(shù)和倍數(shù)概念，在頭腦中形成綜合的心理圖式?！?/p>

第二環(huán)節(jié)：借助生活情境，探究求一個數(shù)的因數(shù)

師（出示例題：貨場有36噸煤，用載質(zhì)量是多少的卡車多次運(yùn)送正好可以裝完？請找出所有答案）：題目中的條件和問題分別是什么？先獨(dú)立解決這個問題，再在小組里交流你的想法。

師：我們要解決用載質(zhì)量是多少的卡車多次運(yùn)送正好可以裝完，就是解決什么問題？要找36的所有因數(shù)，你會怎么找？

生1：可以想哪兩個數(shù)的積是36，四九三十六，六六三十六。

生2：不對，不能只從乘法口訣表里找，只要兩個數(shù)的乘積是36的都是。有1×36=36，2×18=36，3×12=36……

生3：也可以用除法來找，用36依次去除以1、2、3、4……看除了之后有沒有余數(shù)。

師：剛才我們是怎么做到不重復(fù)、不遺漏的？你能用集合圖表示這道題目的所有答案嗎？

出示練習(xí)：媽媽買來28個雞蛋，讓聰聰把雞蛋放到冰箱里。聰聰每次拿的個數(shù)相同，且每次只拿2～10個，拿到最后正好一個不剩。請列舉聰聰所有可能的拿法。

生4：我用乘法來找28的因數(shù)，1×28=28，2×14=28，4×7=28。每次拿的個數(shù)可以為1、28、2、14、4和7。

生5：我有補(bǔ)充，題目說了每次只拿2～10個，所以只有每次拿2、4和7個的三種拿法。

【設(shè)計意圖：教師巧妙地設(shè)置了一個在生活情境中求一個數(shù)的因數(shù)的問題，需要學(xué)生在審題中“識得廬山真面目”——發(fā)現(xiàn)這道題目考查的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)是求36的所有因數(shù)。在探究求一個數(shù)的因數(shù)的方法過程中，學(xué)生經(jīng)歷了一波三折：先是在乘法口訣中找，發(fā)現(xiàn)這樣會找不全；然后無序地找，發(fā)現(xiàn)這樣也會遺漏；最后嘗試用乘法或除法有序地找，從而做到找一個數(shù)的因數(shù)時不重復(fù)、不遺漏，為后續(xù)找一個數(shù)的倍數(shù)時提供經(jīng)驗(yàn)。之后設(shè)計一道有關(guān)找一個數(shù)的因數(shù)的練習(xí)，一方面是幫助學(xué)生鞏固求一個數(shù)的因數(shù)的方法，另一方面是提高學(xué)生的審題能力。】

第三環(huán)節(jié)：借助生活情境，探究求一個數(shù)的倍數(shù)

師（出示例題：每本故事書的價格是7元，買不同數(shù)量的書，你會怎么付錢呢？）：題目中的條件和問題分別是什么？先獨(dú)立解決這個問題，再在小組里交流你的想法。

師：我們要解決付錢的問題，就是解決什么問題？找7的所有倍數(shù)，你會怎么找？

生1：7的1倍是7，7的2倍是14，7的3倍是21。

生2：7的倍數(shù)有無數(shù)個，最后要加上省略號。

師：剛才我們是怎么找一個數(shù)的倍數(shù)的？你能用集合圖表示這道題目的所有答案嗎？

出示練習(xí)：乘坐小艇每人應(yīng)付5元，應(yīng)付錢數(shù)都是5的倍數(shù)嗎？先把表格填寫完整，再說一說。

【設(shè)計意圖：當(dāng)學(xué)生有了前一個環(huán)節(jié)中求一個數(shù)的因數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他們在這個環(huán)節(jié)中就能自發(fā)地按照從小到大的順序求倍數(shù)，做到既不重復(fù)也不遺漏。同時，學(xué)生也能解決生活中有關(guān)找倍數(shù)的問題，真正體現(xiàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識解決生活問題。】

第四環(huán)節(jié)：設(shè)計分層練習(xí)，促進(jìn)不同學(xué)生的發(fā)展

作業(yè)A套餐：

1.下面的3組數(shù)中，誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？

4和24? ? ? ? ?13×2=26? ? ? ? ?75÷25=3

2.找因數(shù)和倍數(shù)。

（1）18的因數(shù)有（? ? ?），30的因數(shù)有（? ? ? ）。

（2）3的倍數(shù)有（? ? ? ），8的倍數(shù)有（? ? ? ?）。

（3）1的因數(shù)有（? ?）個，7的因數(shù)有（? ?）個，10的倍數(shù)有（? ?）個。

（4）一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是（? ? ）的，最小的因數(shù)是（? ?），最大的因數(shù)是（? ?）；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是（? ? ）的，最小的因數(shù)是（? ?），（? ?）最大的因數(shù)。

作業(yè)B套餐：

1.從下面的數(shù)中選出3個數(shù)組成一道乘法或除法算式，再說說哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)。

12? ?3? ?18? ?6? ?36? ?4? ?9

2.把下表中6的倍數(shù)涂色?？匆豢矗?的倍數(shù)也是幾的倍數(shù)？

3.一個數(shù)是42的因數(shù)，同時也是3的倍數(shù)，這個數(shù)可能是多少？

【設(shè)計意圖：作業(yè)A套餐屬于基礎(chǔ)題，是對“因數(shù)和倍數(shù)”這節(jié)課基礎(chǔ)知識的考查，要求人人都掌握。作業(yè)B套餐屬于提高題，是對因數(shù)和倍數(shù)知識的綜合考查，滿足部分學(xué)有余力學(xué)生的需求?！?/p>

總之，學(xué)生在完成數(shù)學(xué)作業(yè)中必然會出現(xiàn)錯誤，這些錯誤就是最好的生成性教學(xué)資料，如同反光鏡，折射出教學(xué)過程中存在的問題；如同放大鏡，放大了學(xué)困生還未掌握的知識點(diǎn)；如同顯微鏡，呈現(xiàn)每一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的落實(shí)情況。正是有了這樣的生成性資源，教師才能打造出基于學(xué)生立場的好課，真正幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決生活問題。

（責(zé)編 金 鈴）