小圖形、大智慧：數(shù)形結(jié)合思想在 小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王凱

摘 要： 數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為常見(jiàn)的一種思想.鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科兼具“數(shù)”“形”雙重特點(diǎn)，以及小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，將代數(shù)思想和幾何思想有機(jī)融合起來(lái)，充分發(fā)揮圖形的輔助價(jià)值，精準(zhǔn)審題、理清數(shù)量關(guān)系、找到解題的“突破口”等，有效提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.本論文以此切入，結(jié)合一定的例題分析，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)地探究，具備極強(qiáng)的參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題能力；課堂教學(xué)

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩大研究對(duì)象，且兩者之間相互依存、不可分割.其中，抽象的數(shù)量關(guān)系，常常具備直觀的幾何意義；直觀的幾何性質(zhì)，也需要借助精準(zhǔn)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行描述.因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，唯有將“數(shù)”和“形”完美地結(jié)合到一起，才能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).同時(shí)，數(shù)形結(jié)合還是一種非常重要的解題思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，借助兩者的有機(jī)融合，可幫助學(xué)生理清題目中的條件、數(shù)量關(guān)系等，極大地降低小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題難度.

1 ?數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中具體應(yīng)用

1.1 數(shù)形結(jié)合，高效審題

審題是解題的關(guān)鍵.但是在具體審題中，由于部分題目中蘊(yùn)含的條件十分復(fù)雜，而小學(xué)生的知識(shí)薄弱、理解能力薄弱，在審題的時(shí)候，常常面臨諸多困惑，致使其審題不清，嚴(yán)重制約了小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題.針對(duì)這一現(xiàn)狀，唯有將數(shù)形結(jié)合思想融入到審題中，才能有效解決這一問(wèn)題.

例1 ??在二年級(jí)數(shù)學(xué)“100以內(nèi)的加法和減法”的應(yīng)用題目中：李奶奶的養(yǎng)雞場(chǎng)中，有公雞60只，比母雞少了17只，那么在李奶奶的養(yǎng)雞場(chǎng)中，母雞有多少只？

解析： ?這原本是一道十分簡(jiǎn)單的應(yīng)用題目，但是針對(duì)小學(xué)二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在審題的時(shí)候，常常出現(xiàn)迷惑的現(xiàn)象，誤認(rèn)為“比母雞少”就是減法.鑒于此，為了幫助學(xué)生真正理解題目的意思，就借助了數(shù)形結(jié)合的教學(xué)模式，結(jié)合題目畫(huà)出線段圖（如圖1所示），使得小學(xué)生在直觀的感知中，真正弄清題目的含義，并由此作出正確的答案，即：60+17=77（只）［1］.

例2 ???有兩根長(zhǎng)度相同的木材，第一根用去了1米，第二根用去了1.2米，第一根木材剩下的長(zhǎng)度恰恰是第二根木材剩下的3倍.問(wèn)：這根木材的長(zhǎng)度是多少米？

解析： ?在這一數(shù)學(xué)應(yīng)用題解答中，學(xué)生常常閱讀完之后，難以精準(zhǔn)把握題目的條件，致使其因?yàn)閷忣}不夠全面深刻，導(dǎo)致解題方向出現(xiàn)偏差.鑒于此，在優(yōu)化小學(xué)生審題時(shí)，就可融入數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生一邊閱讀一邊畫(huà)圖，運(yùn)用線段圖將抽象的文字、數(shù)字進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為直觀的圖形.在這一題目中，可引導(dǎo)學(xué)生在審題時(shí)，以第二根木材剩余的數(shù)量作為參考標(biāo)準(zhǔn)，記為“1份”，那么第一根木材剩余的數(shù)量恰恰是3份，由此畫(huà)出圖形（如圖2所示），并結(jié)合圖形，得出：第一根木材比第二根木材剩余多出的2份長(zhǎng)度，就是兩份木材所用的長(zhǎng)度差，即：1.2-1=0.2（米），因此，剩余1份的長(zhǎng)度即為0.2÷2=0.1（米），因此，木材的總長(zhǎng)度為1.2+0.1=1.3（米）.

1.2 數(shù)形結(jié)合，找準(zhǔn)關(guān)鍵條件

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)解題的條件，是進(jìn)行解題的“突破口”.否則，一旦學(xué)生迷失在解題條件中，就會(huì)使其在解題中朝著錯(cuò)誤的方向發(fā)展.鑒于此，在優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，就可借助數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，以便于學(xué)生在形象的感知中，精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)解題條件，形成明確的解題思路.

例3 ??有一桶油，經(jīng)過(guò)兩次使用之后，還剩余40升.已知，第一次用去了整桶油的 1 2 ，第二次用去了整桶油的30 % ，問(wèn)：這桶油共有多少升？

解析： ?在這一分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解答中，學(xué)生經(jīng)過(guò)審題之后，必須要精準(zhǔn)把握題目中蘊(yùn)含的已知條件，理清題目中已知條件的關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上形成明確的解題方向.在這一題目中，解題的關(guān)鍵就是“經(jīng)過(guò)兩次使用之后剩余40升所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)”，學(xué)生唯有明確40升在一桶油中占據(jù)的分?jǐn)?shù)比例，才能找到解題的關(guān)鍵.此時(shí)，就可借助數(shù)形結(jié)合思想，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形（如圖3所示），接著結(jié)合圖形分析，即可得出：1桶油即為單位“1”，第一次用去 1 2 ，即用去了單位“1”的50 % ，第二次用去了單位“1”的30 % ，由此得出單位“1”中還剩余20 % ，即40升.在此基礎(chǔ)上，即可得出：40÷20 % =200（升）［2］.

例4 ??姐姐有10支鉛筆，弟弟有4支鉛筆，姐姐給弟弟幾支鉛筆之后，兩個(gè)人的鉛筆就一樣多？

解析： ?這是一道二年級(jí)的數(shù)學(xué)題目，但是在解題的時(shí)候頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤.其主要原因就是沒(méi)有找準(zhǔn)解題的條件.結(jié)合小學(xué)二年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，很難通過(guò)題目中的語(yǔ)言分析，找到解題的突破口.該題中，解題的關(guān)鍵就在于“給后兩人一樣多”.因此，在具體的教學(xué)中，就可先將圖形畫(huà)出來(lái)（如圖4所示）.

指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合線段圖進(jìn)行觀察和思考：姐姐比弟弟多6支鉛筆，如果全部給弟弟之后，就會(huì)導(dǎo)致弟弟比姐姐多6支鉛筆，唯有將多出的部分平均分給兩個(gè)人，才會(huì)一樣多.至此學(xué)生即可結(jié)合圖形，完成該題目的正確解答.

1.3 數(shù)形結(jié)合，明確數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是學(xué)生正確解題的關(guān)鍵，尤其是在比較復(fù)雜的題目中，常常蘊(yùn)含著多個(gè)數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在分析問(wèn)題的時(shí)候，常常出現(xiàn)分析不清、混淆關(guān)系等現(xiàn)象，致使其在解題的時(shí)候頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤.鑒于此，就可充分借助相關(guān)的圖形，引導(dǎo)學(xué)生在直觀、形象化的圖形工具中，將題目中的關(guān)系數(shù)量精準(zhǔn)地展示出來(lái)，進(jìn)而幫助學(xué)生形成明確的解題思路.

例5 ??甲乙丙三位同學(xué)都酷愛(ài)集郵.已知同學(xué)甲比同學(xué)乙多集了6張郵票，同學(xué)丙集的郵票是同學(xué)甲的2倍，比同學(xué)乙多集22張郵票，問(wèn)：甲乙丙三位同學(xué)共集郵多少?gòu)垼?/p>

解析： ?這一題目中隱含著諸多數(shù)量關(guān)系，文字?jǐn)⑹鲆蚕鄬?duì)比較繁雜，思維薄弱的學(xué)生在解題的時(shí)候，常常出現(xiàn)無(wú)從下手的現(xiàn)象.鑒于此，在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，就可借助數(shù)形結(jié)合這一工具，先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目畫(huà)出相關(guān)的圖形（如圖5所示）.

在圖形的輔助下，并結(jié)合題目敘述即可分析得出：同學(xué)丙所集的郵票是同學(xué)甲的2倍，因此同學(xué)甲所集的郵票為：22-6=16（張）；同學(xué)丙所集的郵票為：16×2=32（張）；之后結(jié)合甲乙兩位同學(xué)集郵的數(shù)量關(guān)系，即可得出同學(xué)乙所集的郵票為：16-6=10（張）.由此即可計(jì)算出三位同學(xué)一共集郵的數(shù)量.由此可見(jiàn)，在這一題目解答中，正是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，將繁雜的數(shù)量關(guān)系直觀地展示出來(lái)，幫助學(xué)生迅速理清題目中的數(shù)量關(guān)系，形成了正確的解題思路［3］.

例6 ??光明小學(xué)開(kāi)展了第二課堂活動(dòng)，已知書(shū)法小組中有30人，比合唱小組學(xué)生的人數(shù)2倍少6人，合唱小組有多少人？

解析： ?這一題目的數(shù)量關(guān)系雖然比較簡(jiǎn)單，但學(xué)生在解題的時(shí)候，也常常出現(xiàn)錯(cuò)誤，不少學(xué)生根據(jù)題目就直接得出：（30-6）÷2=12（人）.學(xué)生之所以會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，主要原因就是解題的時(shí)候，沒(méi)有弄清題目中的數(shù)量關(guān)系.鑒于此，就可融入數(shù)形結(jié)合思想，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目畫(huà)出線段圖（如圖6所示）.

結(jié)合圖形的輔助，學(xué)生即可輕松得知：書(shū)法小組的學(xué)生再加上6個(gè)人，恰恰是合唱小組的2倍.據(jù)此，即可結(jié)合正確的數(shù)量關(guān)系，得出正確的答案：（30+6）÷2=18.可見(jiàn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生可以一目了然地精準(zhǔn)解答出相關(guān)題目.

1.4 數(shù)形結(jié)合，開(kāi)拓學(xué)生解題思維

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，部分題目難度系數(shù)比較大，單純地依靠題目很難形成明確的解題思路，致使學(xué)生面臨著諸多困難.鑒于此，就可借助數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)字化進(jìn)行圖形化，賦予其數(shù)量意義，使得學(xué)生在直觀的感知中，形成全新的解題視角，形成一定的解題思維.

例7 ??籠子中有20個(gè)頭，54條腿，請(qǐng)問(wèn)雞和兔子各有多少只？

解析： ?這是一道典型的雞兔同籠問(wèn)題，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題，常常會(huì)陷入困境中.鑒于此，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題時(shí)，就可借助數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目中所給的條件繪制圖形（如圖7所示），先在圖中繪制出20個(gè)頭，接著再在每一個(gè)頭上繪制出兩條腿，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還有14條腿，再在每一個(gè)頭上加上兩條腿，直到加完為止.如此，學(xué)生在圖形的輔助下，即可形成明確的解題思路：假如籠子中全部為雞，已知每一只雞有2條腿，則擁有20×2=40（條）腿，還剩下54-40=14（條）腿，因?yàn)槊恐煌米?條腿，因此可將剩余的14條腿分給兔子，即14÷2=7（只），即可得出正確的答案.可見(jiàn)，在這一比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，就是借助了數(shù)形結(jié)合思想，使得學(xué)生在圖形的輔助下，形成了明確的解題思路［4］.

1.5 數(shù)形結(jié)合，避免常規(guī)性錯(cuò)誤

小學(xué)生在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，常常受到多種因素的制約，致使其出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.導(dǎo)致這一錯(cuò)誤的主要原因，就是學(xué)生在解題的時(shí)候，只是憑空想象，根本沒(méi)有動(dòng)手畫(huà)圖.鑒于此，在日常教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生靈活借助圖形這一工具，幫助學(xué)生最大限度規(guī)避這些常規(guī)性的解題錯(cuò)誤.

例8 ??小明家住在5層，他上3層走過(guò)的所有樓梯數(shù)為32級(jí).那么，小明從1樓回到家，所要走多少級(jí)樓梯？

解析： ?這是一道小學(xué)階段最為常見(jiàn)的題目，也是小學(xué)生最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的題目類型.多數(shù)學(xué)生在解這一問(wèn)題的時(shí)候，常常認(rèn)為3層對(duì)應(yīng)的樓梯級(jí)數(shù)是32，那么每一層對(duì)應(yīng)的樓梯級(jí)數(shù)為32÷3，小明回家要走5層，因此所走的樓梯級(jí)數(shù)為：32÷3×5，

盡管這一結(jié)果除不盡，但依然有很多學(xué)生選擇了約等于.其實(shí)導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因是學(xué)生只讀題目，沒(méi)有畫(huà)圖，致使其不明確一層和二層之間有幾個(gè)層級(jí).鑒于此，就可引導(dǎo)學(xué)生先結(jié)合題目，畫(huà)出簡(jiǎn)易的圖形（如圖8所示）.

如此，學(xué)生在直觀的感知中，就會(huì)發(fā)現(xiàn)小明走到三層，實(shí)際上只走了兩層樓梯，即：每一層樓梯的級(jí)數(shù)為：32÷2=16；而小明回家到5層，實(shí)際上所走的樓梯級(jí)數(shù)為32÷2×4=64.由此可見(jiàn)，在本題目解答中，學(xué)生只要結(jié)合題目，作出相關(guān)的圖形，即可形成正確的認(rèn)知，進(jìn)而正確解答相關(guān)的問(wèn)題［5］.

例9 ??現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方形的卡紙，其長(zhǎng)度為20厘米，寬為4厘米.根據(jù)需求，需要在這一長(zhǎng)方形的卡紙上裁剪出若干個(gè)直角梯形，使得裁剪出來(lái)的直角梯形符合上底為3厘米、下底為5厘米、高為4厘米的標(biāo)準(zhǔn).問(wèn)：一共可以裁剪出多少個(gè)這樣的直角梯形？

解析： ?在對(duì)這一題目解答中，多數(shù)學(xué)生都是直接審題，并以面積作為切入點(diǎn)，迅速給出了具體的解題步驟：先將長(zhǎng)方形、梯形的面積分別計(jì)算出來(lái)，即S 長(zhǎng)方形=4×20=80（平方厘米）、S 直角梯形=（3+5）×4÷2=16（平方厘米），之后運(yùn)用長(zhǎng)方形的面積÷梯形的面積，即可得出5個(gè).從邏輯上來(lái)說(shuō)，這一解題模式不存在問(wèn)題，但這一答案卻是錯(cuò)誤的，學(xué)生只要將相關(guān)的圖形畫(huà)出（如圖9），就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)剪出4個(gè)直角梯形之后，長(zhǎng)方形卡紙中還剩下一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，其面積雖然也是16平方厘米，與所要裁剪的直角梯形面積相同，但卻無(wú)法將其裁剪出來(lái).可見(jiàn)，在這一類型的數(shù)學(xué)題目中，并非是單純依靠計(jì)算就能得到正確答案的，唯有借助圖形的輔助才可.

2 ??基于數(shù)形結(jié)合思想的小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)啟示

經(jīng)過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合是一種非常有效的解題工具，將其融入到日常解題訓(xùn)練中，使得原本復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變得更加直觀、形象，極大地降低了學(xué)生的解題難度.尤其是針對(duì)認(rèn)知思維能力發(fā)展尚未成熟的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況，積極滲透數(shù)形結(jié)合思想，將其隱含到日常的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)應(yīng)用題目的教學(xué)中，使得小學(xué)生在潛移默化的學(xué)習(xí)中，形成較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合意識(shí)；同時(shí)，鑒于數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，在日常教學(xué)中，還應(yīng)培養(yǎng)小學(xué)生的畫(huà)圖能力，使其在解題和學(xué)習(xí)中，能夠結(jié)合題目含義，迅速畫(huà)出正確的圖形［6］.

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的學(xué)習(xí)工具，也是提升小學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的重要利器.鑒于此，小學(xué)數(shù)學(xué)一線教師在優(yōu)化解題教學(xué)時(shí)，唯有徹底突破傳統(tǒng)解題模式的束縛，適時(shí)植入數(shù)形結(jié)合思維，才能在以形助數(shù)、以數(shù)輔形的過(guò)程中，理清題目中的數(shù)量關(guān)系，找到解題的關(guān)鍵條件，形成明確的解題思路等，進(jìn)而全面提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

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