借助“穿越”情境 展開想象與操作
——“探究三角形的高”的教學(xué)嘗試

□杜夢琳

在“三角形的認(rèn)識(shí)”中，邊和角是三角形的顯性特征，高則是隱性特征。正確找到高，感受三角形底和高的相互依存關(guān)系，需要較強(qiáng)的空間想象力。因此，借助“三角形的高”這一內(nèi)容，可以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間想象力。

一、課前思考

在認(rèn)識(shí)三角形之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了垂直關(guān)系，理解了“點(diǎn)到直線的距離”，具備了對距離概念與最短線段等的感性認(rèn)識(shí)，掌握了過指定點(diǎn)畫已知直線的垂線的作圖技能。在日常生活中，也常常會(huì)遇到諸如測量身高之類的“測高”活動(dòng)。因此，學(xué)生已具備學(xué)習(xí)三角形的高的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

在“三角形的高”的教學(xué)中，教師一般會(huì)采用講授法，將三角形的高直接告知學(xué)生，讓他們從認(rèn)識(shí)概念直接到應(yīng)用概念。這個(gè)教學(xué)過程忽視了學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，致使學(xué)生難以理解認(rèn)識(shí)三角形的高的本質(zhì)及必要性。另外，在教學(xué)實(shí)踐中，畫高對學(xué)生而言也有一定難度，特別是畫直角三角形的高和鈍角三角形的高。

基于上述分析，筆者設(shè)計(jì)了“圖形運(yùn)動(dòng)會(huì)”的故事情境，推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究，在猜高、畫高、量高、試高、比高等活動(dòng)中展開對三角形的高的學(xué)習(xí)，從而理解三角形的高的本質(zhì)，發(fā)展空間想象力。本內(nèi)容的具體教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）通過思考三角形的穿越策略，主動(dòng)構(gòu)建三角形的底和高之間的聯(lián)系，為操作提供想象基礎(chǔ)。

（2）通過觀察銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形等三角形模型穿門的過程，直觀感知高的位置與長短，為探索三角形的高的本質(zhì)提供直接經(jīng)驗(yàn)。

（3）通過對各類三角形的高的觀察、對比和思考，建立結(jié)構(gòu)化思維，進(jìn)一步提高想象力。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）對接生活經(jīng)驗(yàn)，豐富表象感知“高”

真實(shí)情境與問題提出有助于推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)。學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是生活中的一些實(shí)際事例，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是對現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)的理解與反思過程［1］。在故事中融入數(shù)學(xué)問題，能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力以及他們提出問題的能力。

教學(xué)時(shí)，教師結(jié)合杭州亞運(yùn)會(huì)，以小視頻的形式引入“圖形運(yùn)動(dòng)會(huì)”的故事情境：有3名三角形運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加“穿越運(yùn)動(dòng)賽”，只要穿過一道幸運(yùn)門就能獲得1枚獎(jiǎng)?wù)拢ㄈ鐖D1）。

圖1

師：比賽前，大家先來預(yù)測一下這3 名三角形運(yùn)動(dòng)員的獲獎(jiǎng)情況。

生：①號運(yùn)動(dòng)員看上去能穿過兩道門，能得2枚獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

生：②號運(yùn)動(dòng)員看上去有點(diǎn)高，只能穿過1 號門，得1枚獎(jiǎng)?wù)拢虎厶栠\(yùn)動(dòng)員最矮，能得3枚獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

生：②號運(yùn)動(dòng)員只要翻個(gè)身就能穿過三道門，能得3枚獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

生：如果可以翻身，那么每名運(yùn)動(dòng)員都可以獲得3枚獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

學(xué)生通過觀察，一一比較三扇門的門高與三角形運(yùn)動(dòng)員的身高，并提出設(shè)想：三角形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)，若以不同的邊為底，那么三角形的“身高”各不相同。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)三角形的高之前，學(xué)生已經(jīng)積累了對“高”的認(rèn)識(shí)。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的高時(shí)能自然對接原有的測身高經(jīng)驗(yàn)，激活對高的直觀感知。教師創(chuàng)設(shè)“圖形運(yùn)動(dòng)會(huì)”的故事情境，讓學(xué)生通過觀察，想象三角形的高就是三角形運(yùn)動(dòng)員“頭頂”（頂點(diǎn)）到“腳底”（底邊）之間的距離。這樣的學(xué)習(xí)方式符合學(xué)生天真活潑愛幻想的天性，擬人化的方式也有助于學(xué)生建立不同事物間的關(guān)聯(lián)以開啟想象。

（二）依托想象說理，動(dòng)手探究辨析“高”

問題提出后，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分聯(lián)想、自由表達(dá)，在應(yīng)用直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行辨析、探究，生成學(xué)習(xí)資源，有效促進(jìn)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。

由于每名學(xué)生對銳角三角形的高的想象都是不同的，因此，教師讓學(xué)生基于想象，借助學(xué)習(xí)單來尋找銳角三角形的高，并在銳角三角形上畫一畫、量一量高的長度（如圖2）。

圖2

學(xué)生通過交流反饋，體會(huì)到高是三角形的頂點(diǎn)到對邊的最短距離，是一條垂線段。

設(shè)計(jì)意圖：以三角形非水平方向的邊為底作高是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教師先利用三角形運(yùn)動(dòng)員穿越幸運(yùn)門的故事情境，引導(dǎo)學(xué)生展開想象，思考三角形運(yùn)動(dòng)員可以通過改變站姿來適應(yīng)門高，從而認(rèn)識(shí)銳角三角形三條不同的高。然后鼓勵(lì)學(xué)生想象與說理，明晰三角形高的概念本質(zhì)，豐富對三角形三條高認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)。

（三）動(dòng)手操作驗(yàn)證，推動(dòng)對“高”的深刻想象

操作活動(dòng)需要思維的參與，思維也需要在操作活動(dòng)中發(fā)展，想象力的發(fā)展離不開操作活動(dòng)［2］。帶著想象進(jìn)行操作活動(dòng)，學(xué)生就能形成明確的研究目標(biāo)，用數(shù)學(xué)的思維理解現(xiàn)實(shí)圖像的數(shù)學(xué)意義。

在學(xué)生畫銳角三角形的高的基礎(chǔ)上，教師提供學(xué)具（如圖3），組織學(xué)生進(jìn)行操作驗(yàn)證：“準(zhǔn)備好了嗎？請銳角三角形運(yùn)動(dòng)員上場！”讓學(xué)生用銳角三角形學(xué)具進(jìn)行穿越實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證其是否能穿過圖中的三道門。

圖3

學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)：銳角三角形只能用兩種“站姿”穿過1 號門，即能以兩條較短的高穿過1 號門，但穿不過2號和3號門（如圖4）。因此，銳角三角形運(yùn)動(dòng)員能獲得1枚獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

圖4

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)立足操作與想象，使學(xué)生獲得對三角形的高的直觀感知。教師讓學(xué)生用三角形學(xué)具和門框模型模擬比賽現(xiàn)場，通過直觀操作，將三扇門的門高與三角形運(yùn)動(dòng)員的身高進(jìn)行一一比較，看到結(jié)果后驗(yàn)證自己的想象，形成想象回路，體會(huì)“頂點(diǎn)”“對邊”“垂線段”的深刻內(nèi)涵。

（四）故事情節(jié)助推，對不同“高”進(jìn)行充分想象

理解直角三角形、鈍角三角形的高是教學(xué)的難點(diǎn)，因此，教師要讓學(xué)生依托視覺、觸覺等感官活動(dòng)，將產(chǎn)生的直覺感知與想象進(jìn)行互動(dòng)，從而形成清晰的表象。

教師為每組學(xué)生提供直角三角形（三條高分別為8 cm、6 cm、5 cm）和鈍角三角形（三條高分別為8 cm、4 cm、3 cm）學(xué)具（如圖5），組織學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行操作驗(yàn)證：直角三角形和鈍角三角形運(yùn)動(dòng)員分別能獲得幾枚獎(jiǎng)?wù)履?？學(xué)生可以在學(xué)習(xí)單上畫高、量高，或直接在三角形學(xué)具上量高。

圖5

學(xué)生完成探究后，教師組織反饋。

師：這兩名三角形運(yùn)動(dòng)員到底有多高呢？它們的高在哪里呢？

生：（呈現(xiàn)學(xué)習(xí)單上的直角三角形作高圖）直角三角形有兩條直角邊，一條直角邊作底時(shí)，另一條直角邊就是它的高。這樣的高有兩條，分別為8 cm和6 cm，還有一條是以斜邊為底作的高，為5 cm。直角三角形無論用什么“站姿”都能穿過1號門，可以得到1枚獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

生：2號門的高度是6 cm，3號門的高度是4 cm。直角三角形能夠穿過2號門，但穿不過3號門，因此還可以再得1枚獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

生：（呈現(xiàn)鈍角三角形作高圖）我覺得鈍角三角形運(yùn)動(dòng)員很特別，它只有一條高在三角形內(nèi)部，長3 cm，另外兩條高好像不在三角形內(nèi)。大家看，當(dāng)鈍角三角形的頂點(diǎn)碰到門框時(shí)，可以看到它的高在三角形外（如圖6、圖7）。

圖6

圖7

生：是的，我也發(fā)現(xiàn)了。鈍角兩邊張開的角度大，所以有兩條高在外面。

圖形外面的高能畫出來嗎，怎么畫？教師因勢利導(dǎo)，示范畫鈍角三角形的外高。

學(xué)生討論總結(jié)直角三角形高的位置特征和畫圖技巧：兩條直角邊互為底和高，用斜邊作底對應(yīng)一條內(nèi)高。作圖時(shí)，與兩條直角邊重合的高不用重復(fù)畫，加直角符號即可。鈍角三角形有兩條外高和一條內(nèi)高。畫外高時(shí)，要先將底邊延長，再過頂點(diǎn)作高。

設(shè)計(jì)意圖：銳角三角形的三條高都是內(nèi)高，直角三角形有兩條直角邊互為底和高，鈍角三角形有兩條外高。其中，鈍角三角形的兩條外高是難點(diǎn)，學(xué)生很難想象。因此，教師要給學(xué)生提供學(xué)具，讓學(xué)生借助實(shí)物模型進(jìn)行探究，有物可比，有形可想。經(jīng)過反復(fù)操作，學(xué)生打破固有想法，意識(shí)到高確實(shí)會(huì)落在鈍角三角形的外部，高雖“無形”卻真實(shí)存在，有效突破了鈍角三角形“外高”的認(rèn)知難點(diǎn)。

（五）聯(lián)結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓展對“高”的想象深度

數(shù)學(xué)知識(shí)具有內(nèi)在聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化特征。教學(xué)中，教師要利用學(xué)生已有知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生辨析學(xué)習(xí)材料，進(jìn)行聯(lián)想推理，形成結(jié)構(gòu)化思維，培養(yǎng)空間想象力和空間觀念。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：在三角形ABC中，如果BC邊不變，將頂點(diǎn)A左右移動(dòng)，高會(huì)發(fā)生什么變化？三角形會(huì)發(fā)生什么變化？在學(xué)生想象的基礎(chǔ)上，用視頻進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生理解：銳角三角形的高在三角形內(nèi)部，直角三角形的高在直角邊上，鈍角三角形的高在三角形外部。由此為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形面積奠定基礎(chǔ)。

設(shè)計(jì)意圖：通過左右移動(dòng)頂點(diǎn)A，激發(fā)學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象，讓學(xué)生感受高的位置變化帶來三角形形狀的變化，進(jìn)一步豐富學(xué)生對高的認(rèn)識(shí)。同時(shí)讓學(xué)生感受到：雖然三角形高的位置有變化，但它們有共同的底和相等的高。由此為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形面積奠定基礎(chǔ)。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)加深了學(xué)生對三角形高的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生在想象三角形高與形狀發(fā)生變化的過程中，培養(yǎng)空間觀念和想象力。

三、教后所思

（一）以故事為載體，激發(fā)數(shù)學(xué)想象

數(shù)學(xué)故事可以成為承載數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題的載體，觸發(fā)學(xué)生的情感投入，激發(fā)學(xué)生的想象力。本內(nèi)容的教學(xué)基于學(xué)生生活中的測高經(jīng)驗(yàn)展開，并與杭州亞運(yùn)會(huì)相結(jié)合，通過創(chuàng)編“圖形運(yùn)動(dòng)會(huì)”的故事情境，讓學(xué)生在故事情節(jié)中思考：三角形的高在哪里？哪種三角形的高最矮？研究三角形的高有什么用？等等。

（二）以猜想為導(dǎo)向，引領(lǐng)數(shù)學(xué)想象

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“數(shù)學(xué)既要教證明，又要教猜想?！辈孪氩皇翘祚R行空地亂想，而是要有一定的科學(xué)依據(jù)和針對性［3］。教師要讓學(xué)生在想象中提出猜想、合理推導(dǎo)，并操作驗(yàn)證。首先，創(chuàng)設(shè)3名三角形運(yùn)動(dòng)員參加“穿越運(yùn)動(dòng)賽”的故事情境，讓學(xué)生通過觀察進(jìn)行直覺猜想：各個(gè)三角形運(yùn)動(dòng)員都能穿過哪些門？接著，幫助學(xué)生給銳角三角形畫高、量高，理解“高是三角形的頂點(diǎn)到對邊的最短距離，高是一條垂線段”。最后，在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用實(shí)物操作驗(yàn)證。在反復(fù)操作中，學(xué)生展開深度思考：頂點(diǎn)和底為什么要對應(yīng)呢？為什么作高要作垂線段呢？由此引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)三角形高的概念。該教學(xué)設(shè)計(jì)借助學(xué)生的猜想，讓學(xué)生順利完成從“物”到“形”的轉(zhuǎn)換，由此發(fā)展學(xué)生的空間想象力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念［4］。

（三）以操作為依托，助推數(shù)學(xué)想象

數(shù)學(xué)想象要有清晰表象作為經(jīng)驗(yàn)素材。為突破鈍角三角形的形外高這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，教師要讓學(xué)生展開對三角形的高的本質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察。學(xué)生在對數(shù)學(xué)形式化材料的操作中，感知高不取決于三角形的形狀與位置，而只取決于頂點(diǎn)與底之間的距離。動(dòng)手操作是探究的開始，觀察生成想象，想象又促使學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，探究數(shù)學(xué)規(guī)律。

在本內(nèi)容的教學(xué)中，學(xué)生在創(chuàng)編故事的活動(dòng)體驗(yàn)中，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體的實(shí)踐問題，將生活經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為數(shù)學(xué)概念，收獲了有趣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)和豐富的想象力。