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    基于MCMC和ES-MDA方法的地下水?dāng)?shù)值模型非均質(zhì)參數(shù)場及開采量的反演研究

    2023-11-11 05:44:40劉墉達孟詳博劉維翰黃日超
    水利學(xué)報 2023年10期
    關(guān)鍵詞:后驗水頭含水層

    劉墉達,陳 喜,高 滿,孟詳博,劉維翰,黃日超

    (天津大學(xué) 地球系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 表層地球系統(tǒng)科學(xué)研究院,天津 300072)

    1 研究背景

    對于復(fù)雜的多層含水層,根據(jù)有限的地下水水位等觀測數(shù)據(jù),反演水文地質(zhì)參數(shù)、開采量等通常存在不唯一性、不確定性問題,且在調(diào)用地下水?dāng)?shù)值模型進行參數(shù)反演時,隨著調(diào)用次數(shù)和參數(shù)維度增加,反演計算成本變高。解決這些問題對提高地下水?dāng)?shù)值模擬精度、增加地下水資源開發(fā)利用評估的可靠性具有重要意義。

    模型參數(shù)調(diào)試和反演方法早期較多采用試錯法。隨著計算機發(fā)展,基于最優(yōu)化理論的確定性和隨機優(yōu)化方法得到快速發(fā)展。相對而言,梯度下降法等確定性尋優(yōu)方法對參數(shù)初值要求較高,優(yōu)化結(jié)果容易陷入局部最優(yōu)解。隨機優(yōu)化方法推求參數(shù)的概率分布,特別適用于解決多參數(shù)反演問題[1-2]。如采用蒙特卡羅方法在參數(shù)變化范圍隨機抽樣,構(gòu)建馬爾科夫鏈生成參數(shù)樣本集合,即馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法(MCMC),可以處理高維參數(shù)空間和模擬非線性問題,因此被廣泛應(yīng)用于地下水?dāng)?shù)值模型參數(shù)反演。Yan等[3]基于MCMC算法對理想均質(zhì)含水層非穩(wěn)定流下的污染源位置和污染物泄露時間進行了反演;李雪利等[4]以二維非均質(zhì)含水層區(qū)域為研究算例,基于MCMC方法反演了地下水污染源,且對比了MCMC不同建議分布對參數(shù)反演結(jié)果的影響。MCMC方法需要多次調(diào)用地下水?dāng)?shù)值模型,隨著待反演參數(shù)增多,地下水?dāng)?shù)值模型調(diào)用次數(shù)隨之增加,產(chǎn)生較高的計算代價。

    近年來發(fā)展的替代模型(Surrogate model),通過構(gòu)建一個擬合函數(shù)(如克里金法[3,5](Kriging)、徑向基函數(shù)法[6-7]、支持向量機[8-10]、多項式混沌展開[11]以及貝葉斯網(wǎng)絡(luò)[12]等),模仿復(fù)雜的物理模型輸入-輸出過程,可大幅減少計算成本。其中,Kriging法采用回歸多項式的確定性分析和不確定隨機分析,描述全局和局部的統(tǒng)計特性,建模方便、精度較高。Yan等[3]針對理想均質(zhì)含水層,采用Kriging法建立了非穩(wěn)定流數(shù)值模型的替代模型,驗證結(jié)果表明建立的替代模型具有較高精度。替代模型與MCMC結(jié)合可提高參數(shù)優(yōu)選的計算效率,如張江江[13]采用自適應(yīng)稀疏格子插值法構(gòu)造了替代模型,并與MCMC結(jié)合優(yōu)選監(jiān)測井分布、反演模型參數(shù)。

    另一種參數(shù)反演途徑是數(shù)據(jù)同化,通過融合觀測數(shù)據(jù)與模型預(yù)測值信息,自動調(diào)整模型參數(shù)、狀態(tài)和運行軌跡,實現(xiàn)對模型參數(shù)的反演估計[14]。常用的數(shù)據(jù)同化方法包括集合卡爾曼濾波[15](EnKF)、集合平滑器[13](ES)和多重數(shù)據(jù)同化集合平滑器[16](ES-MDA)等。EnKF使用當(dāng)前時刻觀測值對上一時刻的參數(shù)和狀態(tài)進行更新的實時算法,需要多次調(diào)用地下水模型,計算過程較為繁瑣,且EnKF對模型參數(shù)和狀態(tài)同時更新,可能導(dǎo)致更新后的參數(shù)和狀態(tài)的不一致性。ES作為一種批處理算法,一次性使用所有時刻的觀測值更新模型參數(shù)和狀態(tài),且只更新參數(shù)以避免參數(shù)和狀態(tài)的不一致性。ES-MDA通過多次迭代進行數(shù)據(jù)同化,可有效地避免了觀測數(shù)據(jù)過擬合,具有調(diào)用模型次數(shù)少、計算成本低的優(yōu)點。陳沖等[16]基于MODFLOW構(gòu)建的黑河流域中游地下水模型,使用ES-MDA方法反演了模型中13個參數(shù)最優(yōu)取值,對比了ESM-DA不同超參數(shù)對反演結(jié)果的影響。周念清等[17]利用ES-MDA方法融合高密度電阻率法采集的觀測數(shù)據(jù),實現(xiàn)了對污染源參數(shù)和滲透系數(shù)場的聯(lián)合反演。然而ES-MDA也存在不足,如敏感度低的模型參數(shù)反演精確度低。

    目前常用的地下水?dāng)?shù)值模擬軟件一般包括GMS、Visual MODFLOW和FEFLOW等。這些軟件具有較為實用的交互界面,可以直接在圖形界面構(gòu)建模型,由于它們無法與優(yōu)化算法直接耦合,在過去的研究中更多傾向于先優(yōu)化后模擬,即先選出待優(yōu)化參數(shù)的可能取值,再將參數(shù)輸入地下水模型進行驗證,還有研究采用松散耦合進行參數(shù)反演[18]。這些方法無法利用計算機內(nèi)存在優(yōu)化算法和模型之間快速共享數(shù)據(jù),極大地降低了計算速度和求解效率,F(xiàn)loPy[19]是由Mark Bakker等基于Python編寫的第三方庫,可以和其他優(yōu)化算法緊密耦合反演地下水?dāng)?shù)值模型參數(shù)。

    針對地下水?dāng)?shù)值模型和參數(shù)反演各方法的優(yōu)缺點,本文以復(fù)雜三維含水層(潛水、承壓水)為案例,假設(shè)某一含水層滲透系數(shù)為異質(zhì)性空間變化場,在各含水層開采量未知情形下,建立地下水?dāng)?shù)值模型和基于Kriging方法的替代模型,模擬含水層分層地下水水頭變化,建立基于替代模型的MCMC、替代模型和數(shù)值模型相結(jié)合的兩階段MCMC以及ES-MDA反演方法,對比各方法對參數(shù)和隨機場反演精度,為復(fù)雜含水層參數(shù)反演方法的選擇提供借鑒。

    2 研究方法

    2.1 地下水?dāng)?shù)值模擬及參數(shù)反演問題對于潛水、承壓為水多層含水層,地下水流運動的一般表達式為:

    (1)

    根據(jù)監(jiān)測井地下水水位的觀測值,記為d=(d1,d2,…,dn),以模型模擬值F(θ)與觀測值d之間誤差(ε=d-F(θ))為目標(biāo)函數(shù),推求ε最小時的模型參數(shù)θ(如K等),即為參數(shù)反演問題。

    2.2 隨機參數(shù)場的Karhunen-Loève展開對于某一非均質(zhì)孔隙介質(zhì)含水層,如滲透系數(shù)K值空間變化,形成參數(shù)反演的高維問題。相比于裂隙和巖溶介質(zhì)顯著的非均質(zhì)性,孔隙介質(zhì)在一定尺度上可以認為相對連續(xù)并具有自相關(guān)性。對此,可利用Karhunen-Loève(K-L)展開[20],將K值的空間變化表述為確定性函數(shù)和隨機場的線性疊加,以達到降低維度,即:

    (2)

    在地下水?dāng)?shù)值模擬中,K的自然對數(shù)(lnK)的協(xié)方差函數(shù)C(S1,S2)服從指數(shù)分布,即任意兩點(S1和S2)滿足:

    (3)

    式中:η1和η2分別為x和y方向上的自相關(guān)長度;σ2為方差。

    (4)

    式中:G(θ)為θ的已知全局函數(shù);Z(θ)為高斯隨機函數(shù),為系統(tǒng)局部偏差,其滿足E(Z)=0,Var(Z)=σ2,且任一兩點Z(θ)的相關(guān)函數(shù)可表示為:

    cov[Z(θ(i)),Z(θ(j))]=σ2R(θ(i),θ(j))

    (5)

    式中:R(θ(i),θ(j))為任意兩個樣本之間的協(xié)方差函數(shù)(常用有線性函數(shù)、高斯函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等)。

    Kriging替代模型實現(xiàn)步驟如下:

    (1)建立模型輸入(參數(shù)θ)-輸出(水頭y)集合。在各參數(shù)先驗分布上抽取N組樣本作為輸入集合,調(diào)用地下水?dāng)?shù)值模型,模擬每個監(jiān)測井不同時段水頭值y作為樣本輸出集合。

    (2)Kriging替代模型訓(xùn)練。將步驟(1)樣本的輸入和輸出集合代入替代模型進行訓(xùn)練,建立每個監(jiān)測井的水頭替代模型

    2.4 參數(shù)反演方法

    2.4.1 貝葉斯方法 從觀測數(shù)據(jù)中推斷出未知參數(shù)的可能取值,即后驗概率分布p(θ∣d)表述為:

    (6)

    式中:θ為待反演的參數(shù);d為地下水水頭觀測值;p(θ)為θ的先驗概率密度函數(shù);p(d∣θ)為似然函數(shù),表示模擬值與觀測值d的接近程度;p(d)為歸一化積分常數(shù)。

    通常根據(jù)野外調(diào)查、試驗等信息得出參數(shù)某一取值范圍,并假設(shè)其服從某一分布,即參數(shù)的先驗分布p(θ)。假設(shè)模型中未知參數(shù)共有n個,即θ=(θ1,θ2,…,θn),服從均勻分布,則參數(shù)θi的p(θ)為:

    (7)

    式中ai、bi分別為參數(shù)θi先驗分布的下限和上限。

    如果各參數(shù)獨立,總先驗分布P(θ)可定義為:

    (8)

    根據(jù)水頭觀測值d與模擬值F(θ)之間的總誤差(ε=d-F(θ)),假設(shè)ε=(ε1,ε2,…,εn)服從n維高斯分布,得出ε的條件概率密度函數(shù)(似然函數(shù))p(d∣θ)為:

    (9)

    由于p(d∣θ)計算中需要調(diào)用正演模型F(θ),當(dāng)參數(shù)維度較高時,一般無法得到p(θ∣d)的解析解。可采用基于MCMC的概率抽樣方法和ES-MDA數(shù)據(jù)同化方法,推求p(θ∣d)的統(tǒng)計量(如均值、標(biāo)準(zhǔn)差等),當(dāng)作參數(shù)反演問題的解。

    2.4.2 基于MCMC的參數(shù)后驗分布求解 MCMC通過隨機采樣構(gòu)建一個馬爾科夫鏈,當(dāng)馬爾科夫鏈?zhǔn)諗亢蟮牟蓸泳拖喈?dāng)于在后驗分布p(θ∣d)上抽取樣本,利用樣本的統(tǒng)計量就可以得到參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

    常用實現(xiàn)MCMC方式是Metropolis-Hastings(M-H)算法[21],其基本思想是通過構(gòu)造一個接受-拒絕準(zhǔn)則,以保證采到的樣本服從參數(shù)后驗分布p(θ∣d),具體步驟如下:

    (1)初始化參數(shù)。采用蒙特卡羅方法,隨機生成一組參數(shù)初值θi,i=0;

    (2)生成參數(shù)的候選值。從建議分布(如正態(tài)分布)q(θ)中隨機生成一個候選值θ*。

    (3)計算接受概率:

    (10)

    式中:log(p(d∣θ))為對數(shù)似然函數(shù);在建議分布為正態(tài)分布時,q(θi,θ*)=q(θ*,θi)。

    (4)接受或拒絕候選狀態(tài)。從均勻分布U(0,1)中抽取隨機數(shù)u,若u≤α(θi,θ*),則令θi+1=θ*,否則令θi+1=θi。

    (5)令i=i+1,返回步驟(2),重復(fù)多次,直到采樣得到足夠的參數(shù)樣本。

    2.4.3 基于ES-MDA的參數(shù)后驗分布求解 ES-MDA在每次迭代中對觀測誤差引進一個膨脹系數(shù)αi,以較低的計算代價解決高維非線性的參數(shù)反演問題,便于實現(xiàn)多次數(shù)據(jù)同化。具體步驟如下:

    (1)給定數(shù)據(jù)同化次數(shù)Na,集合樣本N,第i次數(shù)據(jù)同化時的膨脹系數(shù)αi,其中αi滿足:

    (11)

    (2)根據(jù)各參數(shù)的先驗分布p(θ)抽取N個樣本,組成初始參數(shù)集合θ1:

    θ1=[θ1,1,θ1,2,…,θ1,N]

    (12)

    (3)初始i=1,對集合中每個樣本進行正演模型計算,得到模擬值集合:

    di,j=F(θi,j),j=1,2,…,N

    (13)

    (4)對樣本參數(shù)集合進行更新:

    (14)

    θi+1,j=θi,j+CMD(CDD+R)-1(duc,j-di,j)

    (15)

    式中:dobs為觀測值;duc為添加αi擾動后的觀測值;z為修正引入服從高斯分布的隨機誤差;CMD為模型參數(shù)θi與模擬值di之間的協(xié)方差矩陣;CDD與R分別為模擬值和觀測誤差的自協(xié)方差矩陣。

    (5)i=i+1,重復(fù)執(zhí)行步驟(3)和(4)直到完成Na次數(shù)據(jù)同化,得到最終樣本集合θNa=[θNa,1,θNa,2,…,θNa,N],以及參數(shù)的后驗估計。

    2.4.4 反演參數(shù)的精度評估 根據(jù)各參數(shù)的后驗分布,統(tǒng)計各參數(shù)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。對比各參數(shù)均值與真值,兩者越接近說明反演的參數(shù)誤差越??;同時對比不同反演方法各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,標(biāo)準(zhǔn)差越小,說明參數(shù)反演結(jié)果的不確定性越小。

    對于反演的參數(shù)空間分布場,采用均方根誤差(RMSE)和結(jié)構(gòu)相似性指標(biāo)(SSIM)作為評估依據(jù),其定義如下:

    (16)

    (17)

    式中:u和v分別為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)場和反演參數(shù)場;Np為網(wǎng)格個數(shù);μ和σ分別為參數(shù)場均值和標(biāo)準(zhǔn)差;C1=0.01和C2=0.03是穩(wěn)定計算的常數(shù)。SSIM的閾值范圍為[-1,1],SSIM值越接近1,反演參數(shù)場與參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)場越趨近一致。

    3 研究算例

    3.1 研究區(qū)及模型構(gòu)建

    3.1.1 地下水?dāng)?shù)值模型及參數(shù)設(shè)置 假定研究區(qū)為邊長1000 m、厚度50 m的5層立方體,其中第1層為潛水含水層,第3、5層為承壓含水層,第2、4層為隔水層。西部邊界與東部邊界為定水頭邊界,水頭分別為10 m和5 m;北部邊界與南部邊界為隔水邊界(圖1)。

    圖1 研究區(qū)平面和剖面示意圖

    將研究區(qū)剖分為50行、50列、5層有限差分網(wǎng)格,單元邊長為20 m、高為10 m,模擬期10 d,計算時間步長1 d,所構(gòu)建的模型具有一定的代表性。在本案例中模型的不確定性來自第一層承壓含水層非均質(zhì)滲透系數(shù)場和5個開采井的開采量,其他參數(shù)給定,潛水含水層水平滲透系數(shù)(5 m/d)、第二層承壓含水層水平滲透系數(shù)(4 m/d)、隔水層水平滲透系數(shù)(1×10-5m/d)、給水度(0.2)、入滲補給強度(1×10-6m/d)和承壓含水層儲水系數(shù)(1×10-4),假設(shè)垂向與水平向滲透系數(shù)比值為0.1,初始水頭分布為開采量是0時的穩(wěn)定流水頭。

    研究區(qū)內(nèi)共有5個開采井(W1—W5)和10個監(jiān)測井(O1—O10),其中W1—W3開采第一承壓含水層,W4開采潛水含水層,W5開采第二承壓含水層;O1監(jiān)測潛水含水層水位,O2—O9監(jiān)測第一承壓含水層水位,O10監(jiān)測第二承壓含水層水位。本次研究開采井分散布設(shè),以減少各開采井的相互影響。監(jiān)測井布設(shè)在開采井附近,旨在捕捉開采井附近水頭變化情況。

    使用Flopy調(diào)用地下水?dāng)?shù)值模型MODFLOW,計算逐網(wǎng)格單元水頭,選擇10個監(jiān)測井所在位置10 d逐日水頭,作為參數(shù)反演的觀測值。后續(xù)將10個監(jiān)測井的模擬值與觀測值的誤差最小作為目標(biāo)函數(shù),使用基于MCMC和ES-MDA方法反演模型參數(shù)。

    表1 參數(shù)的先驗分布區(qū)間和真值

    表2 開采井開采量 單位:m3/d

    3.2 基于MCMC方法的參數(shù)反演為了權(quán)衡模型計算成本與反演精度,本研究對比基于替代模型的MCMC參數(shù)反演與兩階段的MCMC參數(shù)反演結(jié)果。前者在參數(shù)整個變化范圍內(nèi)抽取大數(shù)據(jù)樣本(鏈條長度為50 000,且建議分布方差較大),基于替代模型的MCMC確定參數(shù)的后驗分布;后者在前者基礎(chǔ)上根據(jù)替代模型參數(shù)后驗分布縮小參數(shù)取值范圍(鏈條長度為10 000,且建議分布的方差較小),使用基于地下水?dāng)?shù)值模型的MCMC反演參數(shù)后驗分布。假設(shè)誤差ε服從正態(tài)分布ε~N(0,0.1),使用馬爾科夫鏈接受采樣中最后的1 000組樣本,反演的各參數(shù)后驗分布。

    基于替代模型MCMC和兩階段的MCMC參數(shù)反演結(jié)果統(tǒng)計值見表3,以q1、q2、q3為例,反演的參數(shù)后驗分布如圖3。可以看出,兩種反演方法得出的各參數(shù)均值與表1中參數(shù)真值十分接近。相對而言,兩階段的MCMC各參數(shù)均值與真值更為接近,且標(biāo)準(zhǔn)差更小,反演的后驗分布峰值也更集中于真值。

    圖3 基于替代模型的MCMC和兩階段的MCMC反演參數(shù)的后驗分布

    圖4分別為(a)參數(shù)K3標(biāo)準(zhǔn)場、(b)反演前隨機生成的初始參數(shù)場、(c)基于替代模型和(d)兩階段的MCMC反演K3參數(shù)場?;谔娲P秃蛢呻A段的MCMC反演參數(shù)場與參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)場之間的RMSE分別為8.3×10-2和2.6×10-2;SSIM分別為0.88和0.98,兩種方法反演的參數(shù)場都較為準(zhǔn)確,但兩階段的MCMC反演的參數(shù)場精度更高。說明僅使用替代模型的MCMC參數(shù)反演,雖然計算費時少,但替代模型的誤差影響反演參數(shù)值的可靠性。而兩階段的MCMC通過第一階段縮小參數(shù)范圍,第二階段再調(diào)用數(shù)值模型,可在實現(xiàn)減小計算成本的同時提高反演參數(shù)的精度。

    3.3 基于ES-MDA方法的參數(shù)反演在使用ES-MDA方法反演地下水模型參數(shù)過程中,存在某些超參數(shù)的選擇(如同化次數(shù)Na、集合樣本N、膨脹系數(shù)αi),直接影響同化算法對模型參數(shù)的更新效果。本文借鑒前人經(jīng)驗[16],取Na=2,N=100,α1=α2=2,采用模型參數(shù)的先驗分布(表1),使用ES-MDA方法反演模型參數(shù)的后驗分布。

    ES-MDA兩次同化反演參數(shù)結(jié)果的對比見表4,以q1、q2、q3為例,反演參數(shù)后驗分布見圖5。第一、二次同化反演結(jié)果各參數(shù)均值與表1中參數(shù)真值十分接近。但第二次同化各參數(shù)均值與真值更為接近,且標(biāo)準(zhǔn)差均小于第一次同化標(biāo)準(zhǔn)差,反演的后驗分布峰值位于真值附近(圖5)。

    表4 ES-MDA兩次同化模型參數(shù)統(tǒng)計值

    圖5 基于ES-MDA方法兩次同化反演參數(shù)的后驗分布

    圖6分別為(a)參數(shù)K3標(biāo)準(zhǔn)場、(b)反演前隨機生成的初始參數(shù)場、(c)基于ES-MDA第一次、(d)第二次同化反演的參數(shù)場。兩次同化反演參數(shù)場與參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)場之間的RMSE分別為1.8×10-2和9.1×10-3,SSIM分別為0.93和0.96。兩者都較為準(zhǔn)確,且第二次同化反演參數(shù)場精度更高。說明增加數(shù)據(jù)同化次數(shù)可以增加ES-MDA方法的參數(shù)反演精度,第二次同化反演的后驗分布更為精確。

    圖6 滲透系數(shù)場K3

    3.4 正演模型驗證在非均質(zhì)參數(shù)場和開采量的校驗后,還要進行正演模擬,用來驗證預(yù)報水頭場的能力。通過將基于兩階段的MCMC和ES-MDA所反演出的非均質(zhì)參數(shù)場和開采量輸入到地下水?dāng)?shù)值模型中,與監(jiān)測井真實水頭值和真實水頭場進行對比。如圖7所示,其中紅色實線為真實水頭,綠色虛線和藍色點劃線分別為基于兩階段的MCMC和基于ES-MDA參數(shù)反演后正演模擬得到的監(jiān)測井水頭。

    圖7 基于兩階段的MCMC和基于ES-MDA反演后正演模擬得到的監(jiān)測井水頭與真實值的水頭過程線

    根據(jù)圖7可以看出,基于兩種方法反演的非均質(zhì)參數(shù)場和開采量進行正演模擬的監(jiān)測井水頭過程線與真實水頭過程線十分接近,兩種方法都充分捕捉到了監(jiān)測井位置的水頭變化情況,說明監(jiān)測井水頭模擬效果較好。

    圖8—12展示了基于兩種方法反演的非均質(zhì)參數(shù)場和開采量在進行正演模擬不同時間節(jié)點的第一承壓含水層水頭場以及與真實水頭場之間的誤差。其中圖8表示在同一個應(yīng)力周期3個不同時間節(jié)點(3 d,6 d,9 d)的真實水頭場。在相同時間節(jié)點,圖9表示基于兩階段的MCMC反演后正演模擬得到的水頭場,圖10表示基于兩階段的MCMC反演后正演模擬得到的水頭場與真實水頭場的之間誤差場。圖11表示基于ES-MDA反演后正演模擬得到的水頭場,圖12表示基于ES-MDA反演后正演模擬得到的水頭場與真實水頭場的之間誤差場。

    圖8 第一承壓含水層真實水頭場

    圖9 基于兩階段的MCMC反演后正演模擬得到的水頭場

    圖10 兩階段的MCMC正演場與真實場之間的誤差場

    圖11 基于ES-MDA反演后正演模擬得到的水頭場

    圖12 ES-MDA正演場與真實場之間的誤差場

    由基于兩階段的MCMC和ES-MDA正演水頭場與真實水頭場的誤差場可看出,基于兩階段的MCMC反演后在正演模擬水頭場誤差較小,誤差值基本控制在0.1 m以內(nèi)?;贓S-MDA反演后在正演模擬水頭場效果一般,在開采井附近誤差較大,誤差值可達到0.4 m,局部水頭場模擬與真實水頭場相差較大,這與ES-MDA對開采量反演精度較低有關(guān)。兩階段的MCMC反演準(zhǔn)確度更高,而且更為均勻,在不同時期對水頭場的模擬都相較于ES-MDA更為準(zhǔn)確。

    3.5 不同反演方法結(jié)果對比分析對于開采量(q1—q5)反演結(jié)果,不同方法反演的參數(shù)后驗分布,均值及峰值均接近真值;從非均質(zhì)產(chǎn)生的高維滲透系數(shù)K3場反演精度來看,與K3實際分布相比,不同方法都能較好地反演出參數(shù)隨機場的空間分布,RMSE都較?。灰許SMI為評價指標(biāo)時,基于替代模型的MCMC方法、ES-MDA方法反演的參數(shù)場精度低于兩階段的MCMC反演參數(shù)場精度。說明先使用替代模型的MCMC反演縮小參數(shù)場分布范圍,再調(diào)用地下水?dāng)?shù)值模型,可調(diào)和復(fù)雜模型參數(shù)反演中降低計算成本與提高反演精度之間的矛盾。

    對比計算成本,基于替代模型的MCMC方法需要先調(diào)用1000次數(shù)值模型用于訓(xùn)練Kriging替代模型,再調(diào)用50 000次替代模型進行后驗分布采樣;兩階段的MCMC方法還需再調(diào)用10 000數(shù)值模型進行MCMC精確采樣;而ES-MDA方法僅設(shè)定2次同化次數(shù),集合樣本為100,總共調(diào)用數(shù)值模型次數(shù)為300(1個初始集合加2個同化集合)。因此,ES-MDA方法計算效率更高,而兩階段的MCMC方法計算效率較低。由此可見,在進行地下水?dāng)?shù)值模型參數(shù)反演時,可以根據(jù)參數(shù)反演精度和計算效率要求,選擇合適的反演方法。

    4 結(jié)論

    基于設(shè)定的多層含水層水文地質(zhì)條件,建立了地下水?dāng)?shù)值模型和Kriging替代模型?;谪惾~斯理論,使用隨機抽樣的MCMC算法和數(shù)據(jù)同化的ES-MDA算法,反演模型非均質(zhì)滲透系數(shù)場及開采量。對比替代模型-MCMC方法、替代模型-地下水?dāng)?shù)值模型的兩階段MCMC以及ES-MDA同化算法反演的模型參數(shù)精度及計算效率。得出如下主要結(jié)論:(1)Kriging替代模型可以有效地模仿地下水?dāng)?shù)值模型模擬的水頭,由此可減小模型參數(shù)反演中計算量。但對于高維滲透系數(shù)場,如僅根據(jù)建立的有限觀測值(如本文中10個監(jiān)測井地下水水頭),基于替代模型MCMC反演的滲透系數(shù)場誤差相對較大。(2)在基于替代模型MCMC反演的參數(shù)后驗分布基礎(chǔ)上縮小參數(shù)變化范圍,再采用MCMC降低地下水?dāng)?shù)值模型調(diào)用次數(shù),這種兩階段MCMC反演的參數(shù)精度更高,不確定性小。(3)ES-MDA算法反演的參數(shù)后驗分布計算效率最高,但對高維參數(shù)場和開采量的反演效果不及兩階段的MCMC。

    本文僅基于設(shè)定的含水層水文地質(zhì)條件,并采用地下水?dāng)?shù)值模型模擬的各含水層中地下水水頭作為真值,實際水文地質(zhì)條件更為復(fù)雜,且觀測的地下水水頭存在誤差;因此,未來可利用實際區(qū)域觀測資料,權(quán)衡不同反演方法的精度及計算效率來選擇合適的方法,本研究為大范圍地下水?dāng)?shù)值模擬和地下水資源評價等提供適宜的方法。

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