高觀點(diǎn)下高考統(tǒng)計(jì)與概率解題實(shí)踐與反思

楊爽 苗鳳華

【摘要】統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線之一，也是高考中考查的重點(diǎn)內(nèi)容.統(tǒng)計(jì)與概率部分知識(shí)承載著發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的重要作用.而在一線教學(xué)中，高觀點(diǎn)下的解題方式及解題思想對(duì)于教師統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)體系，把握知識(shí)脈搏，提升教師的專業(yè)能力有著重要意義.文章以2021年全國(guó)乙卷17題為例，從高觀點(diǎn)角度與中等數(shù)學(xué)教育兩個(gè)角度進(jìn)行解題剖析，對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程進(jìn)行了反思.

【關(guān)鍵詞】高觀點(diǎn)；統(tǒng)計(jì)與概率；解題研究

一、研究背景

在高中的四條知識(shí)主線中，統(tǒng)計(jì)與概率作為其中之一，是學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)、生活中頻繁接觸、感知的，擁有著豐富的實(shí)際應(yīng)用背景.隨著新課改的不斷深入，近幾年高考試卷中的統(tǒng)計(jì)與概率大題難度不斷增加，2019年高考試卷中統(tǒng)計(jì)與概率大題的難度已經(jīng)高于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系下是非常特殊的一部分，首先，統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題在高考試卷中的地位十分特殊；其次，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，六大核心素養(yǎng)中的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是專門為統(tǒng)計(jì)與概率設(shè)置的；最后，統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題是學(xué)生在十余年的教育活動(dòng)中，唯一一個(gè)從小學(xué)一直延續(xù)到大學(xué)的數(shù)學(xué)分支.因此對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題進(jìn)行高考真題解題研究，對(duì)于學(xué)生自主復(fù)習(xí)和教師完善教學(xué)具有重要意義.

二、真題再現(xiàn)

本文以2021年全國(guó)乙卷第17題為例，進(jìn)行普通解法和高觀點(diǎn)下解法的案例分析.

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

三、試題分析

該題主要是根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)問(wèn)題進(jìn)行抽象，以某種設(shè)備廠房為例，構(gòu)建了一個(gè)生活中的問(wèn)題情境.通過(guò)該問(wèn)題情境下收集處理得出簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)，考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，該題所考查的內(nèi)容并未超出中學(xué)教材的范圍，第一問(wèn)求平均值、方差；第二問(wèn)的顯著性判斷代入給定公式即可求解.從高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容角度來(lái)看，該題屬于較為常規(guī)的題型，但其中統(tǒng)計(jì)公式背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理仍然值得思考.下面從題目解答與題目分析兩個(gè)角度進(jìn)行內(nèi)容展開(kāi)：

題目中顯著性公式的來(lái)源：基于假設(shè)檢驗(yàn)理論的雙樣本平均數(shù)差異性檢驗(yàn).假設(shè)檢驗(yàn)是由K.Pearson于20世紀(jì)初提出的，經(jīng)過(guò)了學(xué)者費(fèi)希爾對(duì)其細(xì)化，最終，相對(duì)完整的假設(shè)檢驗(yàn)理論由奈曼和E.Pearson提出.

在實(shí)際解題過(guò)程中，利用相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行代入比較即可判斷最終結(jié)果.

筆者根據(jù)對(duì)近10年高考試題中概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的題型與題量的分析，發(fā)現(xiàn)命題形式較為穩(wěn)定，多以解答題以及填空題的形式出現(xiàn).主要考查的知識(shí)點(diǎn)包括：計(jì)算頻率、概率、均值、標(biāo)準(zhǔn)差；計(jì)算相關(guān)系數(shù)；計(jì)算估計(jì)值與預(yù)測(cè)值等.因此概率與統(tǒng)計(jì)題型類試題一般難度不大.但中學(xué)一線教師往往需要在高觀點(diǎn)下進(jìn)行研究，以方便從更高角度把握整體命題結(jié)構(gòu).

四、高觀點(diǎn)下解題研究

在一線實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師通常較為重視從算法的角度進(jìn)行考查平均數(shù)或方差等內(nèi)容.容易將該類題目完全變成公式的應(yīng)用，而忽略了其內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義.從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)角度來(lái)說(shuō)，這種方式只簡(jiǎn)單考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，而并未深層次地考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展也是不利的.因此從教師的角度而言，也應(yīng)當(dāng)高屋建瓴地掌握相關(guān)高等數(shù)學(xué)視角下的知識(shí)，從更高觀點(diǎn)把握題目，剖析題目中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，在更高層次上進(jìn)行高觀點(diǎn)下的解讀.下面對(duì)該題的兩問(wèn)進(jìn)行高觀點(diǎn)下的解題研究.

（一）第一問(wèn)分析

由于要檢驗(yàn)的是樣本所取自的總體的參數(shù)值大于或小于某個(gè)特定值時(shí)，所采用的一種單方面的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，因此為單側(cè)檢驗(yàn).根據(jù)原假設(shè)，可知改善后與改善前來(lái)自不同的正態(tài)總體.

第三步，選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕域形式.雖然樣本方差已知，但總體方差未知，故選擇t檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

五、研究反思

（一）突出數(shù)據(jù)處理的基本過(guò)程

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要通過(guò)統(tǒng)計(jì)與概率部分的知識(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).而這種素養(yǎng)的形成，需要在教學(xué)過(guò)程中突出數(shù)據(jù)處理這一基本環(huán)節(jié).通過(guò)數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)的教學(xué)，學(xué)生能夠不斷地接觸生活中的數(shù)據(jù)、收集相關(guān)的數(shù)據(jù)、整理相關(guān)的數(shù)據(jù)，并對(duì)其進(jìn)行深入的分析和處理.其實(shí)收集整理、分析綜合的過(guò)程就是數(shù)據(jù)處理的基本過(guò)程，只不過(guò)在一線教學(xué)當(dāng)中往往被許多教師忽略.

（二）在統(tǒng)計(jì)過(guò)程中學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)與概率背后反映的數(shù)據(jù)觀念，指的是學(xué)習(xí)者通過(guò)數(shù)據(jù)能夠聯(lián)想到相關(guān)的知識(shí)；推測(cè)有關(guān)的結(jié)果；并且能夠自然而然地利用統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)來(lái)解決當(dāng)前問(wèn)題和隱性的實(shí)際生活問(wèn)題.統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)不僅是簡(jiǎn)單的公式識(shí)記、算術(shù)的應(yīng)用，也不僅是簡(jiǎn)單地對(duì)條形圖、柱狀圖的認(rèn)識(shí)和數(shù)據(jù)的讀取，而是應(yīng)當(dāng)在實(shí)際真實(shí)存在的情境當(dāng)中，在統(tǒng)計(jì)過(guò)程當(dāng)中學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì).換言之就是利用帶有情境性的問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生制作的統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表等激發(fā)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識(shí).教師也可以利用現(xiàn)代化的教學(xué)工具模擬一些題目中的圖表，讓學(xué)生感受現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用.這是通過(guò)統(tǒng)計(jì)過(guò)程學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的重要渠道.

（三）設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)概率的學(xué)習(xí)線索

教師在教學(xué)活動(dòng)中重要的一點(diǎn)就是課前的教學(xué)設(shè)計(jì)，而其中必須要明確的問(wèn)題就是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的線索.學(xué)習(xí)線索是學(xué)生在統(tǒng)計(jì)與概率部分進(jìn)行學(xué)習(xí)的一條主線，所有的知識(shí)都緊密地圍繞著該線索進(jìn)行展開(kāi).（1）設(shè)計(jì)線索時(shí)可以圍繞知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)高觀點(diǎn)下的內(nèi)容設(shè)計(jì)，可以審視統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的來(lái)龍去脈，也可以幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體認(rèn)識(shí).（2）設(shè)計(jì)線索也可以圍繞思想方法進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)背后蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)學(xué)思想、大數(shù)定律內(nèi)容進(jìn)行展開(kāi)，可以將一些看似無(wú)關(guān)的、游離在學(xué)生頭腦之外的零散知識(shí)進(jìn)行巧妙的串聯(lián).（3）設(shè)計(jì)線索時(shí)也可以圍繞數(shù)學(xué)素養(yǎng)展開(kāi)，如統(tǒng)計(jì)與概率中的最重要的數(shù)據(jù)分析，從深層次挖掘?qū)W生的情感態(tài)度的提升，從而更好地落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng).

（四）提高學(xué)生辨析題目的能力

統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題的解題關(guān)鍵就在于，能夠從題目中給出的圖、表中獲取對(duì)解題有幫助的信息.尤其是對(duì)數(shù)據(jù)表、莖葉圖進(jìn)行分析的時(shí)候，關(guān)鍵在于一個(gè)“辨”字，學(xué)生既要對(duì)題目題干題型進(jìn)行辨析，又要找到相應(yīng)的問(wèn)題模型.而統(tǒng)計(jì)與概率的問(wèn)題模型的建立，往往需要學(xué)習(xí)者經(jīng)歷一系列的觀察、分析、判斷等較為復(fù)雜的頭腦中的思維活動(dòng)過(guò)程.因此，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生提高辨析題目的能力.

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