碰撞問題中的動量和角動量守恒辨析

邱紅梅,秦吉紅,徐 美,劉麗華

(1. 北京科技大學(xué) 應(yīng)用物理系,北京 100083;2. 北京科技大學(xué) 物理系,北京 100083)

碰撞指兩粒子或物體間極短的相互作用,是中學(xué)物理和大學(xué)物理中的典型力學(xué)問題.力學(xué)體系中的守恒量因其對應(yīng)著體系所具有的不同的對稱性,已成為物理學(xué)中的一個特別重要的現(xiàn)象,具有豐富的物理內(nèi)涵,對其概念的把握和守恒條件的辨析則是物理教學(xué)中的重點(diǎn)[1].中學(xué)物理中常涉及的是平動中的碰撞問題,比如兩球的碰撞等,此時一般認(rèn)為碰撞時的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力,因此外力可略,碰撞系統(tǒng)動量守恒;再比如沖擊擺[2]的問題,如圖1所示,子彈射向一用輕繩連接的質(zhì)量為M的物體,輕繩懸掛于O點(diǎn),質(zhì)量可略.無論子彈與物體的碰撞是彈性碰撞還是非彈性碰撞,碰撞時間都很短,可以認(rèn)為在此過程中物體仍然保持在豎直位置,而且由于輕繩不能產(chǎn)生垂直于繩子方向的作用力,因此輕繩不會對物體提供水平方向上的作用力.在這種情況下,子彈和物體組成的系統(tǒng)在水平方向上所受的合外力為零,因此系統(tǒng)在水平方向上動量守恒.

圖1 沖擊擺

這些圖像大部分同學(xué)已經(jīng)爛熟于心,甚至想當(dāng)然地認(rèn)為所有碰撞都應(yīng)動量守恒;然而在大學(xué)物理中,討論更多的則是涉及轉(zhuǎn)動的碰撞問題,多數(shù)情況下只滿足角動量守恒條件而不滿足動量守恒條件.對初次學(xué)習(xí)大學(xué)物理的同學(xué)而言,往往習(xí)慣性地使用動量守恒來解決碰撞問題,對這兩種守恒定律的區(qū)別通常也是知其然而不知其所以然.常見的大學(xué)物理教材在涉及這類問題時,雖然會提及“注意系統(tǒng)動量不守恒”[2,3],但多為一筆帶過,沒有對其根本原因進(jìn)行深入探討.目前已有多篇討論碰撞問題角動量守恒的論文[4-13],但鮮有涉及力的定量計算.本文以剛體力學(xué)中最典型的物體與直桿的碰撞問題為例,從受力的角度對動量守恒和角動量守恒定律的應(yīng)用條件進(jìn)行辨析,以期加深學(xué)生對角動量守恒定律的理解.

如圖2所示,設(shè)一質(zhì)量為M、長度為L的直桿,可繞通過其頂端并與桿垂直的光滑水平O軸轉(zhuǎn)動,桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO,初始時桿懸垂于豎直位置.一質(zhì)量為m的物體以速率υ0水平射向直桿并在距O軸l處和桿發(fā)生碰撞.求碰后瞬間桿繞O軸的角速度的大小ω.為了辨析清楚,我們分以下幾種情況討論.

圖2 物體與桿的碰撞示意圖

1 物體與桿發(fā)生完全非彈性碰撞

假設(shè)物體為子彈,當(dāng)其射入桿后停在桿中,即子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞.將子彈和桿作為研究系統(tǒng).碰撞過程中系統(tǒng)受到的外力為重力和O軸對桿的作用力(稱為軸反力).以軸心為參考點(diǎn),豎直位置時重力不提供力矩,軸反力通過軸心也沒有力矩,因此,在碰撞過程中系統(tǒng)角動量守恒.以垂直紙面向外的方向?yàn)榻莿恿康恼较?有

mυ0l=(JO+ml2)ω

(1)

其中rc為桿的質(zhì)心到軸心的距離.碰前系統(tǒng)的動量大小p初=mυ0.顯然,只有當(dāng)JO=Mrcl時,碰撞前后系統(tǒng)的動量相等,碰撞過程才有可能動量守恒.

常見的錯誤做法是,認(rèn)為這種碰撞在水平方向上動量守恒,也就是默認(rèn)碰撞過程中子彈與桿之間的碰撞力(系統(tǒng)內(nèi)力)遠(yuǎn)大于軸反力(系統(tǒng)受到的外力),即軸反力可略.但是,這里的軸反力真的可以忽略嗎?

(2)

由式(2)可知

若子彈射入均質(zhì)桿,則有

圖3 均質(zhì)桿上平均軸反力水平分量與碰撞位置的關(guān)系曲線

2 物體與桿發(fā)生完全彈性碰撞

如果將1中的子彈換成橡皮小球,和桿發(fā)生完全彈性碰撞.與1的分析類似,相對于O軸,小球與桿組成的系統(tǒng)仍可認(rèn)為角動量守恒,即

mυ0l=JOω+mυl

(3)

式中υ為碰后瞬間小球的速率.由于小球與桿之間發(fā)生的是完全彈性碰撞,因此碰撞前后二者與地球所構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒;又由于碰撞前后系統(tǒng)的勢能保持不變,因此碰撞前后小球與桿的動能之和保持不變,即

(4)

由式(3)、(4)可得

在情形1的完全非彈性碰撞中,物體和桿組成的系統(tǒng)一般情況下水平方向上動量不守恒,那么在情形2中發(fā)生完全彈性碰撞時,水平方向上動量是否守恒呢?與情形1類似,先分析軸反力的大小.

以桿為研究對象,設(shè)小球給桿的碰撞力在水平方向上的分量為F碰,軸反力的水平分量為F軸x,對桿用質(zhì)心運(yùn)動定理(考慮水平方向的分量形式),有

F碰+F軸x=Mrcα

(5)

其中rc為桿的質(zhì)心到O軸的距離,α為碰后瞬間桿獲得的角加速度.利用定軸轉(zhuǎn)動定律,有

F碰l=JOα

(6)

由式(5)、(6)可得

(7)

p末=mυ+Mωrc=mυ0=p初

綜上所述,當(dāng)物體與桿發(fā)生完全彈性碰撞時,通常情況下的外力大小不可忽略,因此水平方向上動量不守恒,只有在參數(shù)滿足特定關(guān)系的時候符合動量守恒的條件.

3 物體與桿發(fā)生非完全彈性碰撞

定義恢復(fù)系數(shù)e為桿的碰撞點(diǎn)與物體(比如小球)的相對速度在碰撞前后的比值,即

(8)

前面討論的完全彈性碰撞對應(yīng)e=1的情形,而完全非彈性碰撞是e=0的情形,那么一般情況下(0

聯(lián)立式(3)和(8),再考慮υ桿末=ωl,可得

顯然,代入e=0和e=1即可分別得到前面情形1和2中解得的角速度.在一般情況下,碰撞后瞬間桿獲得的角速度介于這兩者之間.

碰后小球獲得的速度大小為

碰撞前后系統(tǒng)損失的能量為

當(dāng)e=1,體系發(fā)生完全彈性碰撞時,不損失能量;當(dāng)e=0,體系發(fā)生完全非彈性碰撞時,損失能量最多;0

由以上的討論可以看出,當(dāng)所研究的系統(tǒng)涉及轉(zhuǎn)動時,不能主觀臆斷認(rèn)為碰撞過程水平方向上動量守恒,因?yàn)橥ǔＧ闆r下,軸反力不等于零,也不能想當(dāng)然地認(rèn)為軸反力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)間的碰撞力,一定要通過計算進(jìn)行比較.當(dāng)無法明確判斷內(nèi)力和外力的相對大小時,可以利用力矩的概念,通過選擇合適的參考點(diǎn),以規(guī)避未知力貢獻(xiàn)的力矩,嘗試從角動量定理或角動量守恒定律來求解問題.在準(zhǔn)確地把握了角動量概念及角動量守恒條件之后,作為拓展學(xué)習(xí)可鼓勵學(xué)生用它來解決一些實(shí)際的問題,比如研究平面運(yùn)動剛體上小蟲的運(yùn)動軌跡[15]、電影流浪地球中讓地球停止轉(zhuǎn)動發(fā)動機(jī)需要噴射多少物質(zhì)[16]等.這些問題既能增加學(xué)生學(xué)習(xí)物理的樂趣,又能提升學(xué)生用課堂所學(xué)的物理知識分析問題和解決問題的能力.

從整個分析過程我們可以體會到,角動量守恒的條件似乎比動量守恒的條件更容易滿足.動量守恒要求無外力,角動量又稱為動量矩,其守恒條件是無外力矩,而“矩”的大小與參考點(diǎn)的選擇有關(guān).要合理利用角動量守恒,適當(dāng)選用參考點(diǎn)是前提.參考點(diǎn)的選取不同,就可能得到不同的結(jié)論.

4 結(jié)論

角動量守恒是自然界最基本最普遍的定律之一,幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解該定律的內(nèi)容并靈活應(yīng)用是大學(xué)物理教學(xué)的基本要求.本文以剛體力學(xué)中物體和直桿碰撞的經(jīng)典問題為例,詳細(xì)計算了在幾種不同碰撞類型中的軸反力大小,辨析了動量守恒和角動量守恒的成立條件.結(jié)果表明在這類碰撞問題中,角動量是否守恒與碰撞是否彈性無關(guān),水平方向上動量是否守恒與碰撞點(diǎn)的位置有關(guān).因此,對守恒條件的判斷必須具體問題具體分析,不能主觀臆測,而應(yīng)嚴(yán)格推斷、善于質(zhì)疑辨析,做到格物致理[17].