隨機(jī)事件的獨(dú)立性及其應(yīng)用

韓燕玲

【摘要】《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門(mén)課是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科.其中隨機(jī)事件的獨(dú)立性作為概率論中最基本的概念之一，與后續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性有著密切的關(guān)聯(lián)，無(wú)論是在科學(xué)理論研究還是生產(chǎn)、生活等實(shí)際應(yīng)用中都有重要意義，因而對(duì)隨機(jī)事件的獨(dú)立性的學(xué)習(xí)與探討就尤為必要.文章從隨機(jī)事件的獨(dú)立性概念及其應(yīng)用兩個(gè)方面進(jìn)行概述與研究，先給出了隨機(jī)事件的獨(dú)立性的基本概念、相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論，再?gòu)乃膫€(gè)方面通過(guò)具體實(shí)例展示了隨機(jī)事件的獨(dú)立性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】獨(dú)立性；伯努利概型；小概率原理；應(yīng)用.

【基金項(xiàng)目】基于鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院公共數(shù)學(xué)課程思政的教學(xué)內(nèi)容與體系建設(shè)研究（JG-210102）；鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目

一、事件的獨(dú)立性概念

我們知道一般情況下P（B）≠P（B|A）.但在許多實(shí)際問(wèn)題中，兩個(gè)事件發(fā)生互不影響時(shí)，也就是有P（B）=P（B|A），此時(shí)有

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）P（B）.

例1 袋子里裝有個(gè)8球，其中3個(gè)黑球，5個(gè)白球，從中有放回地取兩次，求：（1）第一次取到白球的概率；

（2）第一次取到黑球后放回，再?gòu)闹腥〉桨浊虻母怕?

定義1 若A，B是兩個(gè)事件，P（AB）=P（A）P（B），則稱(chēng)A，B兩事件相互獨(dú)立.

注：①區(qū)分兩個(gè)事件互不相容和相互獨(dú)立.

②若P（A）>0，P（B）>0，則有事件A，B相互獨(dú)立與互不相容不能同時(shí)成立.

定理1 設(shè)有兩個(gè)事件A，B，若P（A）>0，則

判斷事件的獨(dú)立性往往不是由定義出發(fā)，而是由實(shí)際背景來(lái)認(rèn)定的.如對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，有放回抽樣各次是獨(dú)立的，不放回抽樣各次是不獨(dú)立的.

例2 若令甲、乙兩人單獨(dú)解答同一練習(xí)題，甲能答對(duì)的概率為0.8，乙能答對(duì)的概率為0.9.試計(jì)算：（1）兩人都答對(duì)的概率；（2）至少有一人答對(duì)的概率.

解 （1）設(shè)事件A={甲答對(duì)題目}，B={乙答對(duì)題目}.則P（A）=0.8，P（B）=0.9.事件A與B相互獨(dú)立，兩人都答對(duì)為事件AB，

P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.9=0.72.

（2）至少有一人答對(duì)的事件為A∪B，可用多種方法求解P（A∪B）.

則稱(chēng)事件A，B，C相互獨(dú)立，若（1）的前三個(gè)等式成立，則稱(chēng)A，B，C兩兩獨(dú)立.

注：相互獨(dú)立必兩兩獨(dú)立，反之未必.

（三）伯努利概型

若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只存在兩種可能：事件A發(fā)生（稱(chēng)為成功）或事件A不發(fā)生（稱(chēng)為失敗），則我們稱(chēng)該試驗(yàn)為伯努利（Bernoulli）試驗(yàn).

定義4 在相同條件下把伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)，或簡(jiǎn)稱(chēng)為伯努利概型.

也稱(chēng)上式中的b（k；n，p）為二項(xiàng)概率.

推論 設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p（0

例4 若某彩票為每周開(kāi)獎(jiǎng)一次，而每次僅有百萬(wàn)分之一的中獎(jiǎng)機(jī)率.若張強(qiáng)每周買(mǎi)一張?jiān)摬势?，盡管他堅(jiān)持了有10年（每年52周），計(jì)算他從未中過(guò)獎(jiǎng)的概率為多少？

解 若張強(qiáng)每周買(mǎi)一張，則他不中獎(jiǎng)的概率為p（0

二、隨機(jī)事件的獨(dú)立性的應(yīng)用

（一）隨機(jī)事件的獨(dú)立性與小概率原理在生活中的警示

例5 春節(jié)燃放煙花爆竹是中華民族延續(xù)了兩千余年的傳統(tǒng)，但是煙花爆竹的燃放也經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致意外的發(fā)生，釀成慘劇.假設(shè)春節(jié)期間北京市有100萬(wàn)人次燃放煙花爆竹，而每一次燃放煙花爆竹會(huì)引發(fā)火警的可能性是十萬(wàn)分之一，試求沒(méi)有引發(fā)火警的概率為多少？

由此可見(jiàn)，不引發(fā)火警幾乎是不可能的.

2021年的春節(jié)是北京市嚴(yán)格禁放煙花爆竹的第四個(gè)春節(jié)，據(jù)報(bào)道，全市仍有55人因燃放煙花爆竹而致傷.據(jù)統(tǒng)計(jì)，在沒(méi)有禁放的2005年春節(jié)期間，北京市共接到火警警報(bào)818起，其中由煙花爆竹所引發(fā)的火災(zāi)有282起，僅除夕夜就接報(bào)火警444起，因燃放煙火引起的火情有172起.據(jù)北京市衛(wèi)生局統(tǒng)計(jì)，因煙花爆竹燃放致傷到28家重點(diǎn)醫(yī)院救治的就有307人，其中還有4人因燃放煙花爆竹而死亡.

（二）隨機(jī)事件的獨(dú)立性在質(zhì)量檢測(cè)中的應(yīng)用

例6 驗(yàn)收一大批購(gòu)進(jìn)的產(chǎn)品，廠家報(bào)出這批產(chǎn)品的次品率小于0.005，用戶采用重復(fù)放回抽樣檢測(cè)共抽查200件，查出4件次品，問(wèn)廠家報(bào)出的次品率是否可信？

結(jié) 語(yǔ)

隨機(jī)事件的獨(dú)立性是概率論課程的重要知識(shí)，除文章列舉的應(yīng)用外，其在理論和實(shí)踐中還有著非常廣泛的應(yīng)用.筆者讓學(xué)生明白概率知識(shí)也是從實(shí)踐中來(lái)，又到實(shí)踐中去的，從而培養(yǎng)學(xué)生用概率知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使其發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的樂(lè)趣，提高其學(xué)習(xí)的積極性，促使其更好地掌握隨機(jī)事件的知識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

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[3]張杰，徐屹，郭麗杰，劉洪傳，宋云飛.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2021.