幾何證明題解題思路研究

魏迎萍

【摘要】基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中，幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)的重要組成部分，成為人們備受關(guān)注的問(wèn)題之一.文章主要是以近五年成都市中考試卷幾何證明題為例，結(jié)合學(xué)生目前對(duì)于幾何證明所遇到的問(wèn)題，就幾何證明題的解題思路進(jìn)行研究.回看近五年來(lái)成都市中考試卷，其中平面幾何每年都會(huì)以選擇、填空、解答或證明題形式出現(xiàn)，題型靈活多變.文章歸納總結(jié)了幾何證明題的一般解題思路和解題技巧，將“理論用于實(shí)踐”，從未知到已知，進(jìn)一步提升學(xué)生解決幾何證明題的能力.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；幾何證明題；解題思路；成都市中考試題

引 言

一直以來(lái)，幾何學(xué)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要部分，在課程改革中，幾何學(xué)的改革早已成為人們非常關(guān)注的問(wèn)題.幾何證明題難度較大，很多學(xué)生會(huì)因?yàn)椤肮?jié)約時(shí)間”“合理利用時(shí)間”等原因在未認(rèn)真閱讀題目的情況下放棄該題目，因此幾何證明題也就成為拉開(kāi)學(xué)生差距的題目.但幾何證明題并不是非常高深的題型，如果學(xué)生能夠掌握正確的解題思路，使用行之有效的解題技巧，不僅可以降低幾何證明題的難度，也能夠提高幾何證明題的準(zhǔn)確率.此外，學(xué)生對(duì)自己能夠解決幾何證明題的信心不足，也容易產(chǎn)生放棄的念頭，如果教師在講解幾何證明題時(shí)能幫助學(xué)生整理解題思路，歸納解題技巧，長(zhǎng)而久之，學(xué)生的解題能力自然會(huì)得到提升.下面筆者以成都市近五年中考真題為例，對(duì)幾何證明題解題思路進(jìn)行梳理.

一、讀已知信息，從題目中提取有效信息

想要解幾何證明題，審題非常重要.很多學(xué)生在拿到題目以后，沒(méi)有標(biāo)記的習(xí)慣，也沒(méi)有分析所給已知信息的目的，這樣不僅可能會(huì)導(dǎo)致審題錯(cuò)誤，而且可能會(huì)導(dǎo)致無(wú)效審題.因此，學(xué)生在拿到一道題目后，首先要做的就是根據(jù)已知信息盡可能多地推測(cè)出與其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn).

例如，題目中給出“Rt△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′”，學(xué)生便可以推測(cè)出：△ABC≌△A′B′C′，△ABC中有一角等于90°等信息，同時(shí)要考慮到初中所學(xué)過(guò)的所有與三角形有關(guān)的知識(shí)，如全等、相似、三角形外角和定理、中位線、等腰三角形的三線合一等，這些都是?？嫉闹R(shí)點(diǎn).

因此，有效讀題，并不僅是讀題目中的已知信息，而是要盡量根據(jù)已知信息，快速推測(cè)出相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

二、讀題干，從題干中獲取有效信息

題干中的信息是學(xué)生最容易忽略的地方，很多學(xué)生在閱讀題目時(shí)更在乎需要解決的問(wèn)題.而很多難度比較大的題目，關(guān)鍵條件都隱藏在題干之中，需要結(jié)合已知信息進(jìn)行延伸，找到解題思路.學(xué)會(huì)引申最有效的方法就是學(xué)生平時(shí)多多積累，需要對(duì)定理、知識(shí)點(diǎn)非常熟悉.對(duì)于特殊的圖形，學(xué)生在平時(shí)要記憶，在讀題干、審題時(shí)也一定要加以標(biāo)注，要做到從隱藏條件中提取相關(guān)知識(shí)點(diǎn).在圖形中進(jìn)行標(biāo)注，不僅可以幫助學(xué)生區(qū)分已知和未知信息，也可以幫助學(xué)生進(jìn)一步思考，獲取有效信息.

總之，讀題時(shí)要做到以下幾點(diǎn)，其一，細(xì)心讀題，不要被陷阱給迷惑；其二，讀題時(shí)要標(biāo)記和記憶；其三，讀題時(shí)要注意深度思考，很多信息不是題干直接給出的.

下面以成都市中考真題進(jìn)行說(shuō)明：

例1 （成都市2021年中考A卷第20題）如圖1，AB為☉O的直徑，C為☉O上的一點(diǎn)，連接AC，BC，D為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接CD，且∠BCD=∠A.

（1）求證：CD是☉O的切線；

（2）若☉O的半徑為5，△ABC的面積為25，求CD的長(zhǎng)；

幾何證明題中的任何一個(gè)已知信息都不是孤立的.把握基本圖形的組合，掌握知識(shí)點(diǎn)間的常見(jiàn)聯(lián)系，積累解題經(jīng)驗(yàn)是很重要的.

三、合理利用輔助線，降低題目難度

作輔助線是解決近五年來(lái)成都市數(shù)學(xué)中考試卷B卷幾何證明題必不可少的一步，也是學(xué)生在解幾何證明題時(shí)最難的一步.幾何證明題常常涉及比較復(fù)雜的圖形，但其實(shí)再?gòu)?fù)雜的圖形，也是用常見(jiàn)的基本圖形通過(guò)一定的組合得到的.基本圖形的定義、公理、定理和推論是我們必須熟悉和掌握的內(nèi)容，另外還有一些常見(jiàn)組合形式：如角平分線形、八字形、雙垂直圖形等.

在近五年成都市中考試卷中的幾何證明題中，所做的輔助線主要有兩種類(lèi)型，即作某直線的平行線或者垂線.在作平行線時(shí)，會(huì)涉及平行線的性質(zhì)，再利用與平行線相關(guān)的性質(zhì)去證明某些圖形的相似或者是三角形的全等，從而解決線段之間的關(guān)系；在作垂線時(shí)，會(huì)涉及三線合一或者與角度有關(guān)的知識(shí)，從而證明線段之間的關(guān)系.能否正確作出輔助線，實(shí)際上也在于平時(shí)的積累，教師在教授幾何相關(guān)的知識(shí)時(shí)，可以側(cè)重于使學(xué)生感受輔助線的自然生成.

在幾何證明題中，輔助線的添加也具有一定的規(guī)律.在三角形中，遇到中點(diǎn)，添加中位線或中線；遇到角平分線，過(guò)角平分線上的點(diǎn)，添線構(gòu)造全等三角形；遇到中線，延長(zhǎng)中線至原長(zhǎng)的二倍，構(gòu)造全等三角形；截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造等長(zhǎng)直線等；添加平行線構(gòu)造全等或相似三角形.在梯形中，作平行線，構(gòu)造平行四邊形；連接對(duì)角線，構(gòu)造三角形；作垂線，構(gòu)造直角三角形或矩形；遇到中點(diǎn)，作中位線或構(gòu)造全等三角形.在平行四邊形中，有平行線構(gòu)造平行四邊形；有中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形；過(guò)交點(diǎn)作垂線；有垂線時(shí)，構(gòu)造矩形或作平行線.

四、理出思路，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何語(yǔ)言

數(shù)學(xué)學(xué)科具有精準(zhǔn)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的合理利用是數(shù)學(xué)中考著重考查的部分，學(xué)生正式接觸數(shù)學(xué)語(yǔ)言便是從幾何開(kāi)始的.教師在教授數(shù)學(xué)語(yǔ)言時(shí)，應(yīng)促使學(xué)生養(yǎng)成正確運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的習(xí)慣.數(shù)學(xué)語(yǔ)言的正確表達(dá)，有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維.幾何語(yǔ)言有連接實(shí)驗(yàn)幾何和論證幾何的橋梁作用，教師通過(guò)對(duì)幾何語(yǔ)言例題的示范和訓(xùn)練來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的使用，真正意義上提升學(xué)生運(yùn)用幾何知識(shí)的能力，能夠幫助學(xué)生理解復(fù)雜晦澀的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生進(jìn)行清晰、有條理的思考，從而引導(dǎo)學(xué)生合理、正確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)，不斷激發(fā)學(xué)生的思維能力.

五、回顧檢查，是否有不符題意信息

回顧檢查是解題的最后一步，也是較為重要的一步，但是很多學(xué)生在完成幾何證明題以后，并沒(méi)有檢查的習(xí)慣，認(rèn)為只要思路正確，便不會(huì)出錯(cuò).事實(shí)恰恰相反.在幾何證明題中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)看錯(cuò)題目所給角度、所給直線，導(dǎo)致在理解錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上反復(fù)解題，卻一直沒(méi)有收獲，不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且影響做題進(jìn)度、解題思路.因此，學(xué)生在解題的過(guò)程中，沒(méi)有思路時(shí)，也應(yīng)該注意回顧，檢查是否有漏讀、錯(cuò)讀的信息.在近五年成都市中考數(shù)學(xué)試卷中，關(guān)于幾何證明題，如果題目中沒(méi)有涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，所給出的圖形一般來(lái)說(shuō)是比較標(biāo)準(zhǔn)的.例如，學(xué)生可以根據(jù)對(duì)比已知直線的長(zhǎng)度和所求解出來(lái)的直線的長(zhǎng)度，判斷最終結(jié)果是否符合題意信息.

六、解題思路的應(yīng)用

下面以成都市2020年A卷第20題為例，對(duì)解題思路的五個(gè)步驟進(jìn)行應(yīng)用.

（3）若F是AB的中點(diǎn)，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

解題思路 根據(jù)上述所提供的的解題思路步驟，我們?cè)谀玫竭@道題后，先閱讀題干的已知信息，整理有效信息，并且在已知信息的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形，引申出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，推測(cè)所給已知信息的目的.從題干中我們可以知道，所給的已知信息有：OC是☉O的半徑、☉O與AB相切于點(diǎn)D、AC=AD，同時(shí)，我們可以利用已知信息結(jié)合圖形推測(cè)出OC=OE、∠ODA=90°.第二步是讀問(wèn)題，前文已經(jīng)提到，幾何證明中，如題目是要求證明某一知識(shí)，我們可以直接將該問(wèn)題看做已知，進(jìn)行逆向思考.若AC就是☉O的切線，那么過(guò)C點(diǎn)的半徑一定是和AC垂直的，結(jié)合上段所提取的信息，可以推測(cè)出∠ODA=∠OCA，進(jìn)行到此時(shí)時(shí)，便可以看出△AOC≌△AOD，利用SSS定理便可以輕易得證.整理思路以后，再利用幾何數(shù)學(xué)語(yǔ)言將解題過(guò)程表達(dá)出來(lái)即可.

第三小問(wèn)中給出了一個(gè)新的信息，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，要求探究BD+CE與AF的關(guān)系，這三條線段初看似乎沒(méi)有任何聯(lián)系，因此我們要結(jié)合已知信息進(jìn)行分析，OC是☉O的半徑，☉O與AB相切于點(diǎn)D，AC=AC，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，將信息盡量套到同一個(gè)圖形之中.當(dāng)我們?cè)趫D中標(biāo)注了這三條直線以后，會(huì)發(fā)現(xiàn)，由于F是AB的中點(diǎn)，且B，D，A三點(diǎn)在同一條直線上，此時(shí)最主要的就是解決CE和這兩條線段的聯(lián)系.連接ED，我們可以觀察到，ED和FD之間似乎是相等的關(guān)系，如果可以證明他們兩者相等，便把題目中一開(kāi)始看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的三條線段，放在了同一條直線AB上，題目也就得到了解決.

結(jié) 語(yǔ)

總之，對(duì)學(xué)生幾何證明的思路及思維進(jìn)行訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯能力以及核心素養(yǎng).幾何證明雖然是初中生普遍認(rèn)為的難點(diǎn)，但是也仍然有可以破解的方法.作為教師，在教授幾何相關(guān)知識(shí)時(shí)，要注意有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，在平時(shí)訓(xùn)練時(shí)要重視實(shí)踐.實(shí)踐是初中數(shù)學(xué)證明的基本出發(fā)點(diǎn)，貫穿于證明教學(xué)的全過(guò)程.同時(shí)，教師應(yīng)該注意及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò)，特別是數(shù)學(xué)幾何語(yǔ)言，促使學(xué)生養(yǎng)成好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，端正對(duì)于幾何證明題的學(xué)習(xí)態(tài)度.

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