解題研究：從解法研究走向解題教學(xué)設(shè)計(jì)

秦延延

［摘? 要］ 針對(duì)中考較難題，教師往往不只局限在答案獲取上，還會(huì)關(guān)注回顧反思階段的一題多解與模式識(shí)別. 當(dāng)然，更重要的是，要從解法的深度思考走向解題教學(xué)的精心預(yù)設(shè). 包括預(yù)設(shè)出較難題的鋪墊問(wèn)題、引例問(wèn)題、簡(jiǎn)化問(wèn)題、等價(jià)問(wèn)題、拓展問(wèn)題等，再根據(jù)由易到難的方式漸次呈現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生在解題學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)思考.

［關(guān)鍵詞］ 解題研究；自貢中考；深度思考；解題教學(xué)設(shè)計(jì)

每年中考試卷“新鮮出爐”之后，在一些自媒體公眾號(hào)、“解題群”都能看到不少教師的解題熱情，其中一題多解、巧思妙解、無(wú)字解法等“熱度很高”.然而，解題研究還需要從“一題多解”走向“多解歸一”，更需要從解法研究走向解題教學(xué)研究. 本文以一道2023年中考較難題為例，整理該題的解法思路與解題教學(xué)微設(shè)計(jì)，并進(jìn)行反思.

由一道中考題的思路突破及解后反思說(shuō)起

考題? （2013年四川省自貢市中考題）如圖1所示，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（4，0）的動(dòng)直線a，b的夾角∠OBA=30°，M是OB的中點(diǎn)，連接AM，則sin∠OAM的最大值是（? ? ）

思路突破：觀察△AOB，由已知條件可知OA為定長(zhǎng)4，它所對(duì)的∠OBA是定角30°，于是可聯(lián)想到“定弦定角”的解題經(jīng)驗(yàn)，所以構(gòu)造如圖2所示的圓P（以O(shè)A為一邊在第一象限取點(diǎn)P，構(gòu)造等邊三角形AOP，再以點(diǎn)P為圓心，PO的長(zhǎng)為半徑畫(huà)出圓P，點(diǎn)B的軌跡是優(yōu)弧OmA，不包括端點(diǎn)O，A）. 接著思考OB中點(diǎn)M的軌跡. 如圖2所示，連接PM，在大圓中由垂徑定理得PM⊥OB，由此有∠PMO=90°，結(jié)合OP是定長(zhǎng)，可知點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)P為直徑的圓的一段圓弧.接下來(lái)我們適當(dāng)刪除圖2中的一些線條，得到如圖3所示的“簡(jiǎn)化”圖形，進(jìn)一步研究∠OAM何時(shí)取得最大值.

在圖3中，點(diǎn)A是☉Q外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作☉Q的切線AM（切點(diǎn)M在第一象限），此時(shí)∠OAM最大.

解后回顧：從上面的思路突破來(lái)看，以下兩個(gè)“關(guān)鍵問(wèn)題”值得重視，讓我們“提取”分析如下.

關(guān)鍵問(wèn)題1：如圖5所示，在△AOB中，AO=4，∠B=30°，點(diǎn)M是邊OB的中點(diǎn)，分析點(diǎn)M的軌跡.

關(guān)鍵問(wèn)題2：如圖6所示，OP是☉Q的直徑，點(diǎn)M在☉Q上，且P，M都在OA的同側(cè)，當(dāng)AM與☉Q相切時(shí)，求sin∠OAM的值.

另解分析：對(duì)于“關(guān)鍵問(wèn)題2”，還可以借助高中“三角公式”直接計(jì)算. 如圖7所示，連接AQ，可分別求出∠OAQ，∠MAQ的正切值，然后運(yùn)用兩角和的正切公式，求出tan∠OAM的

教學(xué)環(huán)節(jié)1：基礎(chǔ)熱身

問(wèn)題1：在△ABC中，AB=4，∠ACB=30°.

（1）當(dāng)AC=BC時(shí)，求△ABC的面積.

（2）小明發(fā)現(xiàn)（1）中的情形，使得△ABC的面積取得了最大值. 你同意小明的發(fā)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）問(wèn)是“特例引路”，讓學(xué)生感受到頂點(diǎn)C在AB邊的垂直平分線上的特殊位置.而要解釋第（2）問(wèn)，則需要作出點(diǎn)C的軌跡（在一段優(yōu)弧上）. 第（3）問(wèn)根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，如圖8所示，有兩個(gè)符合題意的點(diǎn)C，且都為等腰三角形. 教學(xué)時(shí)教師要請(qǐng)注意訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：拾級(jí)而上

問(wèn)題2：如圖9所示，在△ABC中，AB=4，∠ACB=30°，BD是△ABC的中線.

（1）分析中線BD的最大值與最小值；

（2）當(dāng)∠ABD最大時(shí)，求中線BD的長(zhǎng).

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是

教學(xué)環(huán)節(jié)3：挑戰(zhàn)考題

問(wèn)題3：見(jiàn)上文“2013年四川省自貢市中考題”，解題時(shí)可參考上文的思路突破及解后反思，限于篇幅，這里略去.

教學(xué)組織：呈現(xiàn)考題后，教師要先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，將問(wèn)題的本質(zhì)看清，再分離圖形、簡(jiǎn)化問(wèn)題，看出需要突破哪些關(guān)鍵步驟，與前面“教學(xué)環(huán)節(jié)”中已經(jīng)研究的哪些問(wèn)題等價(jià)，這樣就可以快速“通過(guò)”較難步驟.對(duì)于思路較快的學(xué)生，可優(yōu)先讓他們講解思路，再安排其他學(xué)生復(fù)述思路，讓更多的學(xué)生都想通解題的關(guān)鍵步驟. 如果課堂時(shí)間不夠，解題過(guò)程或一些細(xì)節(jié)可以留作課后進(jìn)一步整理成解題筆記，而將課堂時(shí)間盡可能多地用在思路分析、關(guān)鍵步驟的突破上.

寫(xiě)在后面

筆者以為，“完整”的解題研究包括解題方法或思路的深度探究，含一題多解、多解歸一、結(jié)構(gòu)揭示、復(fù)雜問(wèn)題或圖形的分離與簡(jiǎn)化等；解題教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì)，包括鋪墊問(wèn)題的預(yù)設(shè)、變式問(wèn)題漸次呈現(xiàn)、較難題的思路啟示等預(yù)設(shè).而以上這些，都離不開(kāi)教師持續(xù)修煉與精進(jìn)命題改編的專業(yè)基本功.