借助模型意識(shí)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

劉偉

［摘? 要］ 文章以小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)為例，探討借助模型意識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題：借助好的情境，幫助學(xué)生入模；借助好的策略，幫助學(xué)生建模；借助好的活動(dòng)，幫助學(xué)生用模。通過(guò)這些教學(xué)策略能助力學(xué)生形成模型意識(shí)。

［關(guān)鍵詞］ 模型意識(shí)；建模過(guò)程；數(shù)學(xué)問(wèn)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)：讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)有意識(shí)地用數(shù)學(xué)概念解決生活問(wèn)題。

在小學(xué)階段，以“數(shù)量關(guān)系”為核心的數(shù)學(xué)模型分為三類：第一學(xué)段以運(yùn)算意義為主，包括加法意義、減法意義、乘法意義和除法意義；第二學(xué)段以建立模型為主，包括“分量+分量=總量”“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”；第三學(xué)段以模型表示為主，包括常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和計(jì)算公式等。同時(shí)，模型意識(shí)有助于學(xué)生開(kāi)展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

因此，教師要積極創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和學(xué)習(xí)時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷入模、建模和用模三個(gè)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

一、借助好的情境，幫助學(xué)生“入?！?/p>

為了幫助學(xué)生建立模型意識(shí)，教師首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好的任務(wù)情境。一個(gè)好的任務(wù)情境需要具有真實(shí)的背景，能讓學(xué)生感受到生活與數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活問(wèn)題和生活問(wèn)題可以建立數(shù)學(xué)模型；需要有故事的情節(jié)，豐富的故事情節(jié)可以吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；需要有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，讓學(xué)生從真實(shí)而復(fù)雜的情境中提取出有用的數(shù)學(xué)信息，并對(duì)數(shù)學(xué)信息進(jìn)行加工和改造，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

比如，教學(xué)“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”時(shí)，教材出示的情境是文具店里每支鋼筆的價(jià)格是12元，每本練習(xí)本的價(jià)格是3元，售貨員阿姨和小男孩的對(duì)話是“我買4支鋼筆和5本練習(xí)本”。在通常的教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)單價(jià)的含義，然后以列表格的方式引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)商品的單價(jià)、購(gòu)買的數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系，最后讓學(xué)生運(yùn)用“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系解決更多類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

從實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)這樣的情境創(chuàng)設(shè)過(guò)于單一，不利于學(xué)生建立“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”的數(shù)量關(guān)系模型。因此，在教學(xué)“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”一課時(shí)，筆者呈現(xiàn)了多樣的生活情境素材：足球75元/個(gè)，牛奶48元/箱，筆記本4元/本，電腦5880元/臺(tái)，房屋25000元/平方米，醬油12.9元/瓶，口罩10元/5個(gè)等。然后，筆者設(shè)計(jì)了一系列的學(xué)習(xí)任務(wù)：先讓學(xué)生選一個(gè)單價(jià)，說(shuō)一說(shuō)單價(jià)表示的含義；再讓學(xué)生經(jīng)歷購(gòu)物過(guò)程，編一編購(gòu)物的小故事；最后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，算一算同桌的購(gòu)物要多少錢。

在教學(xué)過(guò)程中，教師首先模擬了生活中的購(gòu)物情境，呈現(xiàn)各種各樣的購(gòu)物素材，讓學(xué)生在模擬的真實(shí)情境中選擇自己的物品并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題；然后計(jì)算總價(jià)中建立單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的數(shù)量關(guān)系。這樣的教學(xué)活動(dòng)通過(guò)好的情境打通了生活概念和數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，利用生活概念幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)的情境更加真實(shí)多元，有利于學(xué)生更好地建立模型意識(shí)。

二、借助好的策略，幫助學(xué)生建模

教師在幫助學(xué)生建立模型的過(guò)程中需要形成好的策略。一個(gè)好的策略包括以下三個(gè)方面：首先是提取信息，學(xué)生需要在理解題意的基礎(chǔ)上從條件出發(fā)或者從問(wèn)題出發(fā)篩選出有用的數(shù)學(xué)信息；其次是尋找方法，學(xué)生需要建立解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的模型和策略，關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)問(wèn)題和條件之間的關(guān)系；最后是回顧反思，學(xué)生需要從解決問(wèn)題的過(guò)程中提煉總結(jié)解題過(guò)程和解題方法，從遇到困難的過(guò)程中反思為什么會(huì)遇到這個(gè)困難、應(yīng)該如何解決這個(gè)困難。

以教學(xué)“乘加和乘減”一課為例，筆者充分利用教材中的情境：這是生物組養(yǎng)的金魚，每個(gè)魚缸里有4條金魚，生物組有這樣的3個(gè)魚缸還多1條魚，計(jì)算一共有多少條金魚。很快，學(xué)生用不同的算式解決了這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：有的學(xué)生根據(jù)加法的含義寫出連加算式4+4+4+1=13（條），有的學(xué)生根據(jù)乘加的含義寫出乘加算式4×3+1=13（條）?？梢?jiàn)，學(xué)生對(duì)乘加的學(xué)習(xí)幾乎沒(méi)有困難，如果教師不教乘加的內(nèi)容，大部分學(xué)生也能寫出這樣的乘加算式。

因此，教師在確定教學(xué)目標(biāo)時(shí)不能滿足于讓學(xué)生根據(jù)文字或圖畫寫出乘加算式，還要進(jìn)一步利用乘加的模型幫助學(xué)生串聯(lián)起一類問(wèn)題。在學(xué)生寫出連加或乘加算式的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生用線段圖來(lái)表示題目的意思，同時(shí)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段圖提出不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題：有的學(xué)生提出“黑金魚有12條，花金魚有1條，一共有多少條金魚”，有的學(xué)生提出“黑金魚比花金魚多11條，花金魚有1條，一共有多少條金魚”，有的學(xué)生提出“花金魚比黑金魚少11條，花金魚有1條，一共有多少條金魚”，有的學(xué)生提出“男生有3組，每組4人，女生有1人，一共有多少人”。當(dāng)學(xué)生從不同角度提出數(shù)學(xué)問(wèn)題后，教師組織學(xué)生討論這些數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的共性。

在教學(xué)過(guò)程中，教師先引導(dǎo)學(xué)生從文字和圖示中提煉出乘加算式和線段圖，再根據(jù)同一個(gè)線段圖提出不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并列式解決這些問(wèn)題。從一道題寫出多種方法，再到多個(gè)問(wèn)題用同一個(gè)線段圖，這個(gè)過(guò)程中學(xué)生充分利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，得出了不同的解題思路和解題方法。

三、借助好的活動(dòng)，幫助學(xué)生用模

當(dāng)學(xué)生頭腦中有了較多的數(shù)學(xué)模型后，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好的活動(dòng)幫助學(xué)生“用?！苯鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題。一個(gè)好的活動(dòng)包括以下三個(gè)條件：首先是做透題目，教師在備課時(shí)要形成“少就是多”的理念，做到精選好題、用足好題，發(fā)揮一題多解和多題歸一的價(jià)值；其次是滲透策略，教師要在教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上和學(xué)生一起總結(jié)出策略性知識(shí)；最后是應(yīng)用創(chuàng)造，教師要設(shè)計(jì)實(shí)踐性活動(dòng)和跨學(xué)科主題活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性能力。

以教學(xué)“100以內(nèi)的加法和減法（三）”一課為例，筆者在進(jìn)行單元復(fù)習(xí)時(shí)以“分量+分量=總量”這個(gè)數(shù)學(xué)模型為載體，讓學(xué)生變形出“分量1=總量-分量2”和“分量2=總量-分量1”這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，筆者圍繞“分量+分量=總量”這個(gè)模型創(chuàng)設(shè)了以下三個(gè)活動(dòng)：

活動(dòng)一是“我會(huì)發(fā)現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“19+27+26、38+42-33、90-25-28”編寫數(shù)學(xué)故事，這個(gè)活動(dòng)的目的是不僅能讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系，還能讓學(xué)生體會(huì)到同一個(gè)算式可以編出不一樣的數(shù)學(xué)故事；

活動(dòng)二是“我會(huì)表達(dá)”，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出這個(gè)單元中的數(shù)學(xué)線段圖并編寫數(shù)學(xué)故事，這個(gè)活動(dòng)的目的是不僅培養(yǎng)學(xué)生整理和歸納的能力，還培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方式表征自己的思考；

活動(dòng)三是“我會(huì)總結(jié)”，引導(dǎo)學(xué)生用幾個(gè)詞或幾句話總結(jié)自己的學(xué)習(xí)收獲，這個(gè)活動(dòng)的目的是讓學(xué)生在完成的過(guò)程中看見(jiàn)自己的學(xué)習(xí)成果，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

在教學(xué)過(guò)程中，教師借助任務(wù)活動(dòng)幫助學(xué)生進(jìn)行單元復(fù)習(xí)，讓學(xué)生用“模型”表達(dá)數(shù)學(xué)，用“模型”探索數(shù)學(xué)，用“模型”發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，最終培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)模型中的數(shù)學(xué)故事，提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象出這些數(shù)學(xué)問(wèn)題背后的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)的探究活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。

總之，模型意識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，教師要在教學(xué)中通過(guò)情境、策略和活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷入模、建模和用模的過(guò)程，幫助學(xué)生掌握基本的數(shù)量關(guān)系，抽象概括出數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。