通過(guò)“一題多解”教學(xué)助推初中生數(shù)學(xué)思維能力進(jìn)階

郭俊楠 韋柳伶

摘? 要? “一題多解”教學(xué)能拓寬學(xué)生問(wèn)題解決思路，能促成思維的發(fā)散和創(chuàng)新，同時(shí)能幫助學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，整合并完善知識(shí)框架?！耙活}多解”教學(xué)應(yīng)該具有適切性、貫通性與發(fā)展性。本文通過(guò)對(duì)一道平面幾何試題的多角度解析，總結(jié)出“一題多解”助推能力進(jìn)階的優(yōu)化策略，即搭建學(xué)生思維支架、引發(fā)學(xué)生思維碰撞、推動(dòng)學(xué)生自我反思。

關(guān)鍵詞? 一題多解；思維能力；思維優(yōu)化策略

中圖分類(lèi)號(hào)? G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼? A

文章編號(hào)? 2095-5995（2023）08-0054-03

中學(xué)生具備強(qiáng)烈的求知欲，思維活躍，因此在中學(xué)階段培養(yǎng)創(chuàng)新能力尤為關(guān)鍵。在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)課程作為一門(mén)抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，發(fā)揮著培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性、發(fā)散性、深刻性思維，以及分析和解決問(wèn)題能力的基礎(chǔ)性作用。而解題教學(xué)中，采用“一題多解”的方法則顯得尤為重要，這種方法鼓勵(lì)學(xué)生深入思考，展現(xiàn)自己的思維方式。同時(shí)“一題多解”也可以促進(jìn)學(xué)生智力開(kāi)發(fā)、關(guān)鍵能力培養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展等多方面的共同發(fā)展。

一、“一題多解”教學(xué)的特點(diǎn)

“一題多解”教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以從多個(gè)角度、多種方式進(jìn)行思考和解答，以達(dá)到深刻理解和全面掌握問(wèn)題的目的。其特點(diǎn)體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（一）適切性

通常情況下，學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決時(shí)，為了激活發(fā)散思維，培養(yǎng)關(guān)鍵能力，積極探索和開(kāi)展“一題多解”教學(xué)與學(xué)習(xí)活動(dòng)是有必要的。雖然解題路徑并非只有一條，但需要保證解題思維活動(dòng)要有正確導(dǎo)向[1]。另外，“一題多解”方法并不意味著解題思維的無(wú)限制發(fā)散，而是要求學(xué)生在不同解法之間找到適當(dāng)?shù)钠胶猓m然解題的路徑可以有多條，但是這些解法都應(yīng)當(dāng)具有正確的導(dǎo)向。教師在教學(xué)過(guò)程中需要引導(dǎo)學(xué)生避免過(guò)度追求創(chuàng)新，而是要讓學(xué)生掌握通用性的解題方法，然后在此基礎(chǔ)上適度地引入其他易于理解的解法，以確保解題思維的發(fā)散與聚攏能夠相互協(xié)調(diào)。這樣，學(xué)生的知識(shí)掌握和應(yīng)用可以形成一個(gè)良性循環(huán)。

（二）貫通性

“一題多解”方法要求學(xué)生從多個(gè)方面分析問(wèn)題，捕捉關(guān)鍵信息，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，然后從不同角度對(duì)信息進(jìn)行加工與綜合。有時(shí)候，在這個(gè)過(guò)程中，有時(shí)候可以發(fā)現(xiàn)多種解法之間的相通性，顧名思義，即不同的解法背后所蘊(yùn)含的知識(shí)本質(zhì)是相通的。這種相通性可以幫助學(xué)生建立一個(gè)由內(nèi)而外漸進(jìn)擴(kuò)展的解法體系，使得解決一個(gè)問(wèn)題能夠幫助他們解決一類(lèi)問(wèn)題，較好地凸顯出“一題多解”的貫通性。然而，捋清不同解法之間的相通性需要較高的思維能力，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析，找出解法之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。

（三）發(fā)展性

解決問(wèn)題的方法和思路會(huì)隨著知識(shí)的積累和經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)而發(fā)展演變。學(xué)生的知識(shí)面越廣，他們?cè)诮忸}過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)更多的思路和方法。例如，學(xué)生初學(xué)代數(shù)后，遇到相關(guān)問(wèn)題就只能用代數(shù)思路來(lái)解決，及至學(xué)了幾何相關(guān)知識(shí)后，遇到代數(shù)問(wèn)題時(shí)就能用數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)解決，甚至能發(fā)散出更多新穎思路。然而，這并不意味著“一題多解”教學(xué)應(yīng)該超前引入過(guò)于復(fù)雜的知識(shí)。該方法的核心是引導(dǎo)學(xué)生從已學(xué)知識(shí)中發(fā)現(xiàn)不同的解題途徑，培養(yǎng)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的深刻理解，使他們能夠逐步地提升解題的靈活性和創(chuàng)造性。

二、例析“一題多解”的思維發(fā)展過(guò)程

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，不同的解題思路不僅體現(xiàn)了技巧層面的差異，更凸顯了思維方式的差異。解題教學(xué)的重點(diǎn)在于通過(guò)培養(yǎng)解題能力，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，并提升觀(guān)察、聯(lián)想、分析、概括等關(guān)鍵能力。這種能力提升進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，去發(fā)掘題目中隱含的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)已有的知識(shí)框架進(jìn)行整合，拓展解題思路，逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維和發(fā)散思維的習(xí)慣。

【例題】如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，∠CAE=45°，求BE的長(zhǎng)度。

分析問(wèn)題，不難發(fā)現(xiàn)，該題目中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬比例恒為2∶1，并且能直觀(guān)看出線(xiàn)段BE在直角三角形ABE中，那么如何利用好∠CAE=45°這一關(guān)鍵條件來(lái)求BE的長(zhǎng)度是突破該題目的關(guān)鍵，具體剖析思路如下。

（一）多解分析

解法1：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，則△AEF為等腰直角三角形，設(shè)EF=t，則AF=t，由tan∠ACB=ABBC=EFCF=12，則CF=2t，則AC=32+62=35=3t，故t=5，

則EC=t2+（2t）2=5，所以BE=BC－CE=6－5=1。

解法2：如圖3所示，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，使得CG⊥AG，則△AGC為等腰直角三角形，故CG=AG。作線(xiàn)段MN，使其過(guò)點(diǎn)G，構(gòu)造一個(gè)新的矩形AMND，所以△AMG≌△GNC，設(shè)BM=x，則CN=MG=x，即GN=x+3，MN=BC=x+3+x=6，故x=32，由BEMG=BEx=ABAM=33+x，解得BE=1。

解法3：如圖4所示，補(bǔ)全得到一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形AJKD，延長(zhǎng)KJ至點(diǎn)O，使得JO=CD，所以△ACD≌△AOJ，故∠2+∠BAE=∠1+∠BAE=45°，故△ACL≌△AOL，故JO=CD，設(shè)JL=x，則LK=6－x，LC=3+x，由LC2=LK2+CK2，得到（3+x）2=（6－x）2+32，即x=2，由BE∶JL=1∶2，即BE=1。

解法4：如圖5所示，以AC為邊作正方形APQC，連接EP，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥AP于I，作EH⊥PQ于H，可證得△AEP≌△AEC，設(shè)EI=x，則AI=x，PI=35－x，由S△AEP=S△AEC，得AP×EI=EC×AB，則EC=EP=5x，然而EP=x2+（35－x）2=5x，解得x=5，則AE=2x=10，因此BE=AE2－AB2=102－32=1。

解法5：如圖6所示，取BC的中點(diǎn)為R，作RS⊥AC于S，由△SCR∽△BCA得SRBA=CRCA=335，即SR=355，則SC=655，SA=955，由∠EAR+∠BAE

=∠EAR+∠SAR=45°，故tan∠BAE=tan∠SAR=SRSA=13=BEAB，所以BE=1。

（二）思維過(guò)程剖析

上述五種解法均圍繞∠CAE=45°，通過(guò)輔助線(xiàn)，構(gòu)造出等腰三角形展開(kāi)多角度求解。

實(shí)際上，該題目的解法遠(yuǎn)不止上述五種，例如解法1，也可以將點(diǎn)E作為直角定點(diǎn)，亦可以過(guò)點(diǎn)B向AC作垂線(xiàn)，構(gòu)造等腰直角三角形，這種相似思路也可謂通性通法思維。考慮到BE在RtΔABE中，若能求得tan∠BAE，便能直接得到BE圍繞這一思路，借助三角形相似或全等，構(gòu)造長(zhǎng)方形解法2，構(gòu)造正方形解法4以及構(gòu)造相等角解法5，根據(jù)比例關(guān)系求解BE。

若深入思考本題目背后蘊(yùn)藏的本質(zhì)，便可借助圖形語(yǔ)言抽象刻畫(huà)出45°的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)模型，如圖7所示，∠1+∠2=45°，tan∠1=12，tan∠2=13。鑒于此，本文中的題目可以直接運(yùn)用這條規(guī)律解題，便可獲取一種新的速解方法：∠BAE+∠CAD=45°，而tan∠CAD=12，則tan∠BAE=13，即BEAB=13，所以BE=1。

三、優(yōu)化“一題多解”教學(xué)策略以推進(jìn)學(xué)生思維能力提升

（一）搭建學(xué)生思維框架

在進(jìn)行“一題多解”教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)采用一系列操作來(lái)構(gòu)建思維框架。教師不應(yīng)急于揭示具體解題思路和結(jié)果，而是應(yīng)在與學(xué)生的互動(dòng)中，采用漸進(jìn)啟發(fā)法，了解學(xué)生實(shí)際想法和觀(guān)點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，教師揭示潛在的思維難點(diǎn)，并設(shè)置問(wèn)題框架，通過(guò)引導(dǎo)和教學(xué)的結(jié)合，逐步拆解這一框架。在這個(gè)過(guò)程中，教師可以根據(jù)學(xué)生的不同思考路徑，深入思考與討論，從而逐一得出不同的解題思路[2]。

（二）引發(fā)學(xué)生思維碰撞

在課堂教學(xué)中，學(xué)生不同的思維角度會(huì)相互碰撞和交疊，這種情況被稱(chēng)為思維碰撞[3]。創(chuàng)造富有思維碰撞氛圍，有助于實(shí)現(xiàn)“一題多解”的效果。教師需要抓住契機(jī)，引導(dǎo)持不同觀(guān)點(diǎn)的學(xué)生進(jìn)行交流、互動(dòng)和探究，培養(yǎng)挖掘試題隱含條件的能力。

（三）推動(dòng)學(xué)生自我反思

在解題過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)遇到思維斷層與割裂，導(dǎo)致解題過(guò)程碎片化。此外，學(xué)生可能在課堂上聽(tīng)懂了，但課后無(wú)法獨(dú)立解決問(wèn)題。這種現(xiàn)象被稱(chēng)為“懂而不會(huì)”。要克服這種思維障礙，學(xué)生需要進(jìn)行自我反思，即在沒(méi)有教師或同伴提示或引導(dǎo)的情況下，通過(guò)自我領(lǐng)悟和內(nèi)省來(lái)解決問(wèn)題[4]。

（郭俊楠，湖北華宜寄宿學(xué)校，武漢 430223；韋柳伶，廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，南寧 530006）

參考文獻(xiàn)：

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[2]卞恩艷，許彩娟.從一題多解例談初中生數(shù)學(xué)思維的靈活性特點(diǎn)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（5）：34-36.

[3]唐健.一題多解引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)--一道多變量最值問(wèn)題的7種解法[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（5）：22-24.

[4]涂德佳，王童童.例說(shuō)懂而不會(huì)與會(huì)而不懂現(xiàn)象的原因及對(duì)策[J].數(shù)學(xué)之友，2020（5）：60-61.

責(zé)任編輯：劉? 源

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