高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

薛亞瓊

【摘要】目前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革重心落到了提高學(xué)生的核心素養(yǎng)方面，數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法，是學(xué)生核心素養(yǎng)提升的重要途徑，那么如何讓“數(shù)形結(jié)合”有效地滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，并進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？本文就此從集合、函數(shù)等知識(shí)的解題教學(xué)入手，詳細(xì)闡述數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用技巧.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題；數(shù)形結(jié)合

【摘要】目前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革重心落到了提高學(xué)生的核心素養(yǎng)方面，數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法，是學(xué)生核心素養(yǎng)提升的重要途徑，那么如何讓“數(shù)形結(jié)合”有效地滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，并進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？本文就此從集合、函數(shù)等知識(shí)的解題教學(xué)入手，詳細(xì)闡述數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用技巧.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題；數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的應(yīng)用，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想方法可以借助圖象直觀地解釋代數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)也能將幾何圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，達(dá)到將抽象的問(wèn)題直觀化，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的，數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是將直觀圖形與抽象數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，通過(guò)分析圖形表示的數(shù)學(xué)意義，結(jié)合數(shù)學(xué)定理、公式等知識(shí)找到解題思路.數(shù)與形既相互轉(zhuǎn)化，又相互補(bǔ)充，是學(xué)生核心素養(yǎng)養(yǎng)成的重要方法體現(xiàn).

1 在集合解題中的應(yīng)用

在集合運(yùn)算中，如果單純從文本語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言方面入手，很難理清數(shù)量關(guān)系，找到解題突破口.而借助數(shù)形結(jié)合思想可以使集合運(yùn)算一目了然，直觀地觀察到集合的補(bǔ)、并、交等關(guān)系，使解題簡(jiǎn)單化.

例1 假設(shè)平面點(diǎn)集

A=x，yy－xy－1x≥0，

B=x，yx－12+y－12≤1，求A∩B表示的平面圖形面積.

解析 顯然，單純從字面上很難理清各數(shù)量之間的關(guān)系，尤其是其中還包含二元一次函數(shù).若想求兩個(gè)集合交集成的平面圖形面積，就要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，再以圖形為基礎(chǔ)尋找解題思路.

首先，題目給出了集合

A=x，yy－xy－1x≥0，

可得到兩種情況.第一種情況是①y－x≥0且y－1x≥0，第二種情況是②y－x≤0且y－1x≤0.結(jié)合函數(shù)知識(shí)可知上述兩種情況屬于函數(shù)y=x，y=1x 滿足不等式組①或②成立時(shí)的公共部分.

其次，集合B={（x，y）|（x－1）2+（y－1）2≤1}，可將它看成是圓心為1，1，半徑是1的圓.分析到這一步，就可以將兩個(gè)集合轉(zhuǎn)化為圖形，如圖1所示.最后，求A∩B表示的平面圖形.觀察圖1就能夠看出三種圖形的公共區(qū)域面積就屬于所求的平面圖形.又因?yàn)橹本€y=x既是圓的對(duì)稱軸，又是直線y=1x的對(duì)稱軸，那么陰影部分的面積就等于圓面積的一半，即π2.從這道題的解析中不難發(fā)現(xiàn)，其關(guān)鍵點(diǎn)在于能夠?qū)蓚€(gè)集合轉(zhuǎn)化為圖形.做到這一步之后，集合的交集求解就會(huì)簡(jiǎn)單很多.

2 在函數(shù)解題中的應(yīng)用

函數(shù)解題是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的重要領(lǐng)域.函數(shù)知識(shí)板塊的重點(diǎn)包括函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)圖象.在解題中經(jīng)常需要通過(guò)圖形進(jìn)行函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)圖象的相互轉(zhuǎn)化，找到不同數(shù)量關(guān)系在數(shù)學(xué)邏輯上的聯(lián)系，確定解題思路.尤其是在復(fù)雜的分類討論、參數(shù)范圍等綜合題型中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用更廣泛.

例2 求函數(shù)y=x2+4+x2－4x+20的值域.

解析 題干信息比較簡(jiǎn)單，只有函數(shù)表達(dá)式.所以，我們要從函數(shù)表達(dá)式入手.對(duì)于這類題型，一般是應(yīng)用配方法將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為代表定點(diǎn)距離之和的式子.

其中x2+4可將其轉(zhuǎn)化為x－02+0－22，看作是數(shù)軸上點(diǎn)Px，0到點(diǎn)A0，2的距離.x2－4x+20x2－4x+4+16x－22+42x－22+［0－（－4）］2，可看作是點(diǎn)Px，0到點(diǎn)B2，－4的距離.點(diǎn)Px，0可看作是直線x軸上任意一點(diǎn).這時(shí)就能夠?qū)⑶笾涤虻膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為直線x軸上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)之和的取值范圍，解題難度大幅度下降，計(jì)算也更加簡(jiǎn)單.如圖2所示的點(diǎn)關(guān)系圖，只有三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)Px，0到點(diǎn)A0，2、B2，－4的距離和為最小，即ymin=0－22+［2－（－4）］2=210.那么y=x2+4+x2－4x+20的值域?yàn)?10，+∞.從這道題目的解析中能夠看出，只有利用數(shù)形結(jié)合思想，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，才能準(zhǔn)確推導(dǎo)、計(jì)算，得出正確的結(jié)論.

3 在三角問(wèn)題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)生的學(xué)習(xí)與解題中，發(fā)揮著重要的作用.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是將數(shù)與圖形結(jié)合，明確解題思路.三角知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)于三角知識(shí)相關(guān)的題目，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，尋找問(wèn)題的本質(zhì)，利用圖形的直觀性，提高學(xué)生解題效率.因此，在三角問(wèn)題解題中，利用數(shù)形結(jié)合，活化解題思路，提高解題效率.

例3 求證：sin20°＜720.

解析 在此題解答時(shí)，如果利用三角方法證明，解題難度比較大.因此，教師可以引入數(shù)形結(jié)合思想，利用單位圓，結(jié)合面積計(jì)算公式，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答.如圖3所示，在單位圓內(nèi)，三角形AOB的面積是S△AOB=12×1×1×sin20°，扇形AOB的面積是S扇形AOB=12×20π180×12=12×π9，因?yàn)槿切蜛OB的面積比扇形AOB的面積小，所以12sin20°＜12×π9＜12×720，所以sin20°＜720.

4 結(jié)語(yǔ)

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想方法是核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)根據(jù)題干條件，靈活轉(zhuǎn)化圖形與數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)列出等式進(jìn)行計(jì)算.這樣就能降低解題難度，提升解題效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］黃希.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（02）：47-48.

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［3］劉喆瓊.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.科幻畫報(bào)，2022（11）：76-78.