兩種“合成法”求場(chǎng)強(qiáng)正誤的根源

陸小亮

江蘇省張家港高級(jí)中學(xué)，江蘇 張家港 215600

1 問(wèn)題的提出

（2017 年全國(guó)III 卷第21 題選擇題，改編成了計(jì)算題）［1］一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于xOy 平面，平面內(nèi)a，b，c 三點(diǎn)的位置如圖1 所示，三點(diǎn)的電勢(shì)分別為10 V，17 V，26 V，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

圖1 電場(chǎng)中的三點(diǎn)

此類(lèi)題目多次出現(xiàn)在高考試卷中，因此早已形成了解決這類(lèi)題目的固定解題套路——等分找等勢(shì)點(diǎn)法：如圖2 所示，a 點(diǎn)電勢(shì)最低，c 點(diǎn)電勢(shì)最高，因此可以利用等分法在a，c 兩點(diǎn)的連線(xiàn)上找到與b 點(diǎn)等電勢(shì)的d 點(diǎn)，求出d 點(diǎn)坐標(biāo)為（3.5 cm，6 cm）。連接b，d 兩點(diǎn)的直線(xiàn)就是一條等勢(shì)線(xiàn)，過(guò)c 點(diǎn)作等勢(shì)線(xiàn)的垂線(xiàn)就是一條電場(chǎng)線(xiàn)，垂足為f。根據(jù)幾何關(guān)系可算得c，f 兩點(diǎn)的距離Lcf= 3.6 cm，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

圖2 等分法作圖

等分找等勢(shì)點(diǎn)法的物理意義明顯，但計(jì)算中要使用更多的幾何操作過(guò)程，尤其是面對(duì)空間幾何關(guān)系復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，這種方法的幾何操作和運(yùn)算量很大。因此，近幾年在文獻(xiàn)［1-3］中另辟蹊徑出現(xiàn)了合成法。

1.1 第一種合成法：互相正交的兩個(gè)方向上的合成法

在c 點(diǎn)合成，如圖3 所示，c 點(diǎn)處沿ca 方向和沿cb 方向的分場(chǎng)強(qiáng)分別為

圖3 第一種合成法

則合場(chǎng)強(qiáng)大小為

（3）式與（1）式的結(jié)果相同。

但這種利用相互正交的兩個(gè)方向上的分場(chǎng)強(qiáng)的合成法，是否對(duì)任意的相互斜交的兩個(gè)方向上合成也成立呢？ 請(qǐng)看b 點(diǎn)（或a 點(diǎn)）的合成。

1.2 第二種合成法：互相斜交的兩個(gè)方向上的合成法

在b 點(diǎn)合成，如圖4 所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知圖中θ=53°，b 點(diǎn)處沿ba 方向和沿cb 方向的分場(chǎng)強(qiáng)分別為

圖4 第二種合成法

所以，由余弦定理得，合場(chǎng)強(qiáng)大小為

顯然，（5）式的結(jié)果與（1）式的結(jié)果不同。

問(wèn)題：b 點(diǎn)處的上述合成法得到的（5）式及其結(jié)果為何錯(cuò)了呢？ c 點(diǎn)處合成的結(jié)果（3）式與等分找等勢(shì)點(diǎn)法的結(jié)果（1）式一致，是巧合還是必然呢？

2 勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)通俗結(jié)論的理論分析和推導(dǎo)

電磁學(xué)理論中，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度的關(guān)系［4］：靜電場(chǎng)中某處的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該處電勢(shì)梯度的負(fù)值，即若勻強(qiáng)電場(chǎng)在平面內(nèi)時(shí)，此式可寫(xiě)為

對(duì)此，可引導(dǎo)高中生做如下分析推導(dǎo)，并歸納總結(jié)出一個(gè)通俗的結(jié)論。

【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)】 勻強(qiáng)電場(chǎng)中，沿與場(chǎng)強(qiáng)方向成θ角的直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與這兩點(diǎn)間距離的比值與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系如何呢？

【分析推導(dǎo)】 場(chǎng)強(qiáng)為E 的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，沿與場(chǎng)強(qiáng)方向成θ 角的直線(xiàn)上任取兩點(diǎn)A，B，如圖5所示。根據(jù)高中物理課本中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系“勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于電場(chǎng)強(qiáng)度與這兩點(diǎn)沿電場(chǎng)方向的距離的乘積”，則有

【歸納總結(jié)】 由圖5 和（6）式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一個(gè)通俗的結(jié)論：勻強(qiáng)電場(chǎng)中，把場(chǎng)強(qiáng)沿任意兩點(diǎn)間的連線(xiàn)和垂直于這個(gè)連線(xiàn)正交分解時(shí)，沿這條連線(xiàn)方向的分場(chǎng)強(qiáng)等于這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與這兩點(diǎn)間距離的比值，另一個(gè)分場(chǎng)強(qiáng)與這兩點(diǎn)間連線(xiàn)垂直。即兩個(gè)正交方向上的分場(chǎng)強(qiáng)為：Ex=，合場(chǎng)強(qiáng)為

3 兩種“合成法”求場(chǎng)強(qiáng)正誤的物理根源

根據(jù)上述通俗結(jié)論，（2）式確實(shí)是勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)沿ca 方向和沿cb 方向正交分解后的兩個(gè)分場(chǎng)強(qiáng)，因此由（3）式合成得到正確的場(chǎng)強(qiáng)是必然的，而不是巧合。

根據(jù)上述通俗結(jié)論，把真實(shí)的合場(chǎng)強(qiáng)E真兩次獨(dú)立地正交分解，即第1 次沿ba 方向和垂直于ba 方向正交分解，所得的兩場(chǎng)強(qiáng)分量分別為和E1⊥，第2 次沿cb 方向和垂直于cb 方向正交分解，所得的兩場(chǎng)強(qiáng)分量分別為和E2⊥，如圖6 所示。顯然，圖4 中b 點(diǎn)合成時(shí)的（4）式，就是在圖6 的兩次獨(dú)立的正交分解中，各取一個(gè)分場(chǎng)強(qiáng)0.7 V/cm 和用這兩個(gè)不相關(guān)的分場(chǎng)強(qiáng)通過(guò)合成法（5）式去求合場(chǎng)強(qiáng)，則是“張冠李戴”，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果也是必然的。

圖6 兩次正交分解

至此，搞清了“第二種合成法：互相斜交的兩個(gè)方向上的合成法——在b 點(diǎn)合成”錯(cuò)誤的物理根源。之后的修正方案，只是一個(gè)數(shù)學(xué)處理和計(jì)算的過(guò)程，在此不再贅述。