剛性線圈所受磁場安培力規(guī)律的研究
——以2022 年全國高考物理乙卷24 題為例

王偉民，牟銀勇

1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652

2.重慶市育才中學(xué)，重慶 400050

1 原題呈現(xiàn)

例題1（2022 年全國高考物理乙卷第24題）如圖1，一不可伸長細(xì)繩的上端固定，下端系在邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一個頂點(diǎn)上。金屬框的一條對角線水平，其下方有方向垂直于金屬框所在平面的勻強(qiáng)磁場。已知構(gòu)成金屬框的導(dǎo)線單位長度的阻值為λ=5.0×10-3Ω/m；在t=0 s 到t=3.0 s 時(shí)間內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為B（t）=0.3-0.1t（SI）。

圖1 原題附圖

（1）求t=2.0 s 時(shí)金屬框所受安培力的大??；

（2）在t=0 s 到t=2.0 s 時(shí)間內(nèi)金屬框產(chǎn)生的焦耳熱。

2 試題簡評

本題目單題分值高達(dá)12 分，是整份試卷中除去必做題最后一題之外單題分值最高的一道題，是必做題的倒數(shù)第二題，處于試卷壓軸題的重要位置——單題分值較高、難度相對較大的最后兩三道題目，通常被稱為壓軸題。這也是人們最為關(guān)注的試卷的一個板塊，因?yàn)閴狠S題多為拉開不同能力考生分?jǐn)?shù)差距的題目。

本題內(nèi)容短小精悍，僅用了200 多字就把需要展示的物理情境交代得清楚明白，體現(xiàn)了編者高超的原創(chuàng)題目的編擬水平。該題內(nèi)容雖短，但卻是一道綜合性很強(qiáng)的題目，重點(diǎn)考查學(xué)生對法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、安培力的計(jì)算公式、共點(diǎn)力合成的平行四邊形法則、焦耳定律公式等內(nèi)容的掌握情況，以及綜合運(yùn)用物理規(guī)律解決復(fù)雜物理問題的能力。對于上面的這些知識點(diǎn)，學(xué)生有一處未能熟練掌握，都很難正確解答。

3 試題解析

由題目條件可知，在指定的時(shí)間段內(nèi)，穿過閉合線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度呈線性減小。根據(jù)楞次定律可以判斷，正方形線圈中的感應(yīng)電流是按逆時(shí)針方向流動的，如圖2 所示。根據(jù)左手定則可以判斷出正方形線圈處于磁場中的兩邊BC 和CD受到的安培力的方向是垂直于導(dǎo)線向下的（圖2）。

圖2 線框所受安培力分析

（1）因?yàn)锽C 邊和CD 邊長度相等，通過的電流相等，任意時(shí)刻它們所處位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度也相等，所以它們受到的安培力相等，F(xiàn)1=F2，且這兩個力都與豎直方向成45°角。把這兩個力平移至共點(diǎn)之后的情形如圖3 所示，F(xiàn)1和F2的合力F便是金屬框所受的安培力。

圖3 力的合成

金屬框中感應(yīng)電流大小為

t=2.0 s 時(shí)金屬框的BC，CD 兩邊所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B=0.3-0.1t=0.1 T

這時(shí)，BC，CD 兩邊所受安培力的大小為

F1=F2=IlB=1 A×0.40 m×0.1 T=0.04 N

所以，F(xiàn)1和F2的合力（即正方形金屬框所受安培力）大小為

（2）由焦耳定律公式可得

Q=I2Rt=（1 A）2×4×0.40 m×5.0×10-3Ω/m×2.0 s=0.016 J

仔細(xì)分析能夠看出，這道題的第一問——t=2.0 s 時(shí)金屬框所受安培力的大小，最終算出的N 這一結(jié)果，既是BC，CD 兩邊所受安培力合力的大小，同時(shí)也是把對角線BD 作為導(dǎo)線并處于同一磁場中也通入1 A 的電流時(shí)所受安培力的大小。那么，這是一種“偶遇”的巧合，還是其間隱含著一種必然的物理規(guī)律？ 答案是后者。

4 垂直于剛性通電線圈平面的勻強(qiáng)磁場對線圈安培力的矢量和為零

為便于同類問題分析及證明的方便，我們提出如下引理：

引理：完全處于勻強(qiáng)磁場中的剛性封閉通電平面線圈，若線圈平面與磁場方向垂直，則磁場對整個線圈各微元安培力的矢量和為零。

先對一種最簡單的情形進(jìn)行證明——三角形線圈所受磁場安培力規(guī)律的證明。

例題2求證：完全處于勻強(qiáng)磁場中的剛性三角形通電線圈，若線圈平面與磁場方向垂直，則磁場對三角形線圈各邊安培力的矢量和為零。

證明如圖4 所示，輕質(zhì)剛性封閉三角形線圈△ABC 置于紙面內(nèi)，線圈平面所在的空間存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場。設(shè)△ABC 的三邊長分別為a，b，c，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線圈內(nèi)通入逆時(shí)針方向的電流I（注：可以證明，磁場方向或電流方向任意改變時(shí)，均不影響結(jié)論的成立）。設(shè)三角形線圈三邊所受磁場安培力的大小分別為Fa，F(xiàn)b，F(xiàn)c，則有

圖4 通電線圈受力分析

Fa∶Fb∶Fc=IaB ∶IbB ∶IcB=a ∶b ∶c

將圖4 中表示△ABC 線圈三邊所受安培力的三條有向線段Fa，F(xiàn)b，F(xiàn)c進(jìn)行平移組合成△A'B'C'，如圖5，由幾何知識易證，△A'B'C'∽△ABC。顯然，由相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可知，當(dāng)B'C'=Fa時(shí)，A'B'=Fc，A'C'=Fb，因此，△A'B'C' 即為Fa，F(xiàn)b，F(xiàn)c組成的矢量三角形，所以，問題得證。

圖5 通電線圈受力分析

根據(jù)例題2 的結(jié)論，我們很容易推理出下面的結(jié)論。

如圖6 所示，若紙面內(nèi)存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場（圖中沒有標(biāo)出），紙面內(nèi)的兩段金屬絲AB，BC 連接于點(diǎn)B，當(dāng)通入如圖6 甲所示的電流時(shí)，這兩段金屬絲所受安培力的矢量和等效于同一磁場中直線金屬絲AC 通入由A 至C 的等大電流時(shí)所受的安培力。

圖6 通電導(dǎo)線所受安培力分析

我們以此為推理依據(jù)，并以圖7 所示的凹七邊形為例，來推證如下結(jié)論：方向垂直于剛性封閉多邊形（包括凸多邊形和凹多邊形）通電線圈平面的勻強(qiáng)磁場，對完全處于磁場內(nèi)的多邊形線圈各邊安培力的矢量和為零。

圖7 多邊形通電導(dǎo)線

圖7 中，假設(shè)七邊形剛性線圈通入了逆時(shí)針方向的電流I，線圈所在處的磁場方向垂直于線圈平面，則AB，BC 兩邊所受磁場安培力的矢量和，等效于直線金屬絲AC 通入由A 至C 的電流I 時(shí)AC 所受的安培力（注：圖中的AC 沒有畫出）。這樣，七邊形線圈ABCDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于六邊形線圈ACDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和。按此方法遞推，六邊形線圈ACDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于五邊形線圈ADEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和……按這樣的規(guī)律等效下去，最終的結(jié)論是，七邊形線圈ABCDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于三角形線圈AFG 各邊所受磁場安培力的矢量和。問題得證。

因?yàn)槿我夥忾]平面剛性線圈都可以視為很多折線的組合（即可視為多邊形），所以我們可以得出結(jié)論——磁場方向垂直于剛性封閉通電線圈平面的勻強(qiáng)磁場，對完全處于磁場內(nèi)的通電線圈的安培力的矢量和為零。

應(yīng)該說，這一規(guī)律跟底面水平、側(cè)壁豎直的容器中盛有液體時(shí)，液體對容器側(cè)壁的壓力規(guī)律類似——液體對各側(cè)壁壓力的矢量和為零，我們也可以用同樣的方法對這一規(guī)律的正確性進(jìn)行證明。盛有液體的容器不會因?yàn)橐后w對其側(cè)壁存在壓力而向某個方向運(yùn)動，就是因?yàn)橐后w對容器側(cè)壁壓力的矢量和為零。

據(jù)此，可以推出下面的推論。

推論：勻強(qiáng)磁場中垂直于磁場方向的某平面內(nèi)有剛性彎曲金屬絲AB，通入由A 至B 的電流時(shí)金屬絲所受磁場的安培力，與以A，B 為端點(diǎn)的直金屬絲通入由A 至B 的等大電流時(shí)所受的安培力大小相等，方向相同。

利用上面的引理和推論，我們可以方便快捷地對相關(guān)問題進(jìn)行求解。

5 該高考試題的多個變式及解析

可以發(fā)現(xiàn)，例題1 給出的這道高考題設(shè)置的正方形金屬線圈在磁場中的位置很“特殊”，因?yàn)閼业踅饘倬€圈的細(xì)線系在正方形線圈的一個頂點(diǎn)處，所以，懸吊起來的金屬線圈靜止時(shí)，它的兩條對角線一條水平，一條豎直（金屬線圈質(zhì)量分布均勻的條件下），其水平對角線恰好與有界磁場的上邊界重合。我們不禁要問，如果題目設(shè)置的其他條件不變，而是將懸吊金屬線圈的懸吊點(diǎn)在線圈的邊上任意移動一下，正方形金屬線圈所受磁場安培力會發(fā)生怎樣的變化？

對于質(zhì)量分布均勻的正方形金屬線圈，若懸吊點(diǎn)剛好在正方形一邊的中點(diǎn)位置，則線圈穩(wěn)定之后的情形如圖8 所示，它的兩組對邊，一組是水平的，一組是豎直的。當(dāng)然，如果懸吊點(diǎn)既不在正方形的頂點(diǎn)位置，也不在一邊的中點(diǎn)，則線圈穩(wěn)定后的情形如圖9 所示，它的四邊都是傾斜的。當(dāng)線圈重心位于磁場邊界時(shí)，無論是圖8 所示情形還是圖9 所示情形，正方形線圈都是有一半的面積處于磁場之中。圖8 所示情形可視為圖9 所示情形的一個特例。

圖8 線圈一半位于磁場中

圖9 變式1 附圖

變式1如圖9 所示，一不可伸長細(xì)繩的上端固定，下端系在邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一條邊上，拴繩點(diǎn)O 到正方形頂點(diǎn)A 的距離為a=0.05 m，金屬框質(zhì)量分布均勻。已知空間內(nèi)存在有界水平勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向外，穩(wěn)定后金屬框的重心剛好位于磁場的水平上界面位置。已知構(gòu)成金屬框的導(dǎo)線單位長度的阻值為λ=5.0×10-3Ω/m；在t=0 s 到t=3.0 s 時(shí)間內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為B（t）=0.3-0.1t（SI）。求t=2.0 s 時(shí)金屬框所受安培力的大小。

分析正方形線框ABCD 處于磁場中的部分有三段，分別是EC，CD，DH。由上面的推論可知，這三段金屬絲所受磁場安培力的矢量和等于連接于E，H 兩點(diǎn)的金屬絲并通入由E 至H 的等大的電流時(shí)金屬絲EH 所受的安培力，如圖10 所示。

圖10 變式1 分析圖示

解析圖10 中，過D 作DG∥EH，交BC 于G點(diǎn)，則DH=EG，因?yàn)檎叫尉€框質(zhì)量分布均勻，由幾何知識可以證明，AO=CM=BE=DH，因此，CG=CB-2BE=0.30 m，所以

依題意可知，金屬框中感應(yīng)電流大小為

t=2.0 s 時(shí)金屬框的EC，CD，DH 三段金屬絲所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B=0.3-0.1t=0.1 T

因此，通電導(dǎo)線EH 所受安培力的大小為：F=ILB=1 A×0.50 m×0.1 T=0.05 N，方向豎直向下。所以，當(dāng)t=2.0 s 時(shí)金屬框所受安培力的大小為0.05 N。

變式2如圖11 所示，一不可伸長細(xì)繩的一端固定，下端系在一邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一個頂點(diǎn)上。金屬框的一條對角線水平，其下方有方向垂直于金屬框所在平面的勻強(qiáng)磁場。已知構(gòu)成金屬框的導(dǎo)線單位長度的阻值λ=5.0×10-3Ω/m；單邊金屬導(dǎo)線質(zhì)量為10 g，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系是B（t）=0.3+0.1t（SI）。問：在什么時(shí)間，細(xì)繩中的張力為零？

圖11 變式2 附圖

分析載流線框受重力、拉力和磁力作用。平衡時(shí)合力為零。

解析 由受力分析可知（圖12），平衡時(shí)有

圖12 受力分析圖

即安培力和重力大小相等，方向相反。

FB-FG=FB-0.04×9.8=FB-0.392=0

其中

而

因此有

解得

t=3.93 s

6 結(jié)語

處于勻強(qiáng)磁場中的某剛性彎曲線圈，如果它所在的平面垂直于磁場方向，在線圈中通入電流I 時(shí)線圈所受磁場安培力為F，那么，以相同端點(diǎn)的直導(dǎo)線通入電流I 時(shí)所受磁場安培力也為F，利用這一規(guī)律，可以方便地對同類問題進(jìn)行求解。應(yīng)該說，2022 年全國高考物理乙卷的這道壓軸題，內(nèi)容雖短，但卻考查了學(xué)生對電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律、電阻定律公式、焦耳定律公式等物理知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，以及靈活運(yùn)用物理公式解決復(fù)雜物理問題的能力。變換相關(guān)的已知條件，可以將原來的高考題改編為題目背景材料相仿、考查知識點(diǎn)類似的不同變式，通過對這些不同變式的訓(xùn)練，可以拓展學(xué)生的視野，在解決類似問題時(shí)能夠舉一反三、觸類旁通。