亞瑞利散斑場的二階累積量鬼成像

李金遙，姚治海，王曉茜，趙環(huán)

（長春理工大學(xué) 物理學(xué)院，長春 130022）

鬼成像（GI）又稱為雙光子成像，是傳統(tǒng)光學(xué)成像與現(xiàn)代信息技術(shù)相結(jié)合的新型成像手段。與傳統(tǒng)的成像方案不同，GI 利用二階關(guān)聯(lián)函數(shù)對所獲得的光強信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)計算，從而重構(gòu)待測物體的空間信息。相比于傳統(tǒng)成像，它有很多優(yōu)勢，例如，它可以實現(xiàn)無透鏡成像［1］、遮擋物成像［2］，甚至在大氣湍流和散射介質(zhì)中也可以成像［3-4］，因此，在光學(xué)研究領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注。

鬼成像的理論實現(xiàn)思路最早由Klyshko 提出［5］。1995 年，Pittman 等人［6］第一次在實驗上實現(xiàn)了糾纏光的關(guān)聯(lián)成像，這也標(biāo)志著鬼成像的正式誕生。2002 年，Bennink 等人［7］利用經(jīng)典光源實現(xiàn)了鬼成像，從而證明了沒有量子糾纏性質(zhì)的經(jīng)典光源也可以實現(xiàn)鬼成像。2004 年，Gatti 等人［8］提出了熱光源鬼成像方案，2005 年Valencia等人［9］采用激光通過旋轉(zhuǎn)毛玻璃的方式獲得了贗熱光源并且完成了贗熱光源的鬼成像實驗。2008 年，Shapiro［10］提出了計算鬼成像，2009 年，Bromberg 等人［11］驗證了其可行性。然而GI 也存在局限性，熱光GI 的能見度和信噪比很低，特別是對于復(fù)雜的灰度物體，而且瞬時GI 也不能像傳統(tǒng)成像那么容易獲得，需要進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)收集和處理。隨著對鬼成像的更深入研究，人們對提高GI 成像質(zhì)量提出了許多優(yōu)化方案。例如歸一化GI［11］、壓縮GI［12］、高階GI［13-17］、對應(yīng)成像［18］等。雖然上述方案可以提高信噪比和能見度，但關(guān)于如何提高分辨率的論文很少，而分辨率同樣是評價圖像質(zhì)量的重要指標(biāo)。2016 年，Kuplicki 等人［19］采用非瑞利散斑作為光源進(jìn)行GI，發(fā)現(xiàn)非瑞利散斑作為光源時可以獲得更高的成像分辨率。此外，2022 年Zhao 等人［20］提出了二階累積量GI 方案來提高成像分辨率，應(yīng)用新的成像信息“二階累積量”代替了原成像信息實現(xiàn)了更高的分辨率成像，并將該方案稱為二階累積量鬼成像（SCGI）。

本文通過非瑞利散斑場對SCGI 的成像信息進(jìn)行優(yōu)化，分析亞瑞利散斑對SCGI 成像信息的影響。發(fā)現(xiàn)亞瑞利散斑作為照明散斑時SCGI 成像結(jié)果要優(yōu)于瑞利散斑SCGI 的成像結(jié)果。最后設(shè)計數(shù)值仿真，其仿真結(jié)果與理論分析相一致。

1 理論分析

鬼成像系統(tǒng)的原理圖如圖1 所示，選擇一個可編程的先驗光源作為成像系統(tǒng)的光源，在此系統(tǒng)中是應(yīng)用數(shù)字微鏡器件（DMD）生成的非相干光源，照明光在物體表面的強度分布可以通過計算的方式得到，同時透過物體的總光強可由桶探測器Dt測量獲得。然后，通過二階關(guān)聯(lián)函數(shù)可得到待測物體的空間信息。

圖1 鬼成像實驗原理圖

假設(shè)光源是波長為λ的單色光，光場從光源傳播到物體的PSF 為h(x,α)。這里的x和α分別是源平面和物體平面的橫向坐標(biāo)。假設(shè)E(x)為源平面x處的光場，則物體平面的光場為：

物體平面的光強為：

式中，E*(α)是E(α)的復(fù)共軛。

如果T(α)代表的是光場透過物體的傳遞函數(shù)，那么通過桶探測器所收集的光強為：

那么GI 強度漲落二階關(guān)聯(lián)函數(shù)為：

式中，R為光源的直徑；z為光源到待測物的距離；為系統(tǒng)的點擴展函數(shù)。它意味著對于一個類點物體，所得的像是個艾里斑，艾里斑第一能級的半徑?jīng)Q定了成像分辨率，通常它等于PSF 的FWHM。

若考慮光源功率的擾動，則ΔG(2)(α)需要改成G(2)(I0,α)，根據(jù)文獻(xiàn)［20］，此時系統(tǒng)的二階累積量可以寫為：

公式中：

根據(jù)公式（7）和公式（8）可知，κ2(α)的PSF是sinc4函數(shù)，因此SCGI 相比傳統(tǒng)GI 具有更高的分辨率。此外可見，κ2(α)是ΔG(2)(I0,α)的漲落信息，因此，ΔG(2)(I0,α)的信息得到優(yōu)化時，κ2(α)的信息也會隨之被優(yōu)化，進(jìn)而可提升SCGI 的分辨率。而不同照明散斑的光場統(tǒng)計分布是不同的，導(dǎo)致ΔG(2)(α)中的光強漲落信息發(fā)生變化，這時ΔG(2)(I0,α)的信息會隨之改變。這里，將采用非瑞利散斑場對ΔG(2)(I0,α)的信息進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而優(yōu)化κ2(α)的信息。

首先，分析瑞利散斑和非瑞利散斑的統(tǒng)計特性，模擬出三種不同類型的散斑場，散斑場的特征是其光強的均方根對比度：

瑞利分布散斑場的均方根值C≈1，而非瑞利散斑場的均方根值C＞1 或者C＜1。C＞1 時為超瑞利散斑場，C＜1 時為亞瑞利散斑場，下面將生成三種不同類型的散斑場。

首先，利用計算機仿真將平面波經(jīng)過相位均勻分布在0～2π 的隨機相位調(diào)制器，生成瑞利散斑場ERay，如圖2（a）所示。其次，使用Kuplicki［19］和Bromberg［21］中相同的方法，對瑞利散斑場ERay進(jìn)行指數(shù)運算得到非瑞利散斑場E' =(ERay)n，其中當(dāng)n＞1，n∈N*時，非瑞利散斑場E'為超瑞利散斑場Esuper-Ray，當(dāng)0 ＜n＜1 時，非瑞利散斑場E'為亞瑞利散斑場Esub-Ray。

圖2 瑞利散斑和非瑞利散斑的散斑圖樣

對比圖2（a）和圖2（b）可以清楚地看到超瑞利散斑顆粒之間的強度分布與瑞利散斑顆粒明顯不同，超瑞利散斑顆粒有一些要比其他的亮得多。再對比圖2（a）和圖2（c）可以看到亞瑞利散斑顆粒之間的強度分布與瑞利散斑相比要更加均勻，這也是對比度較低的原因。

2 仿真模擬結(jié)果

為了更清楚地看到三種散斑場的統(tǒng)計特性對傳統(tǒng)GI 的影響，分別用瑞利散斑和非瑞利散斑（亞瑞利、超瑞利）進(jìn)行數(shù)值模擬。模擬條件：光源的波長為λ= 532 nm，光源直徑R= 1 mm；光源到物體的傳播距離z= 0.6 m；采樣次數(shù)為100 000次，待測物體縫寬a= 0.9 mm；縫距b= 2.5 mm 的雙縫，如圖3 所示。瑞利散斑、超瑞利散斑、亞瑞利散斑成像結(jié)果如圖4 所示。

圖3 待測雙縫

圖4 照明散斑為瑞利散斑、超瑞利散斑、亞瑞利散斑時的傳統(tǒng)GI 重構(gòu)雙縫圖像

對比圖4（a）～（c），可以清楚地看到在不考慮高階關(guān)聯(lián)，只用二階關(guān)聯(lián)去恢復(fù)待測雙縫時，超瑞利散斑的效果是最模糊的，只能看到雙縫的大概輪廓，雙縫已經(jīng)完全不能分辨。再對比圖4（a）和圖4（c）可以發(fā)現(xiàn)瑞利散斑能看到雙縫，但雙縫中間存在很多粘連部分，而亞瑞利散斑重構(gòu)出的雙縫明顯粘連變少，可以更清晰地看到雙縫，說明散斑顆粒之間的強度分布越均勻，越可以減少強度波動帶來的影響，得到的成像結(jié)果會更好，同時也說明當(dāng)非瑞利散斑作為照明散斑時，由于C＜1 或者C＞1 導(dǎo)致散斑場的統(tǒng)計特性發(fā)生改變，不再服從瑞利分布，這也使得公式中的ΔI(α)產(chǎn)生變化，從而使ΔG(2)(α)的信息發(fā)生改變。對比圖4（b）、圖4（c）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)C＜1 時的亞瑞利散斑場統(tǒng)計特性是可以優(yōu)化ΔG(2)(α)的信息，而C＞1 的超瑞利散斑場統(tǒng)計性質(zhì)沒有對ΔG(2)(α)的信息產(chǎn)生更好的優(yōu)化。因此，在接下來的工作中，將會討論在SCGI的基礎(chǔ)上，亞瑞利散斑的統(tǒng)計特性對ΔG(2)(α)的影響和對κ2(α)的影響。

針對上述理論推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的仿真模擬分析，以便于給出直觀的結(jié)論。根據(jù)圖1 所示的光學(xué)系統(tǒng)，選取的參數(shù)與上述參數(shù)相同，這里依舊選取圖3 作為待測物體。數(shù)值仿真結(jié)果如圖5 所示。

圖5 縫寬a = 0.9 mm，縫距b = 2.5 mm，z = 0.6 m 時的仿真結(jié)果

圖5（a）、圖5（b）、圖5（d）、圖5（e）分別給出了瑞利散斑GI、亞瑞利散斑GI、瑞利散斑SCGI和亞瑞利散斑SCGI 的成像結(jié)果。圖5（c）和圖5（f）分別是圖5（a）、圖5（b）和圖5（d）、圖5（e）的歸一化截面圖。對比圖5（c）、圖5（f）可以看出瑞利散斑SCGI 和亞瑞利散斑GI 的中心凹陷分別為0.302 和0.218，成像分辨率相差并不大，但都要優(yōu)于瑞利散斑GI 的分辨率。而亞瑞利散斑SCGI 中心凹陷卻是0.006，可以看到亞瑞利散斑SCGI 的分辨率要明顯優(yōu)于亞瑞利散斑GI 和瑞利散斑GI。最后對比圖5（d）～（f）發(fā)現(xiàn)亞瑞利散斑SCGI 的成像分辨率同樣優(yōu)于瑞利散斑SCGI。通過對圖5（a）～（f）的對比發(fā)現(xiàn)，基于亞瑞利散斑SCGI 的分辨率是四種成像方案中最好的。

以上的仿真結(jié)果表明，用亞瑞利散斑作為SCGI 系統(tǒng)照明散斑時，亞瑞利散斑場的統(tǒng)計特性對κ2(α)信息的影響要大于它對ΔG(2)(α)信息的影響，用亞瑞利散斑作為SCGI 系統(tǒng)照明散斑，可以優(yōu)化κ2(α)的信息，得到比傳統(tǒng)瑞利散斑SCGI 更好的分辨率。數(shù)值仿真結(jié)果與之前的理論分析相一致，驗證了方法的正確性。

3 結(jié)論

應(yīng)用亞瑞利散斑對光場進(jìn)行了波前調(diào)制，通過研究發(fā)現(xiàn)亞瑞利散斑場統(tǒng)計特性的改變，導(dǎo)致光強的漲落信息發(fā)生變化，進(jìn)而優(yōu)化了κ2(α)的信息，提升了傳統(tǒng)瑞利散斑SCGI 的分辨率。并且，通過數(shù)值仿真對理論分析結(jié)果進(jìn)行驗證，證明了所提出方法的正確性。綜上，可以通過高階的亞瑞利散斑場對κ2(α)的信息進(jìn)行更進(jìn)一步的優(yōu)化，進(jìn)而更進(jìn)一步地提升SCGI 的分辨率。