重組架構(gòu)聚核心 說理溯源促交融
——以“交換律和結(jié)合律”一課為例

浙江義烏市實驗小學(xué)教育集團 （322000） 龔哲榮

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》指出，通過實際問題和具體計算，引導(dǎo)學(xué)生用歸納的方法探索運算律、用字母表示運算律，感知運算律是確定算理和算法的重要依據(jù)，形成初步的代數(shù)思維。運算律的探索是學(xué)生在小學(xué)階段第一次全程經(jīng)歷合情推理的數(shù)學(xué)活動，正確運用運算律是形成運算能力的關(guān)鍵，運算律與運算的意義、法則是并存的。

一、課前慎思

1.教材對比分析

現(xiàn)行五個版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材對運算律內(nèi)容的編排有所不同（見表1）。

表1 不同版本教材運算律編排情況

五個版本教材都把乘法分配律編排在最后面，加法、乘法交換律和加法、乘法結(jié)合律的編排順序各不相同。

推理路徑一般為“舊知引入→發(fā)現(xiàn)共性→舉例驗證→總結(jié)規(guī)律→具體應(yīng)用”，在引入環(huán)節(jié)有解決問題和直接計算兩種方式。此外，北師大版教材在總結(jié)規(guī)律之后，還特別新增了事例解釋環(huán)節(jié)。

在溝通運算律與計算之間的聯(lián)系上，北師大版教材和人教版教材都把結(jié)合律與驗算、乘法分配律與乘法豎式聯(lián)系起來。五個版本教材都沒有涉及結(jié)合律的聯(lián)系感知。

2.學(xué)生學(xué)情調(diào)查

為了準確把握教學(xué)起點，厘清教學(xué)順序，筆者對本校三年級學(xué)生進行前測。前測情況如下。

（1）“解決問題”的前測情況如圖1所示。

圖1

分析：學(xué)生在解題過程中偏向按數(shù)字出現(xiàn)的先后順序進行列式。

（2）“計算對比”的前測情況如圖2所示。

圖2

分析：超過75%的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)運用交換律、結(jié)合律進行計算的結(jié)果不變，近50%的學(xué)生對算式的特征有所發(fā)現(xiàn)。

二、課堂實踐

通過教材對比分析，結(jié)合學(xué)生學(xué)情調(diào)查，筆者選擇從具體計算入手，對四種運算律進行結(jié)構(gòu)重組，采取整體教學(xué)，聚焦四種運算律的本質(zhì)特征。

1.算式對比，聚焦差異

師：有兩組沒有運算符號的式子（如圖3），請你仔細觀察每組式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

生1：第1 組的第一個式子，5 在前，3 在后；第二個式子，3在前，5在后，它們的位置交換了。

生2：第2組式子中，小括號位置變了。

師：小括號的位置變了，在運算的時候什么也會發(fā)生改變？

生3：運算順序會發(fā)生改變。

師：這兩組式子中什么沒有變？

生4：每組數(shù)字都沒變。

師：同學(xué)們真能干，發(fā)現(xiàn)了第1 組式子兩個數(shù)位置交換，第2組式子小括號位置變了。

【設(shè)計意圖】針對交換律和結(jié)合律的“交換”和“結(jié)合”這一核心，筆者直接呈現(xiàn)兩組最簡單的只有數(shù)字的式子，消除符號干擾，讓學(xué)生對比觀察，發(fā)現(xiàn)式子的變化本質(zhì)：每組數(shù)字都沒變；第1 組數(shù)的前后位置變了，第2組數(shù)的運算順序變了。

2.猜測論證，探索規(guī)律

任務(wù)一：添符號

師：如果上面式子里的所有圈中只能填同一種運算符號，你覺得填哪種運算符號能使每組式子的運算結(jié)果相同？

生1：填“+”。第1 組，5+3=8，3+5=8；第2 組，（24+6）+2=32，24+（6+2）=32，結(jié)果都相等。

師：有誰填不一樣的符號？

生2：我填的是“×”。第1 組，5×3=15，3×5=15；第2 組，（24×6）×2=288，24×（6×2）=288，結(jié)果也都相等。

師：填“-”或“÷”可以嗎？

生3：3-5，是小數(shù)減大數(shù)，不夠減。

生4：（24-6）-2=16，24-（6-2）=20。它們的結(jié)果不相等。

生5：（24÷6）÷2=2，24÷（6÷2）=8。它們的結(jié)果也不相等。

師：看來只有填“+”或“×”的時候，加數(shù)（乘數(shù)）交換位置或改變運算順序，算出來的結(jié)果是不變的。

任務(wù)二：變數(shù)字

師：如果把這幾個數(shù)變一變，剛才我們的發(fā)現(xiàn)還成立嗎？請你試著照樣子變一變。

學(xué)生嘗試，交流反饋。

生1：7+8=8+7=15，7×8=8×7=56。（25+8）+3=25+（8+3）=36，（25×8）×3=25×（8×3）=600。

師：換成其他數(shù)可以嗎？

生2：可以。

師：你覺得能換多少個數(shù)字？

生3：無數(shù)個。

師：看來不管數(shù)怎么變，這個規(guī)律都是成立的。像這種兩個數(shù)交換位置，結(jié)果不變的規(guī)律叫交換律。加法時就是加法交換律，乘法時就是乘法交換律。像這樣改變運算順序但結(jié)果不變的規(guī)律叫結(jié)合律。加法的就是加法結(jié)合律，乘法的就是乘法結(jié)合律。

任務(wù)三：用字母

師：這樣的例子有無數(shù)個，那能不能統(tǒng)一用一個式子表示？

生1：可以用字母來代替數(shù)字，a+b=b+a。

師：按照這位同學(xué)的方法，其他式子可以怎么表示？

生2：a×b=b×a。

生3：（a+b）+c=a+（b+c）。

生4：（a×b）×c=a×（b×c）。

【設(shè)計意圖】通過對沒有運算符號的兩組式子填入加、減、乘、除四種運算符號的嘗試、驗證，發(fā)現(xiàn)只有相加或相乘時結(jié)果不變。針對這一結(jié)論，通過“變數(shù)字”活動進行舉例驗證，從而體會規(guī)律的一般性。然后運用不完全歸納法總結(jié)運算律，并嘗試用字母來表示運算律。整個教學(xué)環(huán)節(jié)讓學(xué)生完整經(jīng)歷了一次合情推理的過程，積累活動經(jīng)驗，萌發(fā)推理意識。

3.事例解釋，深化內(nèi)涵

師：剛才我們用舉例子的方法歸納總結(jié)加法、乘法的交換律和結(jié)合律，那它們?yōu)槭裁闯闪⒛?？你能結(jié)合例子（如圖4），嘗試解釋算式的意義嗎？

圖4

生1：5+3 表示一支中性筆的價錢加上一塊橡皮的價錢，一共是8 元。3+5 表示一塊橡皮的價錢加上一支中性筆的價錢，也是8元。

生2：不管是先算男生和女生跳繩人數(shù)，再加上女生踢毽子人數(shù)，還是先算女生跳繩和踢毽子人數(shù)，再加上男生人數(shù)，最后加起來結(jié)果都一樣。

……

師：對比算式中的變化，實際只是改變了什么？

生3：只是改變了計算的先后順序，最終的結(jié)果是不變的。

師：看來生活道理和數(shù)學(xué)中的運算律的道理是一樣的。

【設(shè)計意圖】借助學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活事例，解釋不同運算順序表示的含義，深化學(xué)生對運算律現(xiàn)實意義的理解，從而體會生活事理和數(shù)學(xué)算理的一致性。

4.應(yīng)用拓展，內(nèi)化提升

師：請用數(shù)字32 編一道可以運用交換律和結(jié)合律進行簡便計算的算式。

生1：32×50×2=32×（50×2）=32×100=3200。

生2：32+55+19+67+1+45+181=（32+67+1）+（55+45）+（19+181）=100+100+200=400。

師：為什么以上兩位同學(xué)寫的算式要么都是用“+”，要么都是用“×”？

生3：在加法和乘法中才能用這些運算律。

師：在連加、連乘的時候，可以用交換律和結(jié)合律進行簡便運算。

【設(shè)計意圖】通過“為什么都是加號和乘號”的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在連加、連乘的情況下，可以運用交換律和結(jié)合律進行簡便計算，提升運算律運用的廣度，發(fā)展學(xué)生的運算能力。

三、課后反思

1.四律內(nèi)核互通，發(fā)展核心素養(yǎng)

加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律，除了運算符號不同，其結(jié)構(gòu)是相同的。交換律是兩個數(shù)交換位置，結(jié)合律是借助小括號來改變運算順序，而交換位置其實也是計算的先后順序發(fā)生了改變。由此可見，交換律和結(jié)合律的本質(zhì)就是改變運算順序，這也是同時運用交換律和結(jié)合律延伸到多個數(shù)相加或相乘進行簡便運算的原因。

在教學(xué)時逐層深入，從兩、三個數(shù)的計算延展到多個數(shù)的計算，并聚焦于在連加或連乘的情況下，運用交換律和結(jié)合律進行簡便計算，從而提升學(xué)生的運算能力和推理意識。

2.理律內(nèi)錯互融，架構(gòu)整體思維

算理是算法的基礎(chǔ)，算法是對算理的一種技能概括，運算律是算法的再次優(yōu)化，又是算理意義理解和算法計算方法的支撐。三者相互依存，交錯相融。

數(shù)學(xué)源自對現(xiàn)實世界的觀察、思考和表達，數(shù)學(xué)最終用于解釋現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和客觀規(guī)律。計算教學(xué)的核心是對算理的理解。小學(xué)階段的規(guī)律探索都是運用合情推理，是一種不完全歸納法。為此，及時借助生活事例、幾何圖形等多元表征有助于提升學(xué)生理解數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)理和生活事理的一致性。

綜上所述，教師遵循規(guī)律探索的基本路徑，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)特例—舉例驗證—排除反例—歸納總結(jié)”的過程，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后，借助身邊的事例解釋運算律，力求讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的相通性。引導(dǎo)學(xué)生感知運算律既是一種運算規(guī)律，又是算理的基礎(chǔ)，更是后續(xù)學(xué)習(xí)的依據(jù)，從而體會算理、算法、運算律的一致性。