超振蕩望遠(yuǎn)成像系統(tǒng)中球差影響分析

柳少揚(yáng)，杜文娟*，焦 蛟，姚 納，孫 旭，倪 磊，李文凱

1 湘潭大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105；

2 電子科技大學(xué)航空航天學(xué)院，四川 成都 610054；

3 西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 綿陽 621010；

4 中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所光電工程總裝中心，四川 成都 610209

1 引言

由于光的衍射，望遠(yuǎn)系統(tǒng)的最小角分辨力是1.22λ/D[1]，被稱為瑞利判據(jù)。為了獲得小于瑞利判據(jù)的分辨力，科研人員提出了許多超分辨成像技術(shù)。熒光顯微成像技術(shù)廣泛應(yīng)用于遠(yuǎn)場(chǎng)超分辨成像，例如，全內(nèi)反射熒光顯微技術(shù) (total internal reflection fluorescent microscopy，TIRFM)[2]，受激輻射損耗顯微技術(shù) (stimulated emission depletion microscopy，SEDM)[3]等。但是，當(dāng)目標(biāo)物位于遠(yuǎn)處時(shí)，無法使用熒光染劑標(biāo)記被測(cè)物。近幾年，頻譜平移技術(shù)的興起，實(shí)現(xiàn)了無熒光標(biāo)記的遠(yuǎn)場(chǎng)超分辨成像，例如，傅里葉疊層顯微成像 (fourier ptychography microscopy，F(xiàn)PM)[4]。該技術(shù)使用不同角度光線照明目標(biāo)物，平移了目標(biāo)物的頻譜，將截止頻率以外的空間頻率搬移到了成像系統(tǒng)的通帶內(nèi)，保留了目標(biāo)物的高頻信息從而提升分辨力。但是，很難對(duì)遠(yuǎn)處的目標(biāo)物照明。因此，上面這些應(yīng)用于顯微系統(tǒng)的超分辨成像技術(shù)很難移植到望遠(yuǎn)系統(tǒng)中。

近年來，超分辨成像領(lǐng)域發(fā)展出一種新的技術(shù)，即對(duì)光場(chǎng)進(jìn)行超振蕩調(diào)制[5-6]，該技術(shù)不需要特殊照明光場(chǎng)，可應(yīng)用于望遠(yuǎn)系統(tǒng)。2006 年Berry 在數(shù)學(xué)上證明了超振蕩現(xiàn)象，即局部視場(chǎng)內(nèi)光場(chǎng)振蕩速度超過其最快的傅里葉分量[7]，空間域上壓縮了焦斑，理論上能實(shí)現(xiàn)任意小的光能量聚焦。1952 年Torraldo 將超分辨技術(shù)引入光學(xué)領(lǐng)域，發(fā)展成了光瞳濾波技術(shù)[8-10]，該技術(shù)可以超振蕩調(diào)制光場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)超瑞利判據(jù)聚焦[11]。2008 年Huang 設(shè)計(jì)了由金屬屏上的納米孔陣列模擬的超振蕩透鏡(super-oscillatory lens，SOL)[12]，實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了660 nm 波長(zhǎng)的平面波聚焦，焦斑約為0.6倍瑞利判據(jù)。2017 年Muyuan Li 結(jié)合矢量角譜和遺傳算法的優(yōu)化方法設(shè)計(jì)得到SOL，在光軸上實(shí)現(xiàn)任意數(shù)量尺寸小于瑞利判據(jù)的焦斑，且能量分布符合理論設(shè)計(jì)[13]。另外，光瞳濾波技術(shù)還可實(shí)現(xiàn)超分辨成像[14-15]。2015 年羅先剛團(tuán)隊(duì)提出超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)，使用532 nm 激光照明雙圓孔，在實(shí)驗(yàn)中得到的最小分辨力為0.55 倍瑞利判據(jù)，并且疊加多個(gè)局部視場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜目標(biāo)和大型目標(biāo)的成像[16]。2020 年Wenli Li 基于多相位調(diào)制(multiple-phase-modulated，MPM)方法，提出具有高聚焦效率的SOL，降低旁瓣的同時(shí)其工作距離達(dá)到了2 mm[17]，遠(yuǎn)高于先前報(bào)道的微米級(jí)SOL 工作距離。

光場(chǎng)的超振蕩調(diào)制還可通過超表面得以實(shí)現(xiàn)，不僅能夠超分辨聚焦及成像，同時(shí)在一定波長(zhǎng)范圍內(nèi)具有消色差[18]、增大入射角[19]等功能。2018 年Santiago Legaria 設(shè)計(jì)得到一種基于六邊形單元結(jié)構(gòu)的超表面SOL，并提出一種基于進(jìn)化算法的優(yōu)化方法，以減小旁瓣，提高聚焦處的強(qiáng)度[20]。同年羅先剛團(tuán)隊(duì)利用超表面相位調(diào)制的近似無色散優(yōu)點(diǎn)，提出一種用于寬帶超分辨成像的超表面超振蕩濾波器，實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了其在可見光波段的分辨力約為瑞利判據(jù)的0.64 倍[21]，該團(tuán)隊(duì)最近也提出了角向超振蕩透鏡[22]等新方法。然而，值得注意的是，利用超表面結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)超振蕩調(diào)制的原理相對(duì)復(fù)雜，其加工也具有一定難度。2022 年有研究報(bào)道了利用平面液晶幾何相位器件構(gòu)建的超振蕩器件[23]實(shí)現(xiàn)超分辨，但SOL 具有成本優(yōu)勢(shì)。

在光學(xué)系統(tǒng)中，球差會(huì)降低其分辨力，且無法完全消除。目前已有研究工作報(bào)道了球差對(duì)共聚焦顯微(confocal microscopy，CM)[24-25]、寬視場(chǎng)顯微(widefield microscope，WFM)[26-27]以及共聚焦光片顯微(confocal light sheet microscopy，CLSM)[28]等系統(tǒng)的影響。對(duì)于望遠(yuǎn)系統(tǒng)，研究人員提出了校正其球差的方法。2009 年Jong Ung Lee 在設(shè)計(jì)三鏡望遠(yuǎn)系統(tǒng)的過程中，利用圓錐常數(shù)和兩個(gè)自由度對(duì)球差等四種三階像差進(jìn)行了校正[29]。2019 年González-Acu?a 基于幾何光學(xué)原理，提出了反射-折射望遠(yuǎn)系統(tǒng)非球面鏡設(shè)計(jì)的解析通解，能推導(dǎo)出透鏡表面的形狀，用于校正由系統(tǒng)中任意數(shù)量的前折光面產(chǎn)生的球差[30]。關(guān)于球差對(duì)SOL，特別是在望遠(yuǎn)成像方面的影響，目前相關(guān)研究工作報(bào)道較少。除此之外，針對(duì)超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)，由于加工誤差，制備結(jié)構(gòu)精度較難達(dá)到校正球差的理論值，因此，分析超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)中球差帶來的影響，以及確定該系統(tǒng)下相應(yīng)的球差容許范圍，至關(guān)重要。

本文研究了超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)中球差對(duì)成像的影響，并計(jì)算出該系統(tǒng)下初級(jí)球差的容許范圍。在1.5 倍瑞利判據(jù)的視場(chǎng)內(nèi)，球差會(huì)導(dǎo)致強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的旁瓣升高，降低系統(tǒng)的分辨力。基于光學(xué)超振蕩原理，利用線性規(guī)劃的優(yōu)化方法設(shè)計(jì)望遠(yuǎn)系統(tǒng)，在532 nm 工作波長(zhǎng)下最高能分辨中心距為0.68 倍瑞利判據(jù)的三縫。建立了超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)球差的定量分析數(shù)學(xué)模型，對(duì)于該系統(tǒng)，最大容許均方根(root mean square，RMS)值為0.041 倍波長(zhǎng)的初級(jí)球差干擾。同時(shí)，研究了窄帶情況下球差對(duì)該系統(tǒng)成像的影響。本文在光學(xué)測(cè)量、環(huán)境監(jiān)視、超分辨望遠(yuǎn)等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用。

2 球差對(duì)超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的影響分析

超振蕩函數(shù)由多個(gè)波函數(shù)疊加而成，在局部區(qū)域，其頻率超過了波函數(shù)的最高頻率。本文設(shè)計(jì)了一個(gè)超振蕩望遠(yuǎn)成像系統(tǒng)，并使用三縫作為目標(biāo)物，來測(cè)試分辨能力。圖1 是超振蕩望遠(yuǎn)成像系統(tǒng)的示意圖，白光光源經(jīng)過窄帶濾波片后得到中心波長(zhǎng)為532 nm 的非相干光。相比于相干光照明，非相干光的光場(chǎng)沒有同頻率、同振動(dòng)方向、恒定相位差[31]等嚴(yán)苛條件。非相干光不容易被大氣湍流等干擾影響，適合望遠(yuǎn)系統(tǒng)，另外非相干光照明能得到分辨力更高的成像結(jié)果[32]。L1和L2是透鏡，目標(biāo)物在L1的前焦面處，經(jīng)過非相干光照明后，相當(dāng)于無窮遠(yuǎn)處的物體。經(jīng)過超振蕩器件(super-oscillatory，SO)及L2的聚焦后，在CCD 相機(jī)上形成像。

圖1 超振蕩望遠(yuǎn)成像系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of the super-oscillatory telescopic imaging system

超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)的核心是SOL，本文基于Torraldo 方法[9,33-34]設(shè)計(jì)SOL，該方法將SOL 的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，隨后將優(yōu)化問題變?yōu)榫€性規(guī)劃問題[35-36]，通過求解線性規(guī)劃的全局最優(yōu)解優(yōu)化得到SOL 的參數(shù)。物空間的點(diǎn)光源經(jīng)望遠(yuǎn)系統(tǒng)后，其能量主要分布在焦平面附近，可以使用焦平面的光強(qiáng)分布(強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))來研究成像結(jié)果。圖2(a)是SOL 壓縮系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)示意圖，圖2(b)是SO的徑向截面圖，垂直入射的平面波經(jīng)過SO 和透鏡后，若滿足菲涅耳近似條件，那么焦面上強(qiáng)度分布由式(1)給出：

圖2 (a) SOL 壓縮強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)示意圖；(b) SO 的徑向截面圖Fig.2 (a) Schematic of the SOL compresses the intensity point spread function (PSF);(b) Section of the SO along the diameter direction

其中：u(r1)是平面波經(jīng)過SO 后的復(fù)振幅，J0是零階Bessel 函數(shù)，r1、r2分別表示出瞳面極坐標(biāo)和焦面極坐標(biāo)。工作波長(zhǎng)λ為532 nm，透鏡焦距f為1000 mm，透鏡半徑R為4 mm。

SOL 的工作原理是其中的SO 調(diào)制波前相位，使得焦斑的主瓣變窄，為獲得尺寸小于瑞利判據(jù)的焦斑，需設(shè)計(jì)相應(yīng)的SO。預(yù)先設(shè)置強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)I(r2)，第一零點(diǎn)位于0.65r0(r0=0.61λ/NA，表示1 倍瑞利判據(jù))處，視場(chǎng)為3r0，視場(chǎng)內(nèi)最高旁瓣與主瓣高度之比-旁瓣比(sideloberatio，SR)為0.05。確定以上的約束條件后，將焦面中心強(qiáng)度I(0)作為優(yōu)化目標(biāo)，當(dāng)其達(dá)到最大值時(shí)可得到相應(yīng)的u(r1)。優(yōu)化后徑向強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如圖3(a)所示，可以看出該點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)符合預(yù)先設(shè)置。其對(duì)應(yīng)u(r1)的相位Ф(r1)如圖3(b)所示，即SO 的相位調(diào)制函數(shù)，圖中可知獲得的π 相位突變點(diǎn)分別為 0.202R(0.808 mm)、0.404R(1.616 mm)、0.595R(2.38 mm)、0.776R(3.104 mm)、0.927R(3.708 mm)。可知，SO 是0，π 相移的純相位器件。

圖3 (a) 優(yōu)化后徑向強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；(b) SO 的相位調(diào)制函數(shù)Fig.3 (a) The intensity PSF along the diameter direction after optimization;(b) Phase modulation function of the SO

在幾何光學(xué)中，平行光經(jīng)過透鏡后，理論上應(yīng)該匯聚于一點(diǎn)。但是，由于透鏡的中心區(qū)域和邊緣區(qū)域?qū)獾木劢鼓芰Σ煌?，?dǎo)致平行光在焦面上并不是形成一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)以光軸為對(duì)稱中心的彌散圓，這種像差被稱為球差。對(duì)于SOL，其球差對(duì)成像效果的影響亦不可忽略。1934 年荷蘭科學(xué)家Zernike 提出了Zernike 多項(xiàng)式[37]用于描述像差，如式(2)：

式中：

式(2)中r和θ表示相位面上的歸一化極坐標(biāo)，cnm、snm是像差系數(shù)，m、n取不同值代表不同的像差，δm0是克羅內(nèi)克符號(hào)，是n次多項(xiàng)式。初級(jí)球差的大小和曲率半徑、厚度、折射率密切相關(guān)，而高級(jí)球差的數(shù)值較小且相對(duì)固定，校正球差的過程就是改變初級(jí)球差，最理想為初級(jí)球差和高級(jí)球差互相補(bǔ)償[31]，但由于加工等誤差無法實(shí)現(xiàn)也無必要，只需將初級(jí)球差限制在一定范圍內(nèi)即可。當(dāng)n=4，m=0 時(shí)，Zernike 多項(xiàng)式代表初級(jí)球差。對(duì)于初級(jí)球差，由于m為0，此時(shí)Zernike 多項(xiàng)式Wnm(r,θ)與角度坐標(biāo)θ無關(guān)，初級(jí)球差帶來的相位變化是。對(duì)于高階球差，m取值均為0，因此也適用這一結(jié)論。本文以初級(jí)球差為例，考慮球差對(duì)系統(tǒng)的影響，則球差影響下超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為

超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)徑向強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)如圖4(a)所示，其中紅線為無球差情況下強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，其第一零點(diǎn)位于0.65r0，半峰全寬(full width at half maxima，F(xiàn)WHM)是0.5776r0。藍(lán)線為考慮RMS 值為0.042λ的初級(jí)球差情況下強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，其第一零點(diǎn)位于0.59r0，F(xiàn)WHM 是0.5494r0，中心高度是前者的1.921 倍。圖中可知，球差帶來視場(chǎng)中的高旁瓣，SR 是1.72，超過了線性優(yōu)化中的約束條件，影響超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像質(zhì)量。圖4(b)為RMS 值為0.042λ的初級(jí)球差分布圖。

圖4 (a) 超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)徑向強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；(b) RMS 值為0.042λ 的初級(jí)球差分布Fig.4 (a) The intensity PSF along the diameter direction in the super-oscillatory telescopic system;(b) Distribution of the primary spherical aberration with a RMS value of 0.042λ

考慮到圖1 中窄帶濾波片無法濾出單一工作波長(zhǎng)，仍舊存在一定帶寬，因此需要分析在窄帶范圍內(nèi)超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)中球差帶來的影響。窄帶情況下透鏡焦距變化可忽略不記。圖2 中SO 結(jié)構(gòu)若采用石英玻璃基底制備，需要滿足在532 nm 工作波長(zhǎng)下玻璃臺(tái)階能夠產(chǎn)生π 的相位差。該相位差可由光經(jīng)過覆蓋臺(tái)階的區(qū)域相比于沒有覆蓋臺(tái)階的區(qū)域所產(chǎn)生d(n-1)的光程差決定，其中d為玻璃臺(tái)階的高度，n為玻璃的折射率，因此相位差Ф由式(6)確定：

岸線類型識(shí)別主要采用圖上人工交互法的方式識(shí)別和外業(yè)核查屬性相結(jié)合的方式進(jìn)行岸線類型。結(jié)合海岸線數(shù)據(jù)等已有岸線調(diào)查矢量信息，遵循岸線識(shí)別原則，利用不同類型岸線在影像上的形態(tài)特征、紋理特征等特征，識(shí)別人工岸線和自然岸線類型。

532 nm 工作波長(zhǎng)下相位差Ф=π 時(shí)，計(jì)算得出玻璃臺(tái)階的高度d=578 nm。窄帶范圍內(nèi)，當(dāng)工作波長(zhǎng)變化時(shí)，該結(jié)構(gòu)帶來的相位差Ф將不再是π。本文以中心頻率為532 nm 工作波長(zhǎng)、10 nm 帶寬的濾波片為例，討論窄帶情況下不同初級(jí)球差對(duì)系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)中心值、FWHM 的影響，如圖5 所示。圖5(a)是527 nm、532 nm、537 nm 工作波長(zhǎng)下不同初級(jí)球差系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的中心值相對(duì)于532 nm 工作波長(zhǎng)無球差系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)中心值的變化。由圖可知，在上文給定的SO 結(jié)構(gòu)下，不同工作波長(zhǎng)下中心強(qiáng)度及FWHM 隨初級(jí)球差RMS 值的變化規(guī)律是不同的。其中，527 nm、532 nm 工作波長(zhǎng)的中心強(qiáng)度隨RMS 值增加而增加，而537 nm 工作波長(zhǎng)的中心強(qiáng)度隨RMS 值在0.032λ處達(dá)到最小值。在相同的RMS 值條件下，527 nm 工作波長(zhǎng)的中心強(qiáng)度最大。圖5(b)是527 nm、532 nm、537 nm 工作波長(zhǎng)下不同初級(jí)球差系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的FWHM變化。其中527 nm、532 nm 工作波長(zhǎng)下，RMS 值低于0.045λ的初級(jí)球差對(duì)FWHM 影響較小，而537 nm 工作波長(zhǎng)下FWHM 在0.042λ處達(dá)到最小值。在相同的RMS 值條件下，527 nm 工作波長(zhǎng)的FWHM最大。

圖5 (a) 不同工作波長(zhǎng)，不同初級(jí)球差系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)相對(duì)中心值；(b) 不同工作波長(zhǎng)，不同初級(jí)球差系統(tǒng)FWHM 相對(duì)值Fig.5 (a) Relative central values of the intensity PSF in different primary spherical aberration systems under different working wavelengths;(b) Relative values of FWHM in different primary spherical aberration systems under different working wavelengths

3 超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像分析

非相干成像系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)度是線性且空間不變的，并且系統(tǒng)的強(qiáng)度脈沖響應(yīng)是振幅脈沖響應(yīng)模的平方[38]。因此當(dāng)使用非相干光照明時(shí)，像強(qiáng)度Iim(X,Y)是強(qiáng)度脈沖響應(yīng)|h(X,Y)|2和理想像強(qiáng)度Ig(X,Y)的卷積，表示為[39]：

其中，h(X,Y)是振幅脈沖響應(yīng)。

為驗(yàn)證超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)超越衍射極限的分辨力，本文使用532 nm 平面波垂直照明物體，在透鏡半徑為4 mm，焦距為1000 mm 的情況下，根據(jù)瑞利判據(jù)可知衍射受限望遠(yuǎn)系統(tǒng)的分辨極限為81.1 μm。本文采用三縫結(jié)構(gòu)作為目標(biāo)物，中心距為55.148 μm，大約是瑞利判據(jù)的0.68 倍，單個(gè)狹縫長(zhǎng)度是2 倍瑞利判據(jù)。圖6 是不同望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)三縫結(jié)構(gòu)的成像結(jié)果，系統(tǒng)視場(chǎng)均為1.5 倍瑞利判據(jù)。圖6(a)為衍射受限望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)三縫目標(biāo)物的成像，可知其無法分辨；圖6(b)表明超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)能夠清楚地分辨三縫，成像對(duì)比度為0.153。對(duì)比結(jié)果表明，超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)具備超越衍射極限成像的能力。其視場(chǎng)受限問題可考慮采用視場(chǎng)拼接方法實(shí)現(xiàn)大視場(chǎng)超分辨成像。

圖6 不同望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)三縫結(jié)構(gòu)的成像結(jié)果。(a) 衍射受限望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)三縫結(jié)構(gòu)的成像結(jié)果；(b) 超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)三縫結(jié)構(gòu)的成像結(jié)果；(c) 紅線和藍(lán)線分別為(a)和(b)的中心豎直截面強(qiáng)度分布Fig.6 Imaging results of the three-slit struct in different telescopic systems.(a) The imaging result of the three-slit struct in the diffraction limited telescopic system;(b) The imaging result of the three-slit struct in the super-oscillatory telescopic system;(c) The red and blue lines are the intensity distribution of the central vertical section of (a) and (b),respectively

為研究超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)中不同初級(jí)球差對(duì)像的影響，在該系統(tǒng)出瞳處加入不同RMS 值的初級(jí)球差，成像結(jié)果如圖7 所示。在532 nm 的工作波長(zhǎng)下，初級(jí)球差的RMS 值分別是(a) 0.01λ、(b) 0.025λ、(c) 0.042λ時(shí)，超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)針對(duì)三縫目標(biāo)物體的成像結(jié)果，其中心豎直截面的像對(duì)比度分別為0.1587、0.1702、0.152，像與視場(chǎng)內(nèi)最大強(qiáng)度的比值(像的相對(duì)強(qiáng)度)逐漸降低。對(duì)于入射光的窄波帶成像效果，圖8 給出工作波長(zhǎng)分別是(a) 527 nm、(b) 537 nm 時(shí)，無球差超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)針對(duì)三縫目標(biāo)物的成像結(jié)果，可知其中心豎直截面的像對(duì)比度分別為0.0798、0.0817，和532 nm 工作波長(zhǎng)的成像結(jié)果相比，對(duì)比度有所下降。圖8(c)中工作波長(zhǎng)為527 nm 和537 nm、無球差時(shí)系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與中心點(diǎn)的比值幾乎相同，所以成像結(jié)果的中心豎直截面相對(duì)強(qiáng)度幾乎一樣。

圖7 (a)-(c) 分別為RMS 值為0.01λ、0.025λ、0.042λ 的初級(jí)球差超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)三縫結(jié)構(gòu)的成像結(jié)果；(d) 紅、藍(lán)、黑線分別為(a)、(b)、(c)的中心豎直截面強(qiáng)度分布Fig.7 (a)-(c) Imaging results of the three-slit struct in the super-oscillatory telescopic system with primary spherical aberrations which RMS values are 0.01λ,0.025λ and 0.042λ,respectively;(d) The red,blue and black lines are the intensity distribution of the central vertical section of (a),(b),and (c),respectively

4 分析

為研究球差對(duì)超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像細(xì)節(jié)的影響，從零開始逐漸增加初級(jí)球差的RMS 值，記錄不同RMS 值下局部視場(chǎng)中的成像結(jié)果，并計(jì)算中心豎直截面的像對(duì)比度，確定系統(tǒng)容許的極限RMS 值，從而指導(dǎo)光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。圖9 是工作波長(zhǎng)分別為527 nm、532 nm、537 nm 時(shí)，不同初級(jí)球差超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)對(duì)三縫結(jié)構(gòu)的成像對(duì)比度，圖中虛線位置表示對(duì)比度為0.153。

圖9 不同初級(jí)球差，不同工作波長(zhǎng)下，超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)中像的中心豎直截面對(duì)比度Fig.9 With different spherical aberrations,the contrast of the central vertical section of the image in the super-oscillatory telescopic system under different working wavelengths

由圖8(c)可知，當(dāng)初級(jí)球差的RMS 值等于0，即不考慮球差的影響時(shí)，532 nm 工作波長(zhǎng)下對(duì)比度明顯高于527 nm 及537 nm 工作波長(zhǎng)對(duì)比度。這是源于SO 僅在532 nm 的工作波長(zhǎng)下才能實(shí)現(xiàn)恰好為π的相位差，其他工作波長(zhǎng)下相位差將改變，此時(shí)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不再滿足預(yù)設(shè)的約束條件。因此若相位調(diào)制結(jié)構(gòu)能夠滿足對(duì)于一定范圍內(nèi)任意工作波長(zhǎng)均能實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的π 相位差，就能避免不同工作波長(zhǎng)對(duì)成像效果的影響，即消色差超表面。

由圖9 可知，532 nm 工作波長(zhǎng)下望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像對(duì)比度在RMS 值為0.025λ時(shí)達(dá)到最大值0.1702。雖然考慮較小球差時(shí)系統(tǒng)成像中心對(duì)比度有所增加，但此時(shí)視場(chǎng)周圍光強(qiáng)較高，影響目標(biāo)物體邊緣位置處的成像效果，如圖7 中所示。滿足對(duì)比度高于0.153 的前提下，超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)最大容許RMS 值為0.041λ的初級(jí)球差，盡管此時(shí)視場(chǎng)有限，但可通過視場(chǎng)拼接等方式擴(kuò)大視場(chǎng)范圍。如果初級(jí)球差的RMS 值高于0.041λ，該系統(tǒng)將無法分辨中心距為0.68 倍瑞利判據(jù)的目標(biāo)物。527 nm 工作波長(zhǎng)下望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像對(duì)比度在RMS 值變化范圍內(nèi)始終小于0.153，其原因在于該工作波長(zhǎng)下成像對(duì)比度隨RMS值的變化較小。0.04λ處對(duì)比度最大為0.0986，意味著該波長(zhǎng)下在任意初級(jí)球差范圍內(nèi)都無法分辨目標(biāo)物體。537 nm 工作波長(zhǎng)下望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像對(duì)比度隨著RMS 值增加有所提升，在0.022λ處成像對(duì)比度超過0.153，能夠分辨目標(biāo)物體，且隨著RMS 值繼續(xù)提升，對(duì)比度在0.035λ處達(dá)到峰值0.1779。該工作波長(zhǎng)下，RMS 值在0.022λ到0.048λ范圍內(nèi)，均能滿足對(duì)比度高于0.153。

由此可知，工作波長(zhǎng)的不同、球差的大小對(duì)超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)成像的影響，其本質(zhì)都是改變了出瞳面光場(chǎng)相位，導(dǎo)致相位差不再為π，從而影響成像質(zhì)量。

5 結(jié)論

本文分析了超振蕩望遠(yuǎn)成像系統(tǒng)中球差的影響，并以初級(jí)球差為例計(jì)算出容許范圍。該超振蕩望遠(yuǎn)成像系統(tǒng)依據(jù)超振蕩理論及線性規(guī)劃的優(yōu)化思想設(shè)計(jì)，在532 nm 工作波長(zhǎng)下，最高可分辨中心距為0.68 倍瑞利判據(jù)的三縫結(jié)構(gòu)。構(gòu)建了伴隨球差的超振蕩望遠(yuǎn)系統(tǒng)強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，基于該模型精確得出了容許的初級(jí)球差RMS 極限值為0.041λ。同時(shí)分析了窄帶工作波長(zhǎng)527 nm、537 nm與不同初級(jí)球差共同作用于該系統(tǒng)的成像結(jié)果。該模型在光學(xué)測(cè)量、環(huán)境監(jiān)視、超分辨望遠(yuǎn)等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景。